基于加速因子不變原則的加速度計可靠性分析

蓋炳良，滕克難，王浩偉，韓建立，李高春

（海軍航空大學(xué)，煙臺 264001）

加速度計是測量載體加速度的機(jī)電產(chǎn)品，廣泛應(yīng)用于各類軍用和民用慣導(dǎo)系統(tǒng)中，是慣導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件。在其工作或長期貯存中，因標(biāo)度參數(shù)等關(guān)鍵性能參數(shù)的退化而導(dǎo)致產(chǎn)品失效[1]。隨著生產(chǎn)工藝提升，加速度計產(chǎn)品可靠性不斷提高，使得傳統(tǒng)可靠性分析方法耗時耗費(fèi)，因而基于加速退化數(shù)據(jù)的可靠性分析方法得到廣泛研究和應(yīng)用。

Wiener過程能夠?qū)Ψ菃握{(diào)性的加速退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，適合加速度計產(chǎn)品的退化建模[1-2]。在Wiener退化建模中，考慮到產(chǎn)品制造工藝、工作環(huán)境等個體差異的客觀存在，基于隨機(jī)影響的Wiener退化模型得到深入研究。正常工作應(yīng)力下，Peng[3]提出將Wiener模型的漂移參數(shù)μ考慮為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量以體現(xiàn)個體差異，而擴(kuò)散參數(shù)σ相同。此后，Bian[4]、Si[5]、Liao[6]、Li[7]、Tang[8]等都采用了該模型。之后，Peng[9]、Wang[10]、Pan[11]提出了考慮偏態(tài)正態(tài)分布等更一般性的模型。為便于描述，將該類模型記為RD模型，將不考慮個體差異的Wiener模型記為SM模型。RDV模型（即Wiener模型）的漂移參數(shù)μ和擴(kuò)散參數(shù)σ都是隨機(jī)變量，如Wang[12]采用w=σ-2Gam(a,b)、μwN（1,ew）模型，徐廷學(xué)[13]、蔡忠義[14]則采用w=σ-2Gam（a,b）、μwN（h,ew）模型，其中a、b、e、h都是待定參數(shù)。目前，尚未見單獨(dú)考慮Wiener模型中擴(kuò)散參數(shù)σ是隨機(jī)變量的具體應(yīng)用，可將其記為RV模型。

加速應(yīng)力作用下，SM 模型中在確定應(yīng)力與參數(shù)關(guān)系時主觀性較大，有不同的假定。Padgett[15]、Liao[16]、Lim[17]、Sung[18]、Hu[19]等都假定漂移參數(shù)μ與加速應(yīng)力相關(guān)，而擴(kuò)散參數(shù)σ與加速應(yīng)力無關(guān)。針對假定參數(shù)與加速應(yīng)力的關(guān)系過于主觀性，王浩偉[20]、Wang[21]等采用加速因子不變原則，推導(dǎo)得到μ、σ與加速應(yīng)力都相關(guān)，且在Sk、Sh任意兩個應(yīng)力作用下應(yīng)滿足如下約束關(guān)系

加速應(yīng)力作用下，考慮個體差異的模型處理方式目前有兩類：① Tang[22]、Chen[23]、Cai[24]等在SM模型基礎(chǔ)上，通過假定漂移參數(shù)μ的Arrhenius加速模型中某個參數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量來體現(xiàn)個體差異；② Sun[25]在RD模型基礎(chǔ)上，應(yīng)用加速因子不變原則，將μ、σ的加速模型引入RD模型。

綜上，在加速退化數(shù)據(jù)可靠性分析中，目前大多數(shù)研究都是基于SM模型。為使模型更具適應(yīng)性而考慮個體差異的模型，多數(shù)通過隨機(jī)加速模型體現(xiàn)個體差異，而隨機(jī)加速模型中隨機(jī)變量是假定確定的，具有主觀性；而Sun[25]以RD模型為基礎(chǔ)，同時引入加速模型，然而其考慮的加速模型是以SM模型為基礎(chǔ)推導(dǎo)得到的結(jié)論，不能全面體現(xiàn)出加速應(yīng)力作用下RD模型參數(shù)與加速應(yīng)力的約束關(guān)系。另外，在確定模型時，現(xiàn)有的文獻(xiàn)大多都只選擇一種模型，在參數(shù)估計后按照Wiener過程的統(tǒng)計特性對模型進(jìn)行適用性檢驗(yàn)，這能確定該模型是否適用，但不能解決所用模型是否相對最優(yōu)。

基于以上分析，本文采用加速因子不變原則，推導(dǎo)得到RD、RV、RDV三類模型參數(shù)與加速應(yīng)力的約束關(guān)系，并采用QQ圖、DIC值、后驗(yàn)樣本箱線圖等方法進(jìn)行模型綜合擇優(yōu)選擇。

