基于勢(shì)函數(shù)的企業(yè)聯(lián)盟收益分配策略

孫紅霞,張 強(qiáng)

(1.北京工商大學(xué)商學(xué)院,北京100048；2.北京理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院,北京100089)

1 引 言

在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中,企業(yè)往往采取與其他企業(yè)結(jié)盟的策略來增強(qiáng)自身的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì),有效規(guī)避各類風(fēng)險(xiǎn),不斷開發(fā)新的資源,從而占有更多的市場(chǎng)份額.例如:騰訊公司和京東商城達(dá)成戰(zhàn)略聯(lián)盟,通過股權(quán)投資和深度業(yè)務(wù)合作共同發(fā)展中國實(shí)物電商業(yè)務(wù)；通用汽車與Lyft結(jié)成戰(zhàn)略聯(lián)盟,共同開發(fā)自動(dòng)駕駛汽車.聯(lián)盟的形成遍及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的各個(gè)行業(yè),表現(xiàn)形式也多種多樣,如以合作研發(fā)的方式進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新的研發(fā)聯(lián)盟[1],以特許經(jīng)營合作廣告進(jìn)行產(chǎn)品銷售的銷售聯(lián)盟[2]等.合作聯(lián)盟由于各自的資源優(yōu)勢(shì)和業(yè)務(wù)能力的不同,可以讓彼此進(jìn)入新的業(yè)務(wù)領(lǐng)域,為企業(yè)帶來更多的利潤.成功的合作或結(jié)盟必須以靈活和公平的機(jī)制設(shè)計(jì)為基礎(chǔ),以何種方式結(jié)盟及結(jié)盟后如何分配收益是企業(yè)結(jié)盟需要解決的問題.在實(shí)際問題中,企業(yè)結(jié)盟問題可以抽象成合作對(duì)策模型,結(jié)盟后的收益分配問題可以納入到合作對(duì)策的理論框架中.以虛擬企業(yè)為例,虛擬企業(yè)的成員可以看作合作對(duì)策中的局中人,總收益相當(dāng)于合作對(duì)策的支付函數(shù),虛擬企業(yè)存在準(zhǔn)超額利潤等價(jià)于合作對(duì)策是超可加的,虛擬企業(yè)的分配實(shí)質(zhì)上是將合作成員企業(yè)共同創(chuàng)造和實(shí)現(xiàn)的收益按照一定的規(guī)則進(jìn)行分配和分割的過程,也就是按照一定的原則尋找合作對(duì)策解的過程.由于企業(yè)合作結(jié)盟在實(shí)現(xiàn)“單贏”的同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)“共贏”,這種兼顧集體理性與個(gè)體理性的思想正好與合作對(duì)策的理論基礎(chǔ)相吻合,因此可以利用合作對(duì)策的解概念解決企業(yè)間的收益分配問題.

在經(jīng)典的合作對(duì)策中,給定一個(gè)聯(lián)盟意味著每個(gè)企業(yè)之間都會(huì)有直接的聯(lián)系,但在現(xiàn)實(shí)復(fù)雜對(duì)策過程中,受多種復(fù)雜因素的影響,局中人之間既有合作的需求,同時(shí)也存在利益分割等內(nèi)部矛盾,聯(lián)盟的形成會(huì)受到諸多條件的限制.譬如,企業(yè)參與合作聯(lián)盟時(shí),與某些企業(yè)先結(jié)盟,然后再和其他企業(yè)或者聯(lián)盟結(jié)盟,企業(yè)的這種結(jié)盟方式可以用聯(lián)盟結(jié)構(gòu)表示.聯(lián)盟結(jié)構(gòu)指參與對(duì)策的全體局中人的一個(gè)劃分,其中的元素稱為優(yōu)先聯(lián)盟.具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策問題是一類較復(fù)雜的研究方向.

