兩水平修理策略的k/n(G)表決系統(tǒng)可靠性分析

吳文青,唐應(yīng)輝,張元元

(1.西南科技大學(xué)理學(xué)院,四川綿陽 621010；2.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都 610066)

1 引 言

k/n(G)表決系統(tǒng)由n個部件組成,當(dāng)n個部件中至少有k個部件同時正常工作時,系統(tǒng)才正常運轉(zhuǎn)(1≤k≤n),即當(dāng)故障的部件數(shù)等于n-k+1時系統(tǒng)就故障.關(guān)于k/n(G)表決系統(tǒng)的基本理論及相關(guān)研究成果可見文獻(xiàn)[1,2].在k/n(G)表決系統(tǒng)中,若k=1,則系統(tǒng)退化成n部件并聯(lián)系統(tǒng),此時系統(tǒng)故障當(dāng)且僅當(dāng)n個部件全部處于故障狀態(tài).若k=n,則系統(tǒng)退化成n部件串聯(lián)系統(tǒng),此時系統(tǒng)故障當(dāng)且僅當(dāng)n個工作部件中有一個部件發(fā)生故障.關(guān)于其特例的研究可見文獻(xiàn)[3—5].k/n(G)表決系統(tǒng)作為可靠性數(shù)學(xué)理論中的一類非常重要的基本模型,被廣泛應(yīng)用于金融系統(tǒng)、航空航天系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、核安全系統(tǒng)等.比如,在核電站系統(tǒng)中,反應(yīng)堆保護(hù)系統(tǒng)由n個保護(hù)裝置組成,只要有任意的k個及以上的保護(hù)裝置符合保護(hù)觸發(fā)條件,系統(tǒng)便發(fā)出保護(hù)動作以保護(hù)三大核安全屏障(燃料包殼、一回路壓力邊界和安全殼)的完整性.這里的反應(yīng)堆保護(hù)系統(tǒng)可看作是一個k/n(G)表決系統(tǒng).

一些對經(jīng)典的k/n(G)表決可修系統(tǒng)的研究可見文獻(xiàn)[6—9].這些文獻(xiàn)使用隨機過程理論與方法討論了系統(tǒng)的可用度、系統(tǒng)的故障頻度、系統(tǒng)首次故障前的平均時間等可靠性指標(biāo).Zhang等[10]研究了馬爾可夫型k/n(F)表決可修系統(tǒng),即(n-k+1)/n(G)表決可修系統(tǒng),其中部件修復(fù)如新,修理設(shè)備修復(fù)不如新.作者利用幾何過程理論、排隊論方法和向量馬爾可夫過程理論給出了系統(tǒng)的可用度、故障部件的平均等待修理時間、修理設(shè)備空閑的概率等相關(guān)指標(biāo)以及數(shù)值結(jié)果.另外,Krishnamoorthy等[11-13]又將各種維修策略,如D—策略,T—策略或者N—策略引入到k/n(G)表決系統(tǒng)的研究中,并給出了相關(guān)可靠性指標(biāo)的表達(dá)式和數(shù)值結(jié)果.在文獻(xiàn)[13]中,作者考慮的N—策略維修規(guī)則是這樣的:當(dāng)系統(tǒng)中故障部件數(shù)累積到預(yù)先設(shè)定的N值時,修理工才開始修理故障的部件,一直持續(xù)到系統(tǒng)中沒有故障部件為止.然后,修理工轉(zhuǎn)入空閑狀態(tài)直到下一次系統(tǒng)中累積故障部件數(shù)達(dá)到N值時才又開始轉(zhuǎn)入修理狀態(tài).隨后,Wu等[14]研究了N策略,修理工多重休假和修理設(shè)備可更換的k/n(G)表決可修系統(tǒng).利用馬爾可夫過程理論和矩陣分析方法,作者得到了一系列系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上建立了系統(tǒng)長時間運行下的利潤函數(shù),并數(shù)值給出了最優(yōu)解.更多關(guān)于k/n(G)表決系統(tǒng)的工作可見文獻(xiàn)[15—19].最近,付永紅等人[20]研究了一個具有兩水平修理策略的機器維修模型,即1/n(G)表決系統(tǒng).使用補充變量法,作者獲得了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中故障機器數(shù)的概率分布,以及相關(guān)指標(biāo)的表達(dá)式和數(shù)值結(jié)果.

