線性時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)魯棒故障診斷濾波器設(shè)計(jì)

梁天添，王 茂

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，執(zhí)行器或傳感器發(fā)生故障可能導(dǎo)致系統(tǒng)非正常工作。例如，在衛(wèi)星交會(huì)對(duì)接的操作中，對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制的研究是非常必要的[1]，而執(zhí)行器或傳感器失效將造成衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的非正常工作從而導(dǎo)致對(duì)接失敗。因此，系統(tǒng)的故障診斷問題具有現(xiàn)實(shí)意義。對(duì)于一些實(shí)際系統(tǒng)[2-4]，描述系統(tǒng)（又稱廣義系統(tǒng)或奇異系統(tǒng)）因具有比狀態(tài)空間方法更好的表征特性，得到了越來越多的重視。本文正是基于該背景對(duì)描述系統(tǒng)的故障診斷問題進(jìn)行研究。

對(duì)于描述系統(tǒng)故障診斷問題，故障診斷觀測(cè)器/濾波器的設(shè)計(jì)是一種行之有效的方法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)基于描述系統(tǒng)模型的離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了殘差容許且符合H∞性能指標(biāo)的故障檢測(cè)濾波器。文獻(xiàn)[6]針對(duì)具有不確定性的描述系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了增廣比例微分（PD）觀測(cè)器，其增廣殘差對(duì)于傳感器噪聲、未知擾動(dòng)及不確定性具有魯棒性。文獻(xiàn)[7]針對(duì)具有執(zhí)行器/傳感器擾動(dòng)和未知結(jié)構(gòu)非變參數(shù)不確定性的非線性描述系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒H∞自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器，該觀測(cè)器同樣適用于正常非線性系統(tǒng)的故障估計(jì)。對(duì)于線性變參數(shù)（LPV）描述系統(tǒng)，文獻(xiàn)[8-10]研究了其故障診斷/檢測(cè)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題。

大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)中存在狀態(tài)時(shí)滯現(xiàn)象，因此研究時(shí)滯描述系統(tǒng)的故障診斷問題具有尤為重要的意義。文獻(xiàn)[11-12]分別針對(duì)具有不確定性的線性連續(xù)時(shí)間常數(shù)時(shí)滯和時(shí)變時(shí)滯描述系統(tǒng)設(shè)計(jì)了故障診斷濾波器，其核心是將濾波器視為殘差生成器，并將濾波器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化H∞為濾波問題。文獻(xiàn)[13]針對(duì)基于描述系統(tǒng)的時(shí)變時(shí)滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了馬爾科夫自適應(yīng)（Markovian Adaptive）觀測(cè)器。文獻(xiàn)[14]針對(duì)具有非線性擾動(dòng)及時(shí)變網(wǎng)絡(luò)交換時(shí)滯的非線性跳變描述系統(tǒng)提出了一種新的時(shí)滯依賴觀測(cè)器。

在上述有關(guān)時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)故障診斷研究方法中，故障診斷觀測(cè)器/濾波器均基于奇異結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)非常困難。為更精確估計(jì)描述系統(tǒng)的故障，急需一種新形式的故障診斷濾波器。在文獻(xiàn)[15-17]中，作者提出一系列非奇異結(jié)構(gòu)的故障診斷觀測(cè)器/濾波器，以實(shí)現(xiàn)描述系統(tǒng)的故障診斷，這給本文帶來了啟示。本文針對(duì)一類具有慣性傳感器元件的時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)，提出了一種新的非奇異結(jié)構(gòu)的基于觀測(cè)器的故障診斷濾波器。該濾波器基于增廣量測(cè)殘差實(shí)現(xiàn)，且增廣量測(cè)殘差滿足魯棒H∞性能指標(biāo)，即增廣量測(cè)殘差對(duì)于故障及增廣擾動(dòng)具有魯棒性。對(duì)于時(shí)變時(shí)滯描述系統(tǒng)，其濾波器參數(shù)矩陣不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI。為此，引入CCL算法以解決該問題。為盡早檢測(cè)出故障，引入殘差評(píng)價(jià)函數(shù)及閾值以判斷故障是否發(fā)生。

本文安排如下：第2節(jié)引入?yún)?shù)并使用Euler離散化方法，將時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一般系統(tǒng)。第3節(jié)提出非奇異結(jié)構(gòu)的基于觀測(cè)器的故障診斷濾波器，引入 Lyapunov-Kravoskii方程以證明符合魯棒H∞性能指標(biāo)的濾波器參數(shù)矩陣的存在條件，引入錐補(bǔ)線性化（CCL）算法對(duì)符合線性矩陣不等式（LMI）的參數(shù)矩陣不等式進(jìn)行輔助運(yùn)算，引入殘差評(píng)價(jià)函數(shù)及閾值以判斷故障是否發(fā)生。第4節(jié)提出仿真算例以驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案有效性。第5節(jié)得出結(jié)論。

