解題引入圖形法，簡化問題拓思路

苗曉麗

[摘? 要] 圖形法具有啟發(fā)解題思路、提升數(shù)學思想的雙重作用，因此不僅是一種解題方法，還是一種重要的解題思想. 本文將具體講解圖形法在不等式證明、最值求解和函數(shù)問題中的應(yīng)用策略，并開展圖形法教學思考，以期對師生的數(shù)學學習有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 圖形法;不等式;函數(shù);基礎(chǔ);構(gòu)建;思想方法

初中數(shù)學的一些抽象問題對學生的思維要求較高，存在一定的難度，如果不能采用合理的解題方法，往往會造成解題思路的停滯. 圖形法是一種較為常用的解題方法，可以將問題中的抽象信息直觀化，并建立隱含條件與圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，為后續(xù)的思路探尋提供啟示. 下面是圖形法在幾類問題中的具體應(yīng)用.

構(gòu)建圖形，巧證不等式

初中數(shù)學的內(nèi)容中含有大量的數(shù)與式，其抽象、靈活的特點往往會造成學生理解困難，由此衍生的不等式證明問題對學生而言求解難度較大，因此學生難以找到合理的證明思路. 此時若采用圖形法，合理引入直觀的幾何圖形，則可以有效轉(zhuǎn)化條件、結(jié)論，獲得不等式證明的思路.

點評 構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化條件與結(jié)論，建立數(shù)與形的對照關(guān)系，由數(shù)聯(lián)形，由形見數(shù)，可實現(xiàn)問題的直觀具體化;結(jié)合幾何性質(zhì)證明問題，可有效降低思維難度. 另外，求解過程滲透了數(shù)形結(jié)合思想方法，這對學生的思維提升也有一定的幫助.

構(gòu)造數(shù)軸，妙得最值

圖形法在求解最值問題時同樣具有廣泛的應(yīng)用，尤其是構(gòu)造數(shù)軸求解含絕對值的最值問題. 該方法實際上是利用絕對值的幾何意義來確定取得最值的情形. 利用數(shù)軸求解含絕對值最值的問題時，具體思路是：首先繪制數(shù)軸，并根據(jù)題干信息在數(shù)軸上標注關(guān)鍵點，然后借用數(shù)軸去掉絕對值符號或者利用數(shù)軸轉(zhuǎn)化問題，最終實現(xiàn)問題求解.

分析 求解含絕對值的代數(shù)式的最小值，可以嘗試利用絕對值的幾何意義，即構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)軸，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為求x到定點距離和的最小值問題，然后借用數(shù)軸的直觀性來確定取得最值的情形，從而實現(xiàn)求解.

點評 利用數(shù)軸探尋代數(shù)式的最值問題具有良好的直觀性，可以巧妙地轉(zhuǎn)化問題，并準確地確定最值情形. 不過需要注意的是，利用數(shù)軸解決問題時，我們要理解數(shù)軸表示數(shù)的幾何意義，且要遵循數(shù)軸科學表達的法則，養(yǎng)成良好的作圖習慣，保證數(shù)軸方向始終向右，并靈活掌握標記的方法.

圖形綜合，化解函數(shù)

函數(shù)是初中數(shù)學的重難點知識，由于涉及的知識點眾多，求解難度較大，尤其是涉及動點的抽象問題，求解時可以采用圖形法，引入直觀圖形來探究動點位置，將動點問題靜態(tài)化，同時可以結(jié)合數(shù)軸，利用數(shù)軸分段運動時間，從而找出動點運動過程中的特殊位置或臨界值，使復(fù)雜問題通過分類討論的方式來求解，提高解題的準確性.

點評? 上述為涉及動點的函數(shù)問題，由于點的運動導致了圖形形狀和面積發(fā)生了變化，解題時巧妙利用圖形法，構(gòu)造分析問題的函數(shù)圖像以及數(shù)軸圖，將復(fù)雜問題進行分段處理，有效降低了思維難度. 函數(shù)與圖形之間本身就存在著緊密的聯(lián)系，利用圖形分析函數(shù)形態(tài)、變化特征極為便利，可以充分展示問題中的函數(shù)特性.

解后反思，教學思考

1. 扎實基礎(chǔ)知識，建構(gòu)知識體系

無論是利用圖形法證明不等式，還是分析函數(shù)問題，解題過程都是對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用. 如例1證明不等式，綜合應(yīng)用了分式變形、勾股定理和面積公式等知識;例2則應(yīng)用了數(shù)軸等基礎(chǔ)知識;例3的函數(shù)問題，涉及拋物線的性質(zhì)、特征以及幾何求邊長、面積等相關(guān)知識. 因此，充分理解基礎(chǔ)知識、把握知識聯(lián)系是數(shù)學解題的基礎(chǔ)，教學中也應(yīng)從基礎(chǔ)知識入手，幫助學生扎實基礎(chǔ)，完善知識體系，提升解決綜合問題的能力.

2. 學習圖形構(gòu)建，探尋問題規(guī)律

利用圖形分析問題，實際上是利用圖形建立條件與待求量之間的關(guān)系，從而使問題中隱含的性質(zhì)特征充分暴露出來，使題干信息更容易理解，為后續(xù)的思路探索提供便利條件. 可以說，解題時引入圖形，圖形僅僅是降低思維難度的輔助工具，對圖形規(guī)律的深入探索才是問題解答的關(guān)鍵. 因此，在解題教學時需要教師引導學生掌握圖形建立的方法，學習探究問題圖形規(guī)律、性質(zhì)和特征的具體思路，使學生真正地掌握圖形解題法.

3. 利用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展解題思維

圖形法實質(zhì)上是采用建模方式將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形合理結(jié)合，使數(shù)值規(guī)律和幾何特征相對應(yīng)，互為補充，從而達到高效解題的目的，這是數(shù)形結(jié)合的充分體現(xiàn). 而對于數(shù)形結(jié)合，它不僅是一種方法，更是一種重要的解題思想，具有數(shù)學所特有的嚴謹性和直觀性，并且對學生思維的提升具有極大的幫助. 教學中要引導學生從“數(shù)”與“形”的角度深入理解代數(shù)與幾何，學習數(shù)形結(jié)合解決實際問題的策略，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的解題意識，發(fā)展學生的解題思維.

結(jié)束語

總之，圖形法在數(shù)學解題中有著廣泛的應(yīng)用，是建立知識聯(lián)系、轉(zhuǎn)化問題條件的一種重要方法. 需要注意的是，采用圖形法解題不僅要合理構(gòu)造圖形，還要主動溝通知識聯(lián)系，充分發(fā)揮圖形的引導作用. 在教學中，需要教師幫助學生扎實基礎(chǔ)，構(gòu)建知識聯(lián)系;引導學生掌握圖形構(gòu)建的方法，結(jié)合實例探尋圖形規(guī)律;從思想方法角度理解圖形法，促進學生數(shù)學思想的發(fā)展. 圖形法是打開解題思路的數(shù)學工具，教學中可利用圖形法的講解使學生獲得解題能力和數(shù)學思維能力的提升