受文獻(xiàn)[13,20]的啟發(fā),本文考慮具有兩水平(r,s)修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng).這種修理策略的本質(zhì)在于通過對閾值的事先設(shè)定來合理有效地指派普通修理工或者熟練修理工對故障部件進(jìn)行修理.與之前的k/n(G)表決可修系統(tǒng)模型相比較,這種修理策略的特點是:工作部件故障后并不立即對其進(jìn)行任何修理,而是等到故障部件累積到事先設(shè)定的低閾值r時,才指派普通修理工進(jìn)行修理.如果普通修理工在修理過程中進(jìn)展不順利,故障部件數(shù)持續(xù)增加到高閾值s時,系統(tǒng)性能受到嚴(yán)重影響時,將立即指派熟練修理工去接替普通修理工對故障部件進(jìn)行修理,以盡快恢復(fù)系統(tǒng)的性能.利用馬爾可夫過程理論和分析方法,討論了系統(tǒng)可用度、故障頻度以及系統(tǒng)首次故障前的平均時間等可靠性指標(biāo),并給出了相關(guān)指標(biāo)的表達(dá)式和數(shù)值結(jié)果.

2 兩水平修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng)

本文研究的兩水平修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng)的模型描述如下:

1)系統(tǒng)由n個同型部件組成,當(dāng)至少有k(1≤k≤n)個部件同時工作時,系統(tǒng)才正常工作.當(dāng)故障部件數(shù)等于n-k+1時系統(tǒng)就故障,在系統(tǒng)故障期間,剩余的k-1個正常部件不再發(fā)生故障.

2)系統(tǒng)中每個部件的工作壽命X服從負(fù)指數(shù)分布F(t)=1-e-λt,0＜λ＜∞,t≥0.當(dāng)工作部件發(fā)生故障時,系統(tǒng)將根據(jù)兩水平(r,s),0≤r≤s≤n-k+1,修理策略指派相應(yīng)的修理工對其進(jìn)行修理.如果系統(tǒng)中故障的部件數(shù)小于r值時,系統(tǒng)暫不指派修理工修理故障部件.如果系統(tǒng)中故障的部件數(shù)達(dá)到r值時,立即指派普通修理工對故障部件進(jìn)行修理.若普通修理工的修理工作順利,r個故障部件及其后的故障部件修理完畢,則普通修理工撤出系統(tǒng).若普通修理工的修理工作不順利,系統(tǒng)中故障部件數(shù)持續(xù)增加到s值時,系統(tǒng)則立即指派熟練修理工對故障部件進(jìn)行修理.當(dāng)系統(tǒng)性能好轉(zhuǎn),故障部件數(shù)小于s時,熟練修理工撤出系統(tǒng),原先的普通修理工進(jìn)入系統(tǒng)繼續(xù)修理,直到所有的故障部件修理完畢.如果在此期間,系統(tǒng)累積的故障部件數(shù)又一次達(dá)到閾值s時,則熟練修理工再次接替普通修理工進(jìn)入系統(tǒng)開展修理工作.

3)普通修理工的修理時間Y1服從負(fù)指數(shù)分布G1(t)=1-e-μ1t,0≤μ1＜∞,t≥0.熟練修理工的修理時間Y服從負(fù)指數(shù)分布G(t)=1-e-μt,0≤μ＜∞,t≥0.

4)系統(tǒng)涉及到的隨機變量彼此獨立.

下面建立系統(tǒng)狀態(tài)概率滿足的穩(wěn)態(tài)方程組.令L(t)=i,i=0,1,...,n-k+1,表示時刻t系統(tǒng)中有i個部件處于故障狀態(tài)(包括正在修理的部件).設(shè)

由模型描述和負(fù)指數(shù)分布的“無記憶性”可知,隨機過程{L(t),J(t)|t≥0}是連續(xù)時間擬生滅過程,其狀態(tài)空間為

為了后面討論的方便,記λi=(n-i)λ,i=0,1,...,n-k.進(jìn)一步,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 State transition diagram of the system

下面給出圖1中有序數(shù)對的簡單說明,其中(i,0)表示系統(tǒng)中有i個故障部件,i=0,1,...,r-1,系統(tǒng)未指派修理工修理故障部件.(i,1)表示系統(tǒng)中有i個故障部件,i=1,2,...,s-1,普通修理工正在修理故障部件.(i,2)表示系統(tǒng)中有i個故障部件,i=s,s+1,...,n-k+1,熟練修理工正在修理故障部件.

