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    基于加速因子不變原則的加速度計可靠性分析

    2018-03-06 09:02:04蓋炳良滕克難王浩偉韓建立李高春
    中國慣性技術(shù)學(xué)報 2018年6期
    關(guān)鍵詞:后驗(yàn)加速度計正態(tài)分布

    蓋炳良,滕克難,王浩偉,韓建立,李高春

    (海軍航空大學(xué),煙臺 264001)

    加速度計是測量載體加速度的機(jī)電產(chǎn)品,廣泛應(yīng)用于各類軍用和民用慣導(dǎo)系統(tǒng)中,是慣導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件。在其工作或長期貯存中,因標(biāo)度參數(shù)等關(guān)鍵性能參數(shù)的退化而導(dǎo)致產(chǎn)品失效[1]。隨著生產(chǎn)工藝提升,加速度計產(chǎn)品可靠性不斷提高,使得傳統(tǒng)可靠性分析方法耗時耗費(fèi),因而基于加速退化數(shù)據(jù)的可靠性分析方法得到廣泛研究和應(yīng)用。

    Wiener過程能夠?qū)Ψ菃握{(diào)性的加速退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,適合加速度計產(chǎn)品的退化建模[1-2]。在Wiener退化建模中,考慮到產(chǎn)品制造工藝、工作環(huán)境等個體差異的客觀存在,基于隨機(jī)影響的Wiener退化模型得到深入研究。正常工作應(yīng)力下,Peng[3]提出將Wiener模型的漂移參數(shù)μ考慮為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量以體現(xiàn)個體差異,而擴(kuò)散參數(shù)σ相同。此后,Bian[4]、Si[5]、Liao[6]、Li[7]、Tang[8]等都采用了該模型。之后,Peng[9]、Wang[10]、Pan[11]提出了考慮偏態(tài)正態(tài)分布等更一般性的模型。為便于描述,將該類模型記為RD模型,將不考慮個體差異的Wiener模型記為SM模型。RDV模型(即Wiener模型)的漂移參數(shù)μ和擴(kuò)散參數(shù)σ都是隨機(jī)變量,如Wang[12]采用w=σ-2Gam(a,b)、μwN(1,ew)模型,徐廷學(xué)[13]、蔡忠義[14]則采用w=σ-2Gam(a,b)、μwN(h,ew)模型,其中a、b、e、h都是待定參數(shù)。目前,尚未見單獨(dú)考慮Wiener模型中擴(kuò)散參數(shù)σ是隨機(jī)變量的具體應(yīng)用,可將其記為RV模型。

    加速應(yīng)力作用下,SM 模型中在確定應(yīng)力與參數(shù)關(guān)系時主觀性較大,有不同的假定。Padgett[15]、Liao[16]、Lim[17]、Sung[18]、Hu[19]等都假定漂移參數(shù)μ與加速應(yīng)力相關(guān),而擴(kuò)散參數(shù)σ與加速應(yīng)力無關(guān)。針對假定參數(shù)與加速應(yīng)力的關(guān)系過于主觀性,王浩偉[20]、Wang[21]等采用加速因子不變原則,推導(dǎo)得到μ、σ與加速應(yīng)力都相關(guān),且在Sk、Sh任意兩個應(yīng)力作用下應(yīng)滿足如下約束關(guān)系

    加速應(yīng)力作用下,考慮個體差異的模型處理方式目前有兩類:① Tang[22]、Chen[23]、Cai[24]等在SM模型基礎(chǔ)上,通過假定漂移參數(shù)μ的Arrhenius加速模型中某個參數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量來體現(xiàn)個體差異;② Sun[25]在RD模型基礎(chǔ)上,應(yīng)用加速因子不變原則,將μ、σ的加速模型引入RD模型。

    綜上,在加速退化數(shù)據(jù)可靠性分析中,目前大多數(shù)研究都是基于SM模型。為使模型更具適應(yīng)性而考慮個體差異的模型,多數(shù)通過隨機(jī)加速模型體現(xiàn)個體差異,而隨機(jī)加速模型中隨機(jī)變量是假定確定的,具有主觀性;而Sun[25]以RD模型為基礎(chǔ),同時引入加速模型,然而其考慮的加速模型是以SM模型為基礎(chǔ)推導(dǎo)得到的結(jié)論,不能全面體現(xiàn)出加速應(yīng)力作用下RD模型參數(shù)與加速應(yīng)力的約束關(guān)系。另外,在確定模型時,現(xiàn)有的文獻(xiàn)大多都只選擇一種模型,在參數(shù)估計后按照Wiener過程的統(tǒng)計特性對模型進(jìn)行適用性檢驗(yàn),這能確定該模型是否適用,但不能解決所用模型是否相對最優(yōu)。

    基于以上分析,本文采用加速因子不變原則,推導(dǎo)得到RD、RV、RDV三類模型參數(shù)與加速應(yīng)力的約束關(guān)系,并采用QQ圖、DIC值、后驗(yàn)樣本箱線圖等方法進(jìn)行模型綜合擇優(yōu)選擇。