1 問題描述

首先考慮如下連續(xù)-離散時(shí)滯描述系統(tǒng)模型：

其中，x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u∈Rp為系統(tǒng)輸入，y∈Rm是系統(tǒng)輸出，w∈Rd為系統(tǒng)擾動(dòng)，f∈Rq為傳感器故障，E∈ Rn×n可能為奇異矩陣，即rank(E)=r≤n，d1(t)為時(shí)變時(shí)滯，且滿足 0≤τm≤d1(t)≤τM，τm、τM為已知常數(shù)，φ()為[-τM,0]上的實(shí)值連續(xù)初始函數(shù)向量，采樣間隔定義為τ=tk+1-tk，A1、A2、B1、Dc、C、Dd、F分別為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。式(1)中，E和C應(yīng)滿足：

對(duì)于系統(tǒng)(1)，動(dòng)態(tài)方程中可能存在奇異矩陣E，故在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)計(jì)算其限制矩陣非常困難。因此，本文引入?yún)?shù)將其轉(zhuǎn)化為非奇異系統(tǒng)。

引理2.1[3]若存在矩陣R1∈Ra×b，R2∈Rb×c，R∈Ra×c，其中R滿足 r ank(R)=c，則322

的通解為：

其中，Μ為任意矩陣，R2?表示R2的偽逆。

其中，［HG］由式(5)求解，

?！蔙n×(n+m)代表設(shè)計(jì)自由度。

由式(4)可知，對(duì)于任意x(t)，有式(6)成立：

對(duì)式(6)使用Euler離散化方法，則有：

系統(tǒng)(1)中量測(cè)方程可表示為：

第三項(xiàng)可表示為：

其中，dM=τMτ。

聯(lián)合式(7)～(9)，系統(tǒng)(1)可離散化為：

其中，A=τHA1+In，Ad=τA2，B=τBc，Bd=τDc。

定義：

則式(10)可重新表示為：

故而，系統(tǒng)(1)的傳感器故障診斷問題可轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(12)的傳感器故障診斷問題。

注釋1本文中采樣間隔τ應(yīng)充分小以保證Ο(τ2)忽略不計(jì)，采樣間隔與時(shí)滯應(yīng)滿足：τ≤dm，d(k)滿足0≤dm≤d(k)≤dM，dm=τmτ，dm和dM應(yīng)為整數(shù)。

2 魯棒傳感器故障診斷濾波器設(shè)計(jì)

由于故障診斷包括殘差生成和殘差評(píng)價(jià)，故而，本節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)基于觀測(cè)器的故障診斷濾波器作為殘差生成器，使得：

其中，γ＞0，Wf為穩(wěn)定加權(quán)矩陣，

注釋2當(dāng)Wf=I時(shí)，殘差r為故障的H∞估計(jì)，即故障發(fā)生在全頻域范圍。為提高故障估計(jì)性能，提出加權(quán)矩陣Wf，式(13)代表Wf頻域范圍內(nèi)的H∞估計(jì)。假設(shè)Wf有如下最小實(shí)現(xiàn)：

其中，xf∈Rnf，rf∈Rq，AW、BW、CW分別代表常數(shù)矩陣。

聯(lián)合系統(tǒng)(12)和(14)可得如下增廣系統(tǒng)：

其中，

對(duì)于增廣系統(tǒng)(15)，其基于觀測(cè)器的濾波器具有如下非奇異結(jié)構(gòu)：

其中，∈ Rn為狀態(tài)估計(jì)值，∈ Rm為濾波器輸出，L∈R(n+nf)×m和V∈Rq×m為待設(shè)計(jì)的參數(shù)矩陣。

定義：

由式(17)及(18)可得：

其中，

由式(19)和(20)可得如下增廣系統(tǒng)：

此時(shí)，不等式(13)可重新表示為：

本文設(shè)計(jì)的故障診斷濾波器應(yīng)滿足：

1）當(dāng)(k)=0時(shí)，式(21)中動(dòng)態(tài)方程應(yīng)漸進(jìn)穩(wěn)定；

2）在零初始條件下，φ(k)=0，不等式(22)成立。

定理1若存在對(duì)稱正定矩陣P∈R(n+nf)×(n+nf)，Q∈R(n+nf)×(n+nf)，Z∈R(n+nf)×(n+nf)，標(biāo)量γ＞0，使得：

其中，

“*”代表對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱元素，則當(dāng)(k)=0時(shí)，增廣系統(tǒng)(21)中動(dòng)態(tài)方程漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：定義：