定義系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率

根據(jù)馬爾可夫過程理論和系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率滿足如下方程組

下面推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)概率pi,0,i=0,1,...,r-1,pi,1,i=1,2,...,s-1,pi,2,i=s,s+1,...,n-k+1的表達(dá)式.首先,由式(1)得

根據(jù)方程(2),有

由方程(3),得λ1p1,1-μ1p2,1=-μ1p1,1=-λ0p0,0.將其代入方程(4),整理后有如下遞推表達(dá)式

進(jìn)一步,從式(13)可得

由方程(5)得

類似方程(5)的推導(dǎo),由方程(6)得

將ps-1,1和ps-2,1代入式(7),得

同樣地,將ps,2和ps-1,1代入式(8),得

類似于方程(4)和方程(6)的處理,由式(9)得

由正則性條件,所有的概率加起來為1,即

將上述各表達(dá)式代入式(20),解得p0,0=Δ,其中

至此,得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分別為

下面給出穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)相關(guān)性能績效指標(biāo)的表達(dá)式.

3 系統(tǒng)首次故障前的平均時間

定義1[21]概率分布H(x)稱為(0,+∞)上具有不可約表示(α,T)的m階位相型分布(簡稱PH分布),當(dāng)且僅當(dāng)它是一個狀態(tài)空間為{1,2,...,m+1}的馬氏過程的吸收時間分布,其中狀態(tài)1,2,...,m都是非常返的,狀態(tài)m+1為過程的吸收狀態(tài).記該過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率矩陣為

過程的初始狀態(tài)概率向量為(α1×m,01×1),其中0表示初始時刻過程處于吸收態(tài)的概率為0.這里,分布函數(shù)為H(x)=1-αexp(Tx)e,x≥0,數(shù)學(xué)期望E[χ]=-αT-1e.

利用馬氏鏈吸收時間理論來討論k/n(G)表決系統(tǒng)首次故障前的平均時間.首先,對系統(tǒng)的n-k+r+1個狀態(tài)按照如下的方式進(jìn)行排列,即

狀態(tài)(0,0),(1,0),(1,1),...,(r-1,0),(r-1,1),(r,1)...,(s-1,1),(s,2),...,(n-k,2)都是非常返的,狀態(tài)(n-k+1,2)為過程的吸收狀態(tài).根據(jù)PH分布的定義可得此過程的轉(zhuǎn)移速率矩陣為

因此,本文討論的k/n(G)表決可修系統(tǒng)首次故障前的平均時間

4 數(shù)值例子

算例1本算例以某地區(qū)的手機通信網(wǎng)絡(luò)為例來分析系統(tǒng)相關(guān)可靠性指標(biāo)隨系統(tǒng)參數(shù)變化的情況.假設(shè)有5個傳輸塔就能基本滿足這一地區(qū)的手機通信,但管理者為了提高通信的質(zhì)量和滿足不同顧客的需求,往往會多安裝幾個傳輸塔,比如18個.于是,這一地區(qū)的通信傳輸系統(tǒng)就是5/18(G)表決系統(tǒng).在運行過程中,若故障的傳輸塔數(shù)量小于 4個時,由于對通信并不會造成實質(zhì)性的影響,故暫不指派技術(shù)人員(即修理工)去修理故障傳輸塔.若故障的傳輸塔數(shù)量達(dá)到4個時,此時可能會引起通信不暢,這時管理者立即指派普通修理工對故障傳輸塔進(jìn)行修理.在此期間,若故障的傳輸塔數(shù)量持續(xù)增加到12個時,通信將受到嚴(yán)重干擾,則立即指派熟練修理工對其進(jìn)行修理.傳輸塔的工作壽命服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布,普通修理工和熟練修理工對故障傳輸塔的修理時間分布服從參數(shù)為μ1和μ的負(fù)指數(shù)分布.選取參數(shù)λ=0.4,μ1=2.5,μ=3.5.利用MATLAB編寫相應(yīng)的數(shù)值計算程序,所得結(jié)果分別見表1,表2和圖2,相關(guān)數(shù)值結(jié)果保留到小數(shù)點后8位.