    1 考慮隨機(jī)影響的Wiener過程

    SM模型:X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t)),X(0)=0,Λ(t)為時間函數(shù),Λ(0)=0,μ為漂移參數(shù),σ為擴(kuò)散參數(shù),B(?)為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動函數(shù)。平穩(wěn)獨(dú)立增量ΔX(t)服從正態(tài)分布:

    ΔX(t)~N(μΔΛ(t),σ2ΔΛ(t)),

    ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t),ΔΛ(t)=Λ(t+Δt)-Λ(t)。

    設(shè)失效閾值為D,X(t)首次到達(dá)D的時間為T=inf{tX(t)≥D},則T服從Inverse Guassian分布[2],可靠度函數(shù)為

    RD模型:假設(shè)μ服從分布μN(yùn)(μμ,μσ),由全概率公式可得無條件密度函數(shù)frd(X(t)),由文獻(xiàn)[22]可得可靠度函數(shù)Rrd(t)如下:

    RV模型:假設(shè)?服從分布?=σ-2Ga(a,b),其中?=1σ2,則:

    式中,F(xiàn)(2a)是自由度為2a的t分布累積分布函數(shù)。

    RDV模型:假設(shè)μ、?服從共軛先驗(yàn)分布?=σ-2Ga(a,b),μ ?N(h,e?),其中a、b、h、e是超參數(shù),則可推導(dǎo)得到:

    2 加速退化建模

    2.1 加速因子不變原則

    任意兩個應(yīng)力水平Sk、Sh下的累積失效函數(shù)Fk(Λk)、Fh(Λh),當(dāng)Fk(Λk)=Fh(Λh)時,定義Sk相當(dāng)于Sh的加速因子AFk,h為AFk,h=ΛhΛk。加速因子不變原則指出AFk,h是一個只有Sk、Sh所決定的常數(shù),而與Λk、Λh時間變化無關(guān)。當(dāng)Λ是時間函數(shù)時,有:

    2.2 確定加速應(yīng)力與參數(shù)關(guān)系

    SM模型:文獻(xiàn)[26]推導(dǎo)得到如下關(guān)系式:

    在溫度應(yīng)力T作用下,μ(T)=e xp(γ1-γ2T),σ(T)=e xp(γ3-0.5γ2T),γ1、γ2、γ3都是未知參數(shù),Wiener SM的加速退化模型為:

    RD模型:將式(3)代入式(9),可得:

    為確保AFRD是不隨時間變化的常數(shù),則需滿足:

    整理可得:

    RV模型和RDV模型推導(dǎo)過程類似,限于篇幅,給出結(jié)論如下:

    2.3 建立相關(guān)參數(shù)的加速模型

    以溫度T為加速應(yīng)力,采用Arrhenius加速模型描述參數(shù)與應(yīng)力的變化關(guān)系。

    RD模型:溫度應(yīng)力下參數(shù)可表示為

    σ=

    其中,γRD(1)、是待定參數(shù)。

    RV模型:溫度應(yīng)力下參數(shù)可表示為:

    由式(12)可得:γRV(2)=γRV(4)。將加速模型代入式(6),RV模型可靠度函數(shù)如下:

    RDV模型:溫度應(yīng)力下參數(shù)可表示為

    由式(13)可得:γRDV(2)=γRDV(4)=γRDV(6)。將加速模型代入式(8),RDV模型可靠度函數(shù)為

    3 參數(shù)估計和模型選擇

    通過 OpenBUGS軟件采用馬爾科夫-蒙特卡洛(MCMC)抽樣方法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計,該方法首先確定參數(shù)先驗(yàn)分布,無可靠先驗(yàn)信息,則可選擇較大區(qū)間均勻分布等無信息先驗(yàn),然后采用 MCMC方法求后驗(yàn)參數(shù)估計值。OpenBUGS軟件求解主要包括先驗(yàn)分布表達(dá)、似然函數(shù)表達(dá),以及退化數(shù)據(jù)表達(dá)和初始值的設(shè)定。圖1所示是RV模型求解中先驗(yàn)分布表達(dá)和似然函數(shù)表達(dá)的實(shí)現(xiàn)。

    圖1 參數(shù)估計OpenBUGS實(shí)現(xiàn)Fig.1 Parameter estimation by OpenBUGS

    基于數(shù)據(jù)擬合的隨機(jī)過程建模的模型選擇:①首先模型驗(yàn)證。Wiener過程 ΔX(t)N(μΔΛ(t),σ2ΔΛ(t)),即通過 Kstest命令驗(yàn)證樣本是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。分位數(shù)圖(QQ圖)是對樣本分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)的比較,因而也可通過 QQ圖更直觀地判斷模型對數(shù)據(jù)的擬合情況;②箱線圖分析。參數(shù)的后驗(yàn)樣本箱線圖能顯示參數(shù)的均值、中位數(shù)等分布特征。在模型通過統(tǒng)計特性驗(yàn)證的基礎(chǔ)上,通過比較所有樣本的參數(shù)箱線圖,可以很直觀判斷μ、σ等參數(shù)在不同樣本中是趨于相同還是具有明顯的差異;③偏差信息基準(zhǔn)(DIC)值分析。DIC值定義為是似然函數(shù),pD是估計參數(shù)數(shù)目,即DIC是模型期望偏差與表示模型復(fù)雜度的估計參數(shù)數(shù)目之和。DIC值越小表示模型擬合越好,模型選擇時可以對多個適用模型通過DIC值進(jìn)行擇優(yōu)選擇。