1 考慮隨機(jī)影響的Wiener過程

SM模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t))，X(0)=0，Λ(t)為時間函數(shù)，Λ(0)=0，μ為漂移參數(shù)，σ為擴(kuò)散參數(shù)，B(?)為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動函數(shù)。平穩(wěn)獨(dú)立增量ΔX(t)服從正態(tài)分布：

ΔX(t)～N(μΔΛ(t),σ2ΔΛ(t))，

ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t),ΔΛ(t)=Λ(t+Δt)-Λ(t)。

設(shè)失效閾值為D，X(t)首次到達(dá)D的時間為T=inf{tX(t)≥D}，則T服從Inverse Guassian分布[2]，可靠度函數(shù)為

RD模型：假設(shè)μ服從分布μN(yùn)(μμ,μσ)，由全概率公式可得無條件密度函數(shù)frd(X(t))，由文獻(xiàn)[22]可得可靠度函數(shù)Rrd(t)如下：

RV模型：假設(shè)?服從分布?=σ-2Ga(a,b)，其中?=1σ2，則：

式中，F(xiàn)(2a)是自由度為2a的t分布累積分布函數(shù)。

RDV模型：假設(shè)μ、?服從共軛先驗(yàn)分布?=σ-2Ga(a,b),μ ?N(h,e?),其中a、b、h、e是超參數(shù)，則可推導(dǎo)得到：

2 加速退化建模

2.1 加速因子不變原則

任意兩個應(yīng)力水平Sk、Sh下的累積失效函數(shù)Fk(Λk)、Fh(Λh)，當(dāng)Fk(Λk)=Fh(Λh)時，定義Sk相當(dāng)于Sh的加速因子AFk,h為AFk,h=ΛhΛk。加速因子不變原則指出AFk,h是一個只有Sk、Sh所決定的常數(shù)，而與Λk、Λh時間變化無關(guān)。當(dāng)Λ是時間函數(shù)時，有：

即

2.2 確定加速應(yīng)力與參數(shù)關(guān)系

SM模型：文獻(xiàn)[26]推導(dǎo)得到如下關(guān)系式：

在溫度應(yīng)力T作用下，μ（T）=e xp（γ1-γ2T），σ（T）=e xp（γ3-0.5γ2T），γ1、γ2、γ3都是未知參數(shù)，Wiener SM的加速退化模型為：

RD模型：將式(3)代入式(9)，可得：

為確保AFRD是不隨時間變化的常數(shù)，則需滿足：

整理可得：

RV模型和RDV模型推導(dǎo)過程類似，限于篇幅，給出結(jié)論如下：

2.3 建立相關(guān)參數(shù)的加速模型

以溫度T為加速應(yīng)力，采用Arrhenius加速模型描述參數(shù)與應(yīng)力的變化關(guān)系。

RD模型：溫度應(yīng)力下參數(shù)可表示為

σ=

其中，γRD(1)、是待定參數(shù)。

RV模型：溫度應(yīng)力下參數(shù)可表示為：

由式(12)可得：γRV(2)=γRV(4)。將加速模型代入式(6)，RV模型可靠度函數(shù)如下：

RDV模型：溫度應(yīng)力下參數(shù)可表示為

由式(13)可得：γRDV(2)=γRDV(4)=γRDV(6)。將加速模型代入式(8)，RDV模型可靠度函數(shù)為

3 參數(shù)估計和模型選擇

通過 OpenBUGS軟件采用馬爾科夫-蒙特卡洛（MCMC）抽樣方法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計，該方法首先確定參數(shù)先驗(yàn)分布，無可靠先驗(yàn)信息，則可選擇較大區(qū)間均勻分布等無信息先驗(yàn)，然后采用 MCMC方法求后驗(yàn)參數(shù)估計值。OpenBUGS軟件求解主要包括先驗(yàn)分布表達(dá)、似然函數(shù)表達(dá)，以及退化數(shù)據(jù)表達(dá)和初始值的設(shè)定。圖1所示是RV模型求解中先驗(yàn)分布表達(dá)和似然函數(shù)表達(dá)的實(shí)現(xiàn)。

圖1 參數(shù)估計OpenBUGS實(shí)現(xiàn)Fig.1 Parameter estimation by OpenBUGS

基于數(shù)據(jù)擬合的隨機(jī)過程建模的模型選擇：①首先模型驗(yàn)證。Wiener過程 ΔX(t)N(μΔΛ(t),σ2ΔΛ(t))，即通過 Kstest命令驗(yàn)證樣本是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。分位數(shù)圖（QQ圖）是對樣本分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)的比較，因而也可通過 QQ圖更直觀地判斷模型對數(shù)據(jù)的擬合情況；②箱線圖分析。參數(shù)的后驗(yàn)樣本箱線圖能顯示參數(shù)的均值、中位數(shù)等分布特征。在模型通過統(tǒng)計特性驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，通過比較所有樣本的參數(shù)箱線圖，可以很直觀判斷μ、σ等參數(shù)在不同樣本中是趨于相同還是具有明顯的差異；③偏差信息基準(zhǔn)（DIC）值分析。DIC值定義為是似然函數(shù)，pD是估計參數(shù)數(shù)目，即DIC是模型期望偏差與表示模型復(fù)雜度的估計參數(shù)數(shù)目之和。DIC值越小表示模型擬合越好，模型選擇時可以對多個適用模型通過DIC值進(jìn)行擇優(yōu)選擇。