表1 5/18(G)表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布及相關(guān)指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果Table 1 Steady-state probabilities and performance measures of5/18(G)system

表2 不同初始條件下5/18(G)表決系統(tǒng)首次故障前的平均時間Table 2 MTTFF of 5/18(G)system under different initial conditions

表1給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布及相關(guān)可靠性指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果.表2給出了在不同初始條件下系統(tǒng)首次故障前的平均時間的數(shù)值結(jié)果.從表中可看出開始時刻系統(tǒng)中故障部件數(shù)越多,其MTTFF的值就越小,這與實際情形相吻合.

圖2描繪了在不同的部件故障率λ和維修閾值s下,A,mf,E[L]和Pe的數(shù)值結(jié)果.從中可看出,隨著λ的增大,即工作部件越容易發(fā)生故障,系統(tǒng)可用度逐步減小,而故障頻度、平均故障部件數(shù)和熟練修理工繁忙概率逐漸增大.另一方面,當(dāng)λ取值給定時,s值越小,熟練修理工越早進(jìn)入系統(tǒng)修理故障部件,則系統(tǒng)可用度明顯增大,而故障頻度、平均故障部件數(shù)變小.正由于較早進(jìn)入系統(tǒng),故熟練修理工繁忙的概率相應(yīng)地增大了.

圖2 不同參數(shù)λ和s下5/18(G)表決系統(tǒng)可靠性指標(biāo)變化曲線Fig.2 System performance measures of 5/18(G)system versus(λ,s)

算例2令k=1,則k/n(G)表決系統(tǒng)退化為經(jīng)典的機器維修模型.付永紅等[20]獲得了機器模型穩(wěn)態(tài)下故障機器數(shù)的概率分布及相關(guān)指標(biāo)的遞推表達(dá)式.為了驗證本文表達(dá)式的正確性,取文獻(xiàn)[20]的相關(guān)參數(shù)值:n=12,λ=0.1,μ1=0.5,μ=0.7,r=4,s=8.利用MATLAB編寫相應(yīng)的數(shù)值計算程序,得到的具體結(jié)果見表3.從表中可看出,本文表達(dá)式的數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[20]的表達(dá)式的數(shù)值結(jié)果吻合.

表3 1/12(G)表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布及相關(guān)指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果Table 3 Steady-state probabilities and performance measures of 1/12(G)system

算例3令r=1,μ1=μ,則模型退化為經(jīng)典的k/n(G)表決可修系統(tǒng).曹晉華等[2]利用馬爾可夫分析方法得到了此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的可靠性指標(biāo)的表達(dá)式

為了說明本文所得表達(dá)式的正確性,選取k=3,λ=0.55,μ1=μ=2.5.通過MATLAB編寫數(shù)值計算程序,得到具體的的數(shù)值結(jié)果見表4.從表中可以看出,本文表達(dá)式的數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[2]給出的表達(dá)式的數(shù)值結(jié)果吻合.

表4 不同n值下k/n(G)表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果Table 4 System reliability measures for different values ofn

算例4本算例通過Monte Carlo仿真對本文解析結(jié)果的正確性進(jìn)行驗證.取k=2,n=3,μ1=2.0,μ=3.5,r=1,和s=2；λ的取值從0.5到1.0,利用MATLAB編寫相應(yīng)的程序,運行500 000次后所得結(jié)果見圖3和表5.這里,相對誤差=|理論結(jié)果-仿真結(jié)果|/理論結(jié)果.從表5和圖3可知本文表達(dá)式是可信的.

圖3 不同參數(shù)λ下系統(tǒng)可靠性指標(biāo)變化曲線Fig.3 System reliability measures for different values ofλ

5 結(jié)束語

本文研究了兩水平修理策略的表決可修系統(tǒng),利用馬爾可夫過程理論,建立了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率滿足的方程組,并采用求解經(jīng)典生滅過程的思路獲得了一系列刻畫系統(tǒng)性能績效指標(biāo)的表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上,通過MATLAB軟件編程給出了在不同條件下系統(tǒng)相關(guān)可靠性指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果.最后,通過Monte Carlo數(shù)值仿真和對特殊情形的討論數(shù)值驗證了所得表達(dá)式的有效性.在今后的研究中,引入修理工休假策略(多重休假,單重休假)是一個值得考慮的問題.

表5 不同λ值下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果Table 5 System reliability measures for different values ofλ