用引導(dǎo)式探究法梳理勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式間的關(guān)系

魏亞軍

摘 要：本文介紹了用引導(dǎo)式探究的教學(xué)方式教授勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法。 此方法從速度和加速度的定義出發(fā)梳理了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的眾多公式之間的關(guān)系和物理本質(zhì)，給出了一張簡(jiǎn)明易懂的關(guān)系表。文章還由此引出兩種新的解題思路，使初學(xué)者不必在選擇使用什么樣的公式去解題時(shí)不知所措。

關(guān)鍵詞：勻變速直線運(yùn)動(dòng)；物理本質(zhì)；引導(dǎo)式探究

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2018）12-0058-3

1 引 言

在學(xué)習(xí)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，很多學(xué)生反映公式太多，對(duì)于一個(gè)特定的問題，不知道應(yīng)該選擇什么樣的公式去求解。的確，在勻變速直線運(yùn)動(dòng)一章中，教材給出了速度隨時(shí)間變化關(guān)系的公式，位移隨時(shí)間變化關(guān)系的公式，速度與位移的關(guān)系式和平均速度的公式共四個(gè)公式。 有些教輔參考書上還給出了位移逐差公式。這么多的公式，很容易讓剛剛接觸加速運(yùn)動(dòng)概念的高一學(xué)生眼花繚亂，解題時(shí)不知所措。

然而，筆者認(rèn)為，只要能抓住這些公式的物理本質(zhì)和各公式之間的聯(lián)系，在課堂上幫學(xué)生理清這些關(guān)系，這些公式就會(huì)井然有序地呈現(xiàn)在他們面前。本文介紹一種基于引導(dǎo)式探究（guided inquiry）的教學(xué)過程[1]，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅知道公式，還知道它們的物理本質(zhì)與來源，以及各公式之間的關(guān)系。 引導(dǎo)式探究是科學(xué)教育的一種有效方法。它是指在教師的引導(dǎo)之下，逐步讓學(xué)生探究并得到所要學(xué)的結(jié)論[2]。相比于填鴨式的“塞公式”， 引導(dǎo)式探究教學(xué)在探究推導(dǎo)的過程中學(xué)生會(huì)對(duì)結(jié)論的科學(xué)本質(zhì)有更好的理解[3-4]。

2 公式的推導(dǎo)與總結(jié)

2.1 基本方程組的來源

我們從這兩個(gè)最基本的公式出發(fā)，在加速度a為常數(shù)這個(gè)條件下，推導(dǎo)出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和末速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，即

式（1）和（2）是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本方程。它們表明，在給出一段運(yùn)動(dòng)的初速度和加速度的情況下，任意一個(gè)時(shí)刻的速度和位移就可以由以上方程組求得。同樣，如果已知了末速度或者位移，就可以反推加速度和初速度。由此，可以再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出：

對(duì)于任意的一段勻變速直線運(yùn)動(dòng)，都有五個(gè)物理量來描述它：初速度、末速度、加速度、時(shí)間和位移。只要我們知道其中的任意三個(gè)量，剩下的兩個(gè)就一定能用以上的方程組求得。

我們可以給以上方程組取個(gè)昵稱叫“萬能方程組”，因?yàn)閷?duì)于任意勻變速直線運(yùn)動(dòng)的問題都能用它解決。在拿到一個(gè)問題時(shí)，列出五個(gè)物理量中的三個(gè)已知量，把它們代入方程組，即可求得另外的量了。

這樣就給學(xué)生吃了一個(gè)定心丸，碰到不知所措的問題，他們就能想到，一定能用這個(gè)萬能方程組解決。

2.2 其他公式的推導(dǎo)

既然以上“萬能方程組”能解決任意問題，那么為什么還要學(xué)速度與位移的關(guān)系式呢？

這是因?yàn)樵谟行﹩栴}里面，時(shí)間t并沒有涉及，既非已知量，也不是題目所求。 在這種情況下， 使用速度與位移的關(guān)系式[即式（3）]就比用萬能方程組要簡(jiǎn)單些。 式（3）是由萬能方程組消去時(shí)間t后得到的，因此它并不是一個(gè)獨(dú)立的方程。

如果我們?cè)賮碜屑?xì)觀察式（1）和式（2），可以得到：在一個(gè)并不涉及位移x的問題里，單獨(dú)使用式（1）就可以解決；而在不涉及末速度v的問題里面，只需要單獨(dú)使用式（2）就可以解決了。

那么，下一步就是引導(dǎo)學(xué)生去探究：在不涉及v0的問題里，是否也可以用一個(gè)公式解決呢？如果是不涉及a的問題呢，又如何？通過借用類似上面的消元法，我們這里要使a不被涉及，就可以通過聯(lián)立式（1）和（2），消去a，得到

這個(gè)改寫一下，其實(shí)就是勻變速直線運(yùn)動(dòng)平均速度的公式

同樣，通過聯(lián)立式（1）和（2），消去v0，我們得到

因此，在已知和所求都沒有初速度v0的情況下，就只需要用這一個(gè)式子求解。

2.3 公式間的關(guān)系及物理本質(zhì)梳理

整理一下以上的分析過程，可以得到一張說明各個(gè)公式的物理本質(zhì)和關(guān)系的圖表，如圖1所示。

這樣的一個(gè)教學(xué)過程和總結(jié)能夠讓學(xué)生更加清晰地認(rèn)清這些公式的物理本質(zhì)和它們之間的聯(lián)系，用起來自然就得心應(yīng)手很多。

