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    一道試題的自洽性探討

    2018-03-06 08:14:34陳華強曹剛
    物理教學(xué)探討 2018年12期
    關(guān)鍵詞:定量分析

    陳華強 曹剛

    摘 要:筆者從一道試題的解析引起的爭議出發(fā),從定性判斷和定量分析兩個角度進行了推證,進而探討該試題不自洽的根源。

    關(guān)鍵詞:自洽性;定性判斷;定量分析

    中圖分類號:G633.7 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-6148(2018)12-0055-3

    1 問題提出

    筆者所在學(xué)校高三年級最近一次理科綜合考試中有一道選擇題,在試題講評結(jié)束后引發(fā)了關(guān)于試題自洽性的爭議。試題如下:

    如圖1所示,滑塊A、小球B由繞過輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連,A放在固定的足夠長的斜面上,斜面的傾角α=30°,B、C 兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連,C球放在水平地面上。先用手控制住滑塊A,并使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用,并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知A的質(zhì)量為M,B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,A與斜面間的動摩擦因數(shù)μ= ,細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計,開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。釋放A后,A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面,設(shè)A沿斜面下滑的最大速度為vm。下列說法正確的是( )

    圖1 題目示意圖

    A.M=6.4m

    B.A、B速度最大時彈簧處于原長狀態(tài)

    C.A到達最低點時C速度大小為7.4vm

    D.從釋放A到C恰好離開地面的過程中,滑塊A、小球B組成的系統(tǒng)機械能一直減小

    解析 滑塊A速度最大時,加速度為零,故對A,根據(jù)牛頓第二定律:

    Mgsin30°-μMgcos30°-T=0

    此刻,小球B的加速度也為零,有T-mg-F=0

    對小球C,有F-mg=0

    聯(lián)立上述三式求解可得M=6.4m,故A選項正確。

    顯然,A、B速度最大時彈力等于C球的重力,彈簧處于伸長狀態(tài),故B選項錯誤。

    當(dāng)滑塊A到最低點時,A、B速度均為零,設(shè)從速度最大到最低點經(jīng)歷的時間為t,由動量定理:

    對A:Mgsin30°t-μMgcos30°t-IT=0-Mvm

    對B、C整體:IT-2mgt=mvc-mvm

    聯(lián)立兩式求解可得:vc=7.4vm,故C選項正確。

    以A、B為一系統(tǒng),從釋放滑塊A到小球C恰好離地的過程中,根據(jù)功能關(guān)系:

    -μMg30°x+W =ΔE

    可分析:在此過程中彈簧的彈力先做正功,后做負(fù)功,但任意時刻彈力都小于滑塊A所受的摩擦力,所以A、B系統(tǒng)在該過程中除重力之外的其他力一直做負(fù)功,機械能減小,故D選項正確。本題的正確答案為A、C、D選項。

    上述解析看起來是完美的,幾乎欺騙了所有的老師和學(xué)生。就在筆者按照上述解析講評完試題后,有學(xué)生提出了質(zhì)疑,C選項可能有誤。經(jīng)過一番討論,筆者用反證法定性判斷和直接定量分析予以推證,過程如下。

    2 反證法定性判斷

    以小球C剛離地為初狀態(tài),滑塊A到最低點為末狀態(tài),該過程中,設(shè)x1為滑塊A的位移,而x2為小球C的位移,初狀態(tài)彈簧的伸長量Δl0= ,如圖2所示。

    圖2 過程示意圖

    以A、B、C為一個整體,根據(jù)動能定理:

    Mgsin30°x1+W彈-μMgcos30°x1-mgx1-mgx2=

    E -E

    再根據(jù)彈力做功的特點:

    W =- k(Δl +x -x ) - kΔl

    其中μ= ,M= m

    令Δx=x -x

    代入解得:E -E =- kΔx2,即E

    若試題中C選項成立,則有:

    E = (M+m)v =3.7mv

    E = m(7.4vm)2=27.38mv

    有E >E

    這顯然與上述推導(dǎo)矛盾,故C選項不成立。

    3 定量分析

    上述推證僅僅說明C選項是錯誤的,但錯誤的根源在哪里呢?我們作定量分析,進一步探討。

    設(shè)繩上拉力為T,則對A、B、C分別由牛頓第二定律:

    對A:Mgsin30°-μMgcos30°-T=M

    對B:T-mg-k(Δl0+x1-x2)=m

    對C:k(Δl0+x1-x2)-mg=m

    代入Δl0= 及M=6.4m,上述方程簡化為:

    對A:2mg-T=6.4m (1)

    對B:T-2mg-k(x1-x2)=m (2)

    對C:k(x1-x2)=m (3)

    (1)式+(2)式可得:-k(x1-x2)=7.4m (4)

    (4)式-7.4(3)式可得:

    -8.4k(x1-x2)=7.4m (5)

    稍作整理可得:

    + (x1-x2)=0(6)

    其通解為(x1-x2)=Acos(wt+φ),其中w= ,A、φ為待定常數(shù)。

    由初始條件:t=0時,x1-x2=0

    (x1-x2)=vm

    可推得: Acosφ=0,-Asinφ=vm

    解得:x1-x2= sinwt(7)

    將(7)式代入(4)式,有

    7.4m =- v sin wt(8)

    兩邊對t積分:7.4m = v cos wt+C,

    C為待定常數(shù)。

    由初始條件:t=0時, =v

    解得:vA= = (cos wt+7.4)

    其中w=

    以小球C剛離地時為時間零點,所以最小速度vAmin= (-1+7.4)= vm>0,滑塊A的速度不會減小到0,故題設(shè)條件不成立。

    行文至此,我們發(fā)現(xiàn)解析中通過動量定理求解出C選項是正確的,而反證法定性判斷C選項不成立,造成試題不自洽的原因是什么呢?從上述推證不難看出:滑塊A和小球B、C在運動過程應(yīng)該遵守動量定理,但它們還應(yīng)該遵守功能關(guān)系。換言之,命題人只是片面地利用某一種規(guī)律去設(shè)置了問題,而沒有考慮到問題應(yīng)該遵守的全面規(guī)律,這是試題命制過程中出現(xiàn)不自洽的最普遍的現(xiàn)象。

    筆者和學(xué)生在定性判斷后,繼續(xù)進行了定量分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)C選項錯誤的根源在于命題人認(rèn)為滑塊A向下運動過程中有最低點,并以此作為設(shè)計C選項的基礎(chǔ),而定量分析的結(jié)果表明滑塊A沿斜面下滑的最小速度不為零,根本不存在最低點,從而造成了本題的不自洽。通過和學(xué)生一起探討本問題的自洽性,激發(fā)了學(xué)生的批判精神,從而保持了對物理學(xué)科的熱情,期望每一個問題的出現(xiàn)都能成為教育的契機,在追求問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

    參考文獻:

    [1]李媛媛.對衛(wèi)星變軌過程中一個常見問題的思考[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2017,46(9):49-51.

    [2]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程力學(xué)篇[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2013:302-320.

    (欄目編輯 羅琬華)

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