4 實(shí)例驗(yàn)證

為了對某型寶石軸承支撐擺式加速度計進(jìn)行可靠性分析，文獻(xiàn)[1-2]都對恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，該試驗(yàn)以溫度為加速應(yīng)力，選取18個樣品，分成3組，每個加速應(yīng)力下樣本量為6，加速應(yīng)力分別為T1=338.16K，T2=348.16K，T3=358.16K 。性能退化量為一次項(xiàng)標(biāo)度因數(shù)相對于初始值的偏差值，失效閾值D=0.006，退化數(shù)據(jù)詳見文獻(xiàn)[1]。

對加速退化數(shù)據(jù)分別采用4類Wiener模型建模，參數(shù)估計值如表1所示。

表1 參數(shù)估計值Tab.1 Parameter estimation values

由Wiener過程的統(tǒng)計特性檢驗(yàn)表明，RV模型各樣本都接受標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而SM模型第8個樣本，RD模型第8、12、17個樣本，RDV模型第6、12、13、14、16、17、18個樣本都不接受標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。圖2所示是4類模型的QQ圖，通過QQ圖可較直觀反映出各模型對數(shù)據(jù)的擬合情況，RV和RDV模型擬合較好。SM、RD、RV、RDV 模型的 DIC值分別是-2702.6、-2767.7、-2817.1、-2803.5，也表明RV模型擬合較好。

圖2 QQ圖Fig.2 Quantile-quantile plot

圖3所示是RV模型參數(shù)σ后驗(yàn)樣本箱線圖，可發(fā)現(xiàn)18個樣本σ有較明顯的個體差異。

圖3 σ后驗(yàn)樣本箱線圖Fig.3 Box plots of posterior densities of σ

綜上分析，可確定4類模型中RV模型擬合更好。

RV模型中參數(shù)應(yīng)滿足式(12)約束關(guān)系，而在3個溫度應(yīng)力下可形成如下 3個點(diǎn)：理論上3點(diǎn)應(yīng)在直線上。參數(shù)估計時由后驗(yàn)樣本計算可得[μT1,μT2,μT3] =[4.315× 10-13, 1.501× 10-12, 4.966× 10-12]，[bT1,bT2,bT3]=[3.94×10-16, 1.384× 10-15, 4.625× 10-15]，即(3.479, 3.513)、(3.3085, 3.3418)、(11.509, 11.739)這三個點(diǎn)（如圖4所示）與直線距離偏差小，驗(yàn)證了約束關(guān)系成立。

圖4 參數(shù)變化規(guī)律驗(yàn)證Fig.4 Validation of change rule of model parameters

將表1中RV模型參數(shù)估計值，代入式(17)可推得正常應(yīng)力T=293.16K 時的可靠度函數(shù)：

可靠度曲線如圖5所示，同時比較了文獻(xiàn)[2]結(jié)果。采用文獻(xiàn)[2]方法，即采用SM模型的可靠性分析結(jié)果過于樂觀，會造成較大的偏差。按照RV模型可求得該型加速度計平均貯存壽命為184560 h，可靠貯存壽命（可靠度值為0.9）為158221 h。

圖5 可靠度曲線Fig.5 Reliability curves

5 結(jié) 論

本文以加速度計加速退化數(shù)據(jù)為對象，提出了一種基于加速因子不變原則的加速退化數(shù)據(jù)可靠性分析方法，考慮了三類隨機(jī)影響模型，并采用多種方法綜合選擇相對最優(yōu)模型。主要結(jié)論為：

①加速因子不變原則是確定退化模型參數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)而正確建立加速退化模型的有效方法。

②RD模型中漂移參數(shù)的超參數(shù)μμ、μσ以及擴(kuò)散參數(shù)σ和加速應(yīng)力相關(guān)，并且在任兩個應(yīng)力下滿足約束關(guān)系RV模型中漂移參數(shù)μ以及擴(kuò)散參數(shù)的超參數(shù)b和加速應(yīng)力相關(guān)，并且在任兩個應(yīng)力下滿足約束關(guān)系μk/μh=bk/bh；RDV模型中超參數(shù)b、e、h與加速應(yīng)力相關(guān)，并且在任意兩個應(yīng)力下滿足約束關(guān)系hk/hh=ekeh=bk/bh。

③考慮個體差異的加速退化模型，具有更好的適應(yīng)性；基于QQ圖、DIC值、箱線圖綜合選擇模型的方法，能確定相對最優(yōu)模型，為提高建模精度提供了有益參考。