合作聯(lián)盟收益的分配方式稱為合作對(duì)策的解或者支付向量,對(duì)于經(jīng)典的合作對(duì)策,目前研究較多的解概念是Shapley值[3,4].Owen值是具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的解概念之一,它是Shapley值的一種擴(kuò)展形式,由Owen于1977年提出[5].基于Owen值的分配方式基于兩個(gè)階段,首先,利用Shapley值將大聯(lián)盟的收益在各優(yōu)先聯(lián)盟之間進(jìn)行分配,此時(shí)將每個(gè)優(yōu)先聯(lián)盟看成是單個(gè)局中人；其次,每個(gè)優(yōu)先聯(lián)盟再次利用Shapley值將第一階段獲得的收益在其內(nèi)部各局中人之間進(jìn)行分配.目前對(duì)于Owen值的研究主要集中于三個(gè)方面,一是根據(jù)具體的應(yīng)用環(huán)境,提出新的公理化Owen值的方法[6-11].如:Hamiache[7]提出一種較為復(fù)雜的公理化Owen值的方法,涉及到有效性、可加性、不相關(guān)參與人獨(dú)立性、嚴(yán)格正數(shù)性、對(duì)稱性以及相關(guān)一致性.Khmelnitskaya等[8]基于Young的思想,利用邊際貢獻(xiàn)性代替可加性和零元性對(duì)Owen值進(jìn)行刻畫.二是將Owen值進(jìn)行改進(jìn)[12-19],以適應(yīng)新的應(yīng)用環(huán)境.如:對(duì)于優(yōu)先聯(lián)盟不交的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)形式,Albizuri[12]對(duì)Owen值進(jìn)行了改進(jìn).對(duì)于具有模糊聯(lián)盟的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)形式,Meng等[14]研究了模糊Owen值,并對(duì)改值進(jìn)行了刻畫.對(duì)于優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)部成員合作受限制的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)形式,van den Brink等[18]提出了Owen型值，并對(duì)其進(jìn)行刻畫.三是Owen值的應(yīng)用研究[20-23].如:Costa[22]將Owen值用于歐洲鐵路系統(tǒng)重組的成本分?jǐn)倖栴}.胡軍鋒[23]將Owen值用于風(fēng)電接入導(dǎo)致的輔助服務(wù)成本分?jǐn)倖栴}中.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)界,新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的邊際分析認(rèn)為,企業(yè)只有在邊際成本等于邊際收益處才能獲得最大化利潤,因而每個(gè)生產(chǎn)要素必然會(huì)根據(jù)它的邊際產(chǎn)品獲得報(bào)酬,工資也就等于其邊際貢獻(xiàn),因此,局中人的邊際貢獻(xiàn)在制定合作聯(lián)盟收益分配方案時(shí)起著很重要的作用.一般來說,局中人的邊際貢獻(xiàn)之和應(yīng)該等于大聯(lián)盟的總收益,即分配方案滿足有效性,但是對(duì)于Owen值而言,每位局中人的邊際貢獻(xiàn)不滿足有效性,對(duì)于經(jīng)典的合作對(duì)策,Hart等[24]利用勢(shì)函數(shù)的概念解決了這一問題,證明Shapley值可用勢(shì)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn)來表示,本節(jié)主要借鑒Hart等[24]的思想,從邊際貢獻(xiàn)的概念出發(fā),用勢(shì)函數(shù)對(duì)Owen值進(jìn)行刻畫,為Owen值的計(jì)算提供了一種新的方法.首先,給出具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的勢(shì)函數(shù)(文中簡(jiǎn)稱為勢(shì)函數(shù))的定義及相關(guān)性質(zhì),其次,研究了該勢(shì)函數(shù)與Owen值之間的關(guān)系,并用算例分析的方法,闡述了勢(shì)函數(shù)在聯(lián)盟企業(yè)收益分配方案中的應(yīng)用.

2 基于勢(shì)函數(shù)的收益分配方案

合作對(duì)策的構(gòu)成因素包括局中人聯(lián)盟和特征函數(shù),用二元組(N,v)表示,其中N={1,2,···,n}局中人集合,N的全部子集所組成的集合記為2N,其中的任一元素都表示一個(gè)聯(lián)盟.v∶2N→R是定義在N的所有子集上的特征函數(shù),滿足v(?)=0.任意S∈2N,v(S)表示聯(lián)盟S在一定協(xié)議下經(jīng)過合作得到的收益.合作對(duì)策的全體記為GN.

N的劃分B={B1,B2,···,Bm}稱為關(guān)于N的聯(lián)盟結(jié)構(gòu),Bi稱為優(yōu)先聯(lián)盟,M={1,2,···,m}表示優(yōu)先聯(lián)盟的下標(biāo)集合,該集合中元素的個(gè)數(shù)是指聯(lián)盟結(jié)構(gòu)中的優(yōu)先聯(lián)盟的個(gè)數(shù).三元組(N,v,B)稱為具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策.N上所有具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的全體記為CGN.在具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策中,Owen值的分配方式基于兩個(gè)階段,具體的步驟如下:

步驟1利用Shapley值在各優(yōu)先聯(lián)盟之間進(jìn)行分配.

設(shè)(M,vB)是由(N,v,B)誘導(dǎo)出來的對(duì)策.優(yōu)先聯(lián)盟Bt所獲得的利潤分配可以看成M上的Shapley 值,即 ShBt(vB)；

步驟2用Shapley值在優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)部進(jìn)行分配.