    4 實(shí)例驗(yàn)證

    為了對某型寶石軸承支撐擺式加速度計進(jìn)行可靠性分析,文獻(xiàn)[1-2]都對恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析,該試驗(yàn)以溫度為加速應(yīng)力,選取18個樣品,分成3組,每個加速應(yīng)力下樣本量為6,加速應(yīng)力分別為T1=338.16K,T2=348.16K,T3=358.16K 。性能退化量為一次項(xiàng)標(biāo)度因數(shù)相對于初始值的偏差值,失效閾值D=0.006,退化數(shù)據(jù)詳見文獻(xiàn)[1]。

    對加速退化數(shù)據(jù)分別采用4類Wiener模型建模,參數(shù)估計值如表1所示。

    表1 參數(shù)估計值Tab.1 Parameter estimation values

    由Wiener過程的統(tǒng)計特性檢驗(yàn)表明,RV模型各樣本都接受標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,而SM模型第8個樣本,RD模型第8、12、17個樣本,RDV模型第6、12、13、14、16、17、18個樣本都不接受標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。圖2所示是4類模型的QQ圖,通過QQ圖可較直觀反映出各模型對數(shù)據(jù)的擬合情況,RV和RDV模型擬合較好。SM、RD、RV、RDV 模型的 DIC值分別是-2702.6、-2767.7、-2817.1、-2803.5,也表明RV模型擬合較好。

    圖2 QQ圖Fig.2 Quantile-quantile plot

    圖3所示是RV模型參數(shù)σ后驗(yàn)樣本箱線圖,可發(fā)現(xiàn)18個樣本σ有較明顯的個體差異。

    圖3 σ后驗(yàn)樣本箱線圖Fig.3 Box plots of posterior densities of σ

    綜上分析,可確定4類模型中RV模型擬合更好。

    RV模型中參數(shù)應(yīng)滿足式(12)約束關(guān)系,而在3個溫度應(yīng)力下可形成如下 3個點(diǎn):理論上3點(diǎn)應(yīng)在直線上。參數(shù)估計時由后驗(yàn)樣本計算可得[μT1,μT2,μT3] =[4.315× 10-13, 1.501× 10-12, 4.966× 10-12],[bT1,bT2,bT3]=[3.94×10-16, 1.384× 10-15, 4.625× 10-15],即(3.479, 3.513)、(3.3085, 3.3418)、(11.509, 11.739)這三個點(diǎn)(如圖4所示)與直線距離偏差小,驗(yàn)證了約束關(guān)系成立。

    圖4 參數(shù)變化規(guī)律驗(yàn)證Fig.4 Validation of change rule of model parameters

    將表1中RV模型參數(shù)估計值,代入式(17)可推得正常應(yīng)力T=293.16K 時的可靠度函數(shù):

    可靠度曲線如圖5所示,同時比較了文獻(xiàn)[2]結(jié)果。采用文獻(xiàn)[2]方法,即采用SM模型的可靠性分析結(jié)果過于樂觀,會造成較大的偏差。按照RV模型可求得該型加速度計平均貯存壽命為184560 h,可靠貯存壽命(可靠度值為0.9)為158221 h。

    圖5 可靠度曲線Fig.5 Reliability curves

    5 結(jié) 論

    本文以加速度計加速退化數(shù)據(jù)為對象,提出了一種基于加速因子不變原則的加速退化數(shù)據(jù)可靠性分析方法,考慮了三類隨機(jī)影響模型,并采用多種方法綜合選擇相對最優(yōu)模型。主要結(jié)論為:

    ①加速因子不變原則是確定退化模型參數(shù)變化規(guī)律,進(jìn)而正確建立加速退化模型的有效方法。

    ②RD模型中漂移參數(shù)的超參數(shù)μμ、μσ以及擴(kuò)散參數(shù)σ和加速應(yīng)力相關(guān),并且在任兩個應(yīng)力下滿足約束關(guān)系RV模型中漂移參數(shù)μ以及擴(kuò)散參數(shù)的超參數(shù)b和加速應(yīng)力相關(guān),并且在任兩個應(yīng)力下滿足約束關(guān)系μk/μh=bk/bh;RDV模型中超參數(shù)b、e、h與加速應(yīng)力相關(guān),并且在任意兩個應(yīng)力下滿足約束關(guān)系hk/hh=ekeh=bk/bh。

    ③考慮個體差異的加速退化模型,具有更好的適應(yīng)性;基于QQ圖、DIC值、箱線圖綜合選擇模型的方法,能確定相對最優(yōu)模型,為提高建模精度提供了有益參考。

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