選取如下有關(guān)誤差的Lyapunov-Krasovskii方程：

其中，

當(dāng)(k)=0時(shí)，可得以下不等式：

其中，

另外，由式(24)可得：

由式(29)可得：

由式(26)～(30)可得：

其中，

由Schur不等式可知，Θ＜0等價(jià)于：

對(duì)式(32)左乘 d iag(P-1,I,I,Z-1)及右乘其n+nfn+nf轉(zhuǎn)置，則式(32)等價(jià)于式(23)。

由Θ＜0可知，存在充分小的正標(biāo)量δ使得：

由式(31)和式(33)可得：

故，當(dāng)w(k)=0時(shí)，(21)中動(dòng)態(tài)方程是漸進(jìn)穩(wěn)定的，定理1得證。

注釋3在不等式(23)中，由于存在P-1、Z-1，式(23)不是標(biāo)準(zhǔn)LMI。盡管如此，CCL算法能夠有效解決該問題，其步驟可參照算法1。

定理2若存在對(duì)稱正定矩陣P∈R(n+nf)×(n+nf)，標(biāo)量γ＞0，使得不等式(35)成立，則當(dāng)增廣系統(tǒng)在零初始狀態(tài)時(shí)，φ(k)=0，此時(shí)，對(duì)于任意非零的w(k)∈L2[0,+∞)，均有式(22)成立，其中，?22=?22，?25=?24。

證明：定義：

選取如式(25)所示Lyapunov-Krasovskii方程，則有：

其中，

由式(27)(28)(37)(38)可得：

其中，

由Shcur補(bǔ)引理可知，Ξ＜0等價(jià)于式(40)：

由式(36)可得：

對(duì)式(41)兩端從0到+∞相加則有：

已知當(dāng)系統(tǒng)在零初始狀態(tài)時(shí)，φ(k)=0，則有(k)=0，V(0)=0，又V(∞)＞0，故：

即，對(duì)于任意w(k) ≠ 0、w(k)∈L2[0,+∞)，均有不等式(22)成立，定理2得證。

注釋4考慮式(35)(23)，容易發(fā)現(xiàn)若有式(35)成立，則必有式(23)成立，即若定理2成立，則性能指標(biāo)(1)和(2)可同時(shí)滿足，此時(shí)，設(shè)計(jì)的濾波器是線性時(shí)變時(shí)滯廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)的魯棒H∞故障診斷濾波器。

為解決不等式(35)中由P-1、Z-1導(dǎo)致的非凸問題，本文引入CCL算法。

定義最大迭代次數(shù)為Kmax，滿足式(44)(45)的γ初值為βmin，對(duì)于給定的時(shí)變時(shí)滯參數(shù)dm和dM，使用CCL算法求解式(35)中γ最小值，觀測(cè)器參數(shù)矩陣L和V，其具體步驟如算法1所示。

算法1：

步驟1對(duì)于給定參數(shù)dm≥0，dM＞0，Kmax＞0，給定滿足式(44)(45)的充分大的γ初值βmin，令βnim=γ。

步驟2尋找滿足式(44)(45)的可行解L0、V0、P0、Q0、Z0，若不存在，退出；否則，令k=0并跳轉(zhuǎn)至步驟3。

步驟3解決式如(44)(45)所示LMI問題：

及限制條件P＞0，Q＞0，Z＞0，尋找可行解L、V、P、Q、Z，令Pk+1=P，Zk+1=Z，W1k+1=W1，W2k+1=W2。

步驟4驗(yàn)證式(35)，若成立，令γmin=γ，減小γ值并跳轉(zhuǎn)至步驟2。若式(35)不成立且k=Kmax，退出。否則，令k=k+1，并跳轉(zhuǎn)至步驟3。

為盡早檢測(cè)出故障，給出殘差評(píng)價(jià)函數(shù)及閾值以判斷故障是否發(fā)生。本文中，殘差評(píng)價(jià)函數(shù)Jr及閾值Jth選擇如下：

N表示殘差評(píng)價(jià)函數(shù)時(shí)間窗的長(zhǎng)度。在殘差評(píng)價(jià)過程中，N的長(zhǎng)度是有限的，這是因?yàn)楣收蠎?yīng)當(dāng)盡早被檢測(cè)出，在全時(shí)域范圍內(nèi)對(duì)殘差進(jìn)行評(píng)價(jià)沒有實(shí)際意義。

基于式(47)(48)，可通過如下的殘差判斷邏輯，判斷故障是否發(fā)生：

Jr＞Jth?故障?報(bào)警；Jr＞Jth?無故障發(fā)生。

3 仿真分析

本節(jié)給出時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)模型以驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案有效性?？紤]如下小角度情況下衛(wèi)星姿態(tài)控制模型[18]：