3 兩種新的解題方法

通過以上的公式推導(dǎo)和總結(jié)，我們可以給出兩種與常規(guī)方法不一樣的求解勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題的方法。

3.1 萬能方程組法

這種方法就是對(duì)于任意問題都不去考慮選公式的問題，通通代入萬能方程組。因?yàn)槿f能方程組是通過兩個(gè)獨(dú)立的定義式推導(dǎo)出來的方程組，只要已知三個(gè)量就能求解任何勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題。在面對(duì)一個(gè)任意的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，可以免去考慮選用什么公式的麻煩，直接把已知量代入這個(gè)方程組，就一定能求出未知量。

例題 汽車由靜止出發(fā)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，用10 s時(shí)間通過一座長(zhǎng)140 m的橋，過橋后速度是16 m/s，求：

（1）它剛開上橋頭時(shí)速度有多大？

（2）橋頭與出發(fā)點(diǎn)相距多遠(yuǎn)？

解析 （1）研究汽車過橋這段運(yùn)動(dòng)，以橋頭為原點(diǎn)、汽車運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较蚪⒅本€坐標(biāo)軸，已知時(shí)間t=10 s，位移x=140 m，末速度v=16 m/s，直接將已知量代入這個(gè)萬能方程組

解得剛上橋頭時(shí)的速度v0=12 m/s， 加速度a=0.4 m/s2。

（2）研究汽車從出發(fā)點(diǎn)到剛上橋頭這段運(yùn)動(dòng)，以出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)、汽車運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较蚪⒅本€坐標(biāo)軸，已知初速度v0'=0，加速度a'=0.4 m/s2（由上一小問求得），末速度v'=12 m/s（即剛上橋頭時(shí)的速度，由上一小問求得），則將已知量代入這個(gè)萬能方程組得

解以上方程組即得上橋之前這段運(yùn)動(dòng)所走的距離為180 m。

3.2 通過未涉及量挑選公式法

這種方法的第一步也是考查所給問題的已知量和所求量，從而確定哪一個(gè)物理量是在已知和所求中均未涉及，我們把這個(gè)量稱為未涉及量。再通過表1，選擇對(duì)應(yīng)的方程，代入已知量即可求解。使用這種方法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于任何一個(gè)問題，我們都只需要使用一個(gè)方程就能求解。

下面使用這種方法來求解上面的例題。

解析 （1）研究汽車過橋這段運(yùn)動(dòng)，以橋頭為原點(diǎn)、汽車運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较蚪⒅本€坐標(biāo)軸，已知時(shí)間t=10 s，位移x=140 m，末速度v=16 m/s，所求為初速度v0， 未涉及量為a，因此把已知量代入這個(gè)不含a的公式：

即可直接得出答案：v0=12 m/s

（2）要求上橋之前的位移（設(shè)為x'），就要研究汽車從出發(fā)點(diǎn)到剛上橋頭這段運(yùn)動(dòng)，已知v0' =0，v'=12 m/s， 還需要知道a'或者t' 中的另外一個(gè)量才能求解。

很顯然，這段運(yùn)動(dòng)的a'與第（1）問中的a是相等的，因此我們先要求第（1）問中的a：已知t=10 s，x=140 m，v=16 m/s，那么用不涉及初速度的公式（5）即可求得加速度a=0.4 m/s2。

于是a'=a=0.4 m/s2也是已知量了，于是時(shí)間是未涉及量，直接把已知都代入不含時(shí)間的公式（3）：

即可解得答案：v'=180 m

4 小 結(jié)

通過以上的探討和分析，我們很容易看到雖然在學(xué)習(xí)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，有很多的公式需要掌握，但是它們都是由兩個(gè)基本公式，即速度隨時(shí)間的變化關(guān)系式以及位移隨時(shí)間的變化關(guān)系式，通過消元得到的。而這兩個(gè)最基本的公式，又都是由加速度和速度的定義在加速度恒定這一限制條件下變形而來的。

筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，在幫學(xué)生理清這些公式間的關(guān)系和物理本質(zhì)之后，學(xué)生對(duì)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律認(rèn)識(shí)更加深刻。有些學(xué)生傾向于使用本文介紹的第一種方法，因?yàn)樗麄冇X得這種方法簡(jiǎn)單方便，不需要去考慮選擇哪個(gè)公式。 也有些學(xué)生更喜歡第二種方法，認(rèn)為此方法給出了明確的選擇公式的方式，只需要用一個(gè)公式就能求解一個(gè)物理量，一一對(duì)應(yīng)。 因此，這兩種方法各有所長(zhǎng)，學(xué)生可以根據(jù)自己的情況選擇。但是，不管哪種方法，都是在學(xué)生理解這些公式的物理本質(zhì)和聯(lián)系的基礎(chǔ)之上的，他們?cè)诮忸}過程中才能思路更加清晰， 觸類旁通[5-6]。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯 羅琬華）