理想變壓器中的相位問題研究
——一道全國卷高考題引發(fā)的問題討論

張紅明 周宗波

(北京師范大學附中 北京 100052) (武漢武鋼三中 湖北 武漢 420100)

1 問題引入

變壓器問題的考查連續(xù)出現(xiàn)在全國高考課標卷理綜試題中，2014，2015，2016年均有考查．通過理想變壓器的副線圈串接二極管，通過理想變壓器的原線圈串接電阻等，來考查學生的靈活應變能力、創(chuàng)新能力和探究能力．下面給出2015年全國課標Ⅰ卷理綜物理試題.

【例1】(2015高考全國課標Ⅰ卷第16題)一理想變壓器的原、副線圈的匝數(shù)比為3∶1，在原、副線圈的回路中分別接有阻值相同的電阻，原線圈一側接在電壓為220 V的正弦交流電源上，如圖1所示．設副線圈回路中電阻兩端的電壓為U，原、副線圈回路中電阻消耗的功率的比值為k，則

圖1 題圖

下面對該題展開分析.

圖2 例1分析

2015年這道高考題在中學物理教師中引起了廣泛的熱議，兩種觀點激烈碰撞,更為令人困惑的是在接下來的2016年高考全國卷中又出現(xiàn)了類似的變壓器問題．這到底是怎么回事？

2 問題研究

一種直覺，認為這道題有科學性錯誤的觀點是有問題的．該題的原線圈中串聯(lián)了電阻R，表面看起來是理想變壓器的一種變式，其實它應該是一種典型的物理問題．請看遠距離輸電，其示意圖如圖3所示.

圖3 遠距離輸電示意圖

在遠距離輸電問題中，如果去掉升壓變壓器，直接把升壓變壓器的輸出電壓看作是電源，那么遠距離輸電問題就變成上述的高考題，它們在本質上完全一樣．對于遠距離輸電，我們經(jīng)常用到電壓關系U2=U線+U3，對這個關系我們覺得天經(jīng)地義，絲毫沒有人懷疑它的正確性，根本沒有人提出電阻兩端電壓與線圈兩端電壓存在相位差問題．

在上述高考題中，電阻兩端電壓加上線圈兩端電壓就是電路輸入的總電壓，其正確性應該是顯然的．這個正確性是建立在線圈兩端電壓與電阻兩端電壓是同相位的，下面對其正確性進行深入地研究．

理想變壓器是以互感現(xiàn)象為基礎的電磁裝置，它的原理性結構如圖4所示.

圖4 理想變壓器原理性結構

理想變壓器是繞在同一個鐵心上的兩個線圈．在交流電源的作用下，原線圈內(nèi)產(chǎn)生交變電流，從而在鐵心內(nèi)激發(fā)交變的磁通量．交變的磁通量又在副線圈內(nèi)產(chǎn)生感應電動勢和感應電流，它反過來通過互感磁通又影響到原線圈．這便是變壓器工作時的基本過程．理想變壓器應該滿足以下幾個條件：

(1)沒有漏磁，即通過兩個線圈中每匝的磁通量都一樣；

(2)兩線圈中沒有電阻，從而沒有銅損(即忽略線圈導線中的焦耳損耗)；

(3)鐵心中沒有鐵損(即忽略鐵心中的磁滯損耗和渦流損耗)；

(4)原、副線圈中的感抗趨于無窮大，從而空載電流趨于零．

2.1 理想變壓器的電壓變比公式

首先，為了確定正負號，先得規(guī)定原、副線圈的回繞方向．兩線圈回繞方向的選擇如圖4中箭頭所示，應該注意到這樣的選擇使得它們在磁芯內(nèi)產(chǎn)生的磁通量的方向是一致的，即都沿順時針方向．

設原、副線圈的匝數(shù)分別為N1，N2，通過磁芯任意橫截面得到磁通量為φ，則通過原、副線圈的磁通匝鏈數(shù)分別為ψ1，ψ2，則

ψ1=N1φ=L1I1+M21I2

(1)

ψ2=N2φ=L2I2+M12I1

(2)

式中L1,L2,M21,M12分別為原副線圈的自感系數(shù)和互感系數(shù)，I1,I2分別為原副線圈中的電流．

根據(jù)法拉第電磁感應定律，兩線圈中產(chǎn)生的感應電動勢分別為

-jωN1φ=-jωL1I1-jωM21I2

(3)

-jωN2φ=-jωL2I2-jωM12I1

(4)

設變壓器的原副線圈的電壓分別為u1,u2，則有

u1=uAB=-εAB=jωN1φ=

jωL1I1+jωM21I2

(5)

u2=uCD=εDC=-jωN2φ=

-jωL2I2-jωM12I1

(6)

以上兩式相除得

(7)

這便是理想變壓器的電壓變比公式，式中的符號表示u1的相位與u2相差π．

2.2 理想變壓器的電流變比公式

副線圈空載時，令式(1)中的I2=0，I1=I0，立即得到空載電流(也稱勵磁電流)為

(8)

再看有負載電流的情形，在式(1)中用jωL1I0代表左邊的u1，移項后得

jωL1(I1-I0)=-jωM21I2

(9)

(10)

此式即為理想變壓器的電流變比公式，式中的符號表示I1的相位與I2相差π．

3 問題分析

在上述題目中，由于副線圈連接的是純電阻元件，因此副線圈中電壓u2與電流I2是同相位的．又由于原線圈中的u1的相位與副線圈u2相差π，原線圈中電流I1的相位與副線圈中電流I2相差π，所以原線圈的電壓u1與電流I1是同相位的．進一步知道，原線圈中串聯(lián)的電阻兩端電壓與線圈兩端電壓是同相位的，所以它們的有效值可以直接相加等于電路的輸入電壓．至此，上述問題就全面解決．

3 啟示與反思

在中學物理遠距離輸電的教學中，有時教給學生的是一些結論性的知識，如高壓輸電電壓等于輸電線上的損耗電壓加降壓變壓器的輸入電壓，這其中的深層次的原因不必要求學生知道，但對教師來說應做到心中有數(shù)．

1 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書物理·選修3-1.北京：人民教育出版社，2014

2 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.普通物理教程·電磁學(第三版).北京：高等教育出版社，2012

3 趙凱華，陳煕謀.電磁學(下冊).北京：高等教育出版社，1985