其中，ψ表示偏航角，φ表示滾動(dòng)角，θ表示俯仰角，ωx、ωy、ωz表示三軸角速度，為控制力矩，T表示外部擾動(dòng)，ω表d0示衛(wèi)星繞中心引力體旋轉(zhuǎn)的軌道角速度。

本文中，ω0取值為0.001 rad/s，量測(cè)信號(hào)為離散變量，姿態(tài)角度由星敏感器測(cè)量，角速度由陀螺儀測(cè)量。另外，J=diag(Jxx,Jyy,Jzz)表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其取值如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)Tab.1 Parameters of moment of inertia

令x=[ψ φ θ ωωω]T，u=T，xyzc y=[ψ φ θ ωωω]T，考慮系統(tǒng)時(shí)滯為 ：xyz d1(t)=0 .02 +0.01sint，τm=0.01s，τM=0.03s，若ωz為常值，即z=0，且陀螺發(fā)生故障，則由式(49)及(50)組成的系統(tǒng)可表示為形如式(1)的時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)模型，其參數(shù)如下：

F=[0 0 0111]T，Dd=0，擾動(dòng)w為均值為零的高斯白噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差為 0 .05I3rad/s。

在式(5)中，選擇Γ=[I606×6]，則H和G的取值分別為：

容易驗(yàn)證H非奇異，且H、G滿足式(4)。

選擇：Aw=-1，Bw=1，Cw=0.1。使用 CCL算法，則γ=1.18，求得的L和V值分別為：

V=［ 1.9300,-0 .8165,1.2605,-0 .4238,-2.0323,0.7211］.

其中，

假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生如下離散化后故障：

得到的故障診斷結(jié)果如圖1～3所示，得到的故障估計(jì)均方根誤差（RMSE）如表2所示。

圖1 故障 f1及其估計(jì)Fig.1 f1 and its estimation

圖2 故障 f 2及其估計(jì)Fig.2 f2 and its estimation

圖3 故障 f 3及其估計(jì)Fig.3 f3 and its estimation

表2 f1至 f 3故障估計(jì)均方根誤差（RMSE）Tab. 2 RMSEs of fault estimation for f1～f3

由圖1～3可以看出，對(duì)于故障f1～f3，均可得到較好的故障診斷結(jié)果，表1進(jìn)一步驗(yàn)證了該算法有效性。由表 1可知，對(duì)于故障f1～f3，故障估計(jì)誤差均約為 0.03rad/采樣間隔，表明設(shè)計(jì)的故障診斷濾波器能夠執(zhí)行有效的傳感器故障診斷。

選擇閾值為Jth=0.02。圖4～6為殘差評(píng)價(jià)函數(shù)圖。當(dāng)殘差評(píng)價(jià)函數(shù)超過閾值時(shí)，故障可被檢測(cè)出。

由圖4～6可知，因選取了適當(dāng)?shù)臍埐钤u(píng)價(jià)函數(shù)及閾值，故障可以很輕易的被檢測(cè)出。

最后，我們對(duì)設(shè)計(jì)的故障診斷濾波器的魯棒H∞性能指標(biāo)進(jìn)行分析。參考文獻(xiàn)[12]中有關(guān)內(nèi)容，在本文中，增廣殘差與故障和增廣擾動(dòng)若滿足

圖4 故障 f 1殘差評(píng)價(jià)函數(shù)Fig.4 Residual evaluation function of f1

圖5 故障 f 2殘差評(píng)價(jià)函數(shù)Fig.5 Residual evaluation function of f2

圖6 故障 f 3殘差評(píng)價(jià)函數(shù)Fig.6 Residual evaluation function of f3

則本文設(shè)計(jì)的故障診斷濾波器是魯棒H∞故障診斷濾波器。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)具有慣性測(cè)量元件的線性時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種新的具有非奇異結(jié)構(gòu)的基于觀測(cè)器的故障診斷濾波器。首先將具有時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)-離散描述系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一般系統(tǒng)進(jìn)行研究。設(shè)計(jì)的基于觀測(cè)器量測(cè)殘差的故障診斷濾波器符合魯棒H∞性能指標(biāo)。由于濾波器參數(shù)矩陣不等式不是標(biāo)準(zhǔn)LMI形式，引入CCL迭代算法以輔助運(yùn)算。引入殘差評(píng)價(jià)函數(shù)及閾值以判斷故障是否發(fā)生。仿真結(jié)果表明，對(duì)于時(shí)變時(shí)滯連續(xù)-離散描述系統(tǒng)傳感器發(fā)生的緩變故障和突變故障，本文設(shè)計(jì)的故障診斷濾波器均能實(shí)現(xiàn)有效的故障診斷。