在優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)的收益分配涉及到確定各個(gè)聯(lián)盟(各個(gè)聯(lián)盟指同一優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)部各局中人構(gòu)成的聯(lián)盟)的收益函數(shù)問題.由于各個(gè)聯(lián)盟具有與外部?jī)?yōu)先聯(lián)盟進(jìn)行合作的可能性,所以每個(gè)聯(lián)盟在新對(duì)策中的收益取決于這個(gè)聯(lián)盟與其他優(yōu)先聯(lián)盟的議價(jià)能力.因此在這一階段主要是考慮如何分配ShBt(vB).

假設(shè)S?Bt,S?=?,令 B(S)={B1,B2,···,Bt-1,S,Bt+1,···,Bm},B(S)上的對(duì)策定義為

對(duì)任意的S?Bt,Bt上的對(duì)策vt定義為vt(S)=ShS(vB(S)),其中ShS(vB(S))表示對(duì)于對(duì)策vB(S),“局中人”[S]在M上的Shapley值.

任意(N,v,B)∈CGN,局中人i的Owen值定義如下

將式(1)進(jìn)行整理,可得Owen值的具體形式[1]

在經(jīng)典合作對(duì)策中,局中人的邊際貢獻(xiàn)定義如下[12].

定義1函數(shù)P∶GN→R,且P(?,v)=0,第i個(gè)局中人在(N,v)∈GN上的邊際貢獻(xiàn)定義為

2.1 勢(shì)函數(shù)概念及分配方案

給定一個(gè)對(duì)策(N,v,B)∈CGN和一個(gè)聯(lián)盟S?N,(S,v,B|S)稱為子對(duì)策,它是通過把v局限于S的所有子集即2S上而得到的.

給定函數(shù)P{Bt}∶CGN→R,對(duì)于每個(gè)合作對(duì)策(N,v,B),都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)P{Bt}(N,v,B)與其對(duì)應(yīng).在具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策中,每個(gè)局中人的邊際貢獻(xiàn)與其所在的優(yōu)先聯(lián)盟有關(guān),因此將該局中人的邊際貢獻(xiàn)定義如下.

定義 2任意t∈M,函數(shù)P{Bt}∶CGN→R,且P{Bt}(N,v,B)=0,Bt內(nèi)的局中人i在對(duì)策(N,v,B)∈CGN上的邊際貢獻(xiàn)定義為

其中(N{i},v,B|{i})是(N,v,B)局限于N{i}上的子對(duì)策.

定義3任意(N,v,B)∈CGN,(M,vB)∈GM,t∈M.如果函數(shù)P{Bt}∶CGN→R滿足

則稱P為CGN上關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟Bt的勢(shì)函數(shù),其中[Bt]表示將Bt∈B看成單個(gè)局中人,D[Bt]P(M,vB)表示局中人[Bt]在對(duì)策(M,vB)上的邊際貢獻(xiàn).

式(2)說明每個(gè)優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)部的局中人的邊際貢獻(xiàn)之和等于該優(yōu)先聯(lián)盟在對(duì)策(M,vB)∈GN中的邊際貢獻(xiàn).又因?yàn)镈[Bt]P(M,vB)=Sh[Bt](vB),所以每個(gè)優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)的局中人的邊際貢獻(xiàn)之和等于該優(yōu)先聯(lián)盟在第一步分配中所獲得的收益.

由性質(zhì)1可知,勢(shì)函數(shù)就是指每個(gè)企業(yè)的邊際貢獻(xiàn)分配之和等于合作大聯(lián)盟N的收益值,這一性質(zhì)稱為有效性,即{DiP{Bt}(N,v,B)}i∈N是對(duì)策(N,v,B)∈CGN的一個(gè)有效支付方案,即{DiP{Bt}(N,v,B)}i∈N是合作聯(lián)盟的收益分配方案.

性質(zhì)2任意(N,v,B)∈CGN,t∈M,關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟Bt的勢(shì)函數(shù)可以表示為

證明如果P{Bt}是關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟Bt的勢(shì)函數(shù),那么當(dāng)|Bt|=1時(shí),有

當(dāng)|Bt|=2時(shí),有

一般而言,當(dāng)|Bt|≥3時(shí),按照上述方法循環(huán)下去即可得

式(3)說明對(duì)策關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟的勢(shì)函數(shù)可以由其子對(duì)策的勢(shì)函數(shù)唯一確定.根據(jù)前面的分析,利用勢(shì)函數(shù)進(jìn)行收益分配的步驟如下:

步驟1計(jì)算各個(gè)子對(duì)策關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟的勢(shì)函數(shù)；

步驟2計(jì)算大聯(lián)盟關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟的勢(shì)函數(shù)；

步驟3計(jì)算勢(shì)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn),即可得到收益分配方案.

2.2 勢(shì)函數(shù)與Owen值的關(guān)系

Owen值是具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的主要解概念之一,下面將給出Owen值與勢(shì)函數(shù)之間的關(guān)系,用勢(shì)函數(shù)對(duì)Owen值進(jìn)行刻畫.

定理1任意(N,v,B)∈CGN,存在唯一的關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟Bt的勢(shì)函數(shù)P{Bt}∶CGN→R+,且對(duì)于Owen值Ow有

證明由式(3)可知存在唯一的關(guān)于優(yōu)先聯(lián)盟Bt的勢(shì)函數(shù).下面證明DiP{Bt}(N,v,B)=Owi(N,v,B).

則Q(?,v,B)=0.

根據(jù)邊際貢獻(xiàn)和Owen值的定義

引理1任意(N,v,B)∈CGN,(Bt,vt)∈GN,有DiP{Bt}(N,v,B)=DiP(Bt,vt).

證明1由定理1的證明過程可知,一個(gè)對(duì)策的勢(shì)函數(shù)也可根據(jù)聯(lián)盟的收益值來表示.同時(shí),定理1給出了對(duì)策的勢(shì)函數(shù)與Owen值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,由式(4)可知,勢(shì)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn)與Owen值相等,因此具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的收益分配問題可以通過勢(shì)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn)解決,它也為計(jì)算Owen值提供了另一種方法.由定理1及式(1)可知

3 企業(yè)聯(lián)盟收益分配策略算例

設(shè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中有企業(yè)1,企業(yè)2和企業(yè)3三家企業(yè)(分別記為A1,A2,A3)合作開發(fā)一種新型產(chǎn)品,假設(shè)A1,A2和A3各自開發(fā)時(shí)收益分別為100萬元,60萬元和70萬元.如果聯(lián)合開發(fā),由于資源互補(bǔ)、開發(fā)成本減少,利潤也會(huì)有所增大,因此三家企業(yè)決定聯(lián)合開發(fā)新產(chǎn)品,不同聯(lián)盟組合下各種產(chǎn)品的產(chǎn)量和單位利潤如表1所示.

表1 產(chǎn)品的產(chǎn)量、單位利潤及聯(lián)盟的利潤Table 1 Quantity and unit profit of product,profit of coalition

如果三家企業(yè)之間有直接的合作關(guān)系,就構(gòu)成了合作對(duì)策(N,v),其中N={A1,A2,A3},v({A1})=100,v({A2})=60,v({A3})=70,v({A1,A2})=v({A1,A3,A2})=200,v({A2,A3})=300,v({A1,A2,A3})=600.

企業(yè)2為了提高自身的核心競(jìng)爭(zhēng)力,充分發(fā)揮自身核心競(jìng)爭(zhēng)力和增強(qiáng)企業(yè)對(duì)環(huán)境的迅速應(yīng)變能力,以生產(chǎn)外包方式把一些非核心業(yè)務(wù)委托給企業(yè)3,然后再和企業(yè)1合作組裝新產(chǎn)品.此時(shí)三家企業(yè)的合作模式發(fā)生了變化,如圖1所示.在新的合作模式下如何分配大聯(lián)盟所得的收益呢？

圖1 合作模式的變化Fig.1 Changes of the cooperation mode

在新的合作模式下,三家企業(yè)的合作可以用具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策表示.為方便起見,企業(yè)1所在的優(yōu)先聯(lián)盟用a={A1}表示,企業(yè)2和企業(yè)3優(yōu)先組成聯(lián)盟用b={A2,A3}表示,則M={a,b},下面將利用勢(shì)函數(shù)求解收益分配策略.

由于任意t∈M,P{Bt}(?,v,B)=0,根據(jù)式(3)可得

同理可以得到

由定理1可知,企業(yè)1的收益為

同理可得企業(yè)2和企業(yè)3的收益分別為Ow2(N,v,B)=197.5和Ow3(N,v,B)=202.5.

綜上所述,可以得到三家企業(yè)的收益分配策略:當(dāng)預(yù)期的利潤為600萬元時(shí),三家企業(yè)得到的報(bào)酬分別是200萬元,197.5萬元和202.5萬元.

4 結(jié)束語

本文針對(duì)部分企業(yè)優(yōu)先合作,然后與其它企業(yè)或者聯(lián)盟再合作的結(jié)盟形式,從勢(shì)函數(shù)的角度研究了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的收益分配策略.Owen值也是一種收益分配策略,但是根據(jù)Owen值進(jìn)行收益分配或成本分?jǐn)倳r(shí),局中人的邊際貢獻(xiàn)不滿足有效性,而勢(shì)函數(shù)正好解決了此問題,從新的角度對(duì)Owen值進(jìn)行了刻畫,為計(jì)算Owen值提供了新的方法.本文只是從勢(shì)函數(shù)角度對(duì)Owen值做了詮釋,利用其他的方法刻畫Owen值或者從新的角度研究收益分配方案是今后研究的重點(diǎn).