過程教育
——以“平行線的判定（第1課時(shí)）”為例

☉浙江省寧波市北侖區(qū)東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 虞朝霞

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）根據(jù)數(shù)學(xué)具有過程和結(jié)果的雙重性特征，倡導(dǎo)統(tǒng)籌兼顧過程與結(jié)果.但在以浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)1.3節(jié)“平行線的判定（第1課時(shí)）”為載體的“多人同課異構(gòu)式”的研修活動(dòng)發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過程教育不到位的問題，主要表現(xiàn)在：獲得“基本事實(shí)”的認(rèn)知過程短暫和獲得“基本事實(shí)”之后的圖形變換過程缺失，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)三角尺在畫圖過程中的作用的認(rèn)識(shí)不夠充分，對(duì)“基本事實(shí)”的理解沒有達(dá)到一定的“深度”；用判定平行線的方法判定兩條直線平行的分析過程缺失，也沒有提供學(xué)生交流多樣化說理方法的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致沒有充分發(fā)揮例題的潛在功能.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，按過程教育思想對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行重建與實(shí)踐，改進(jìn)后的課例得到了專家的認(rèn)可.現(xiàn)整理成文，與讀者交流分享.

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧舊知并提出問題的過程——明確研究問題

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下平行線的概念.

生1：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線.

師：由于直線無限延伸，檢驗(yàn)它們是否相交有困難，所以難以直接根據(jù)平行線的概念來判斷兩條直線是否平行.有沒有其他判定平行線的方法？本節(jié)課我們就來探索平行線的判定方法.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：探索平行線的判定方法——同位角相等，兩直線平行

師：請(qǐng)大家依次完成下列任務(wù).（允許小組合作）

（1）畫圖：用三角尺和直尺在白紙上畫兩條平行線.

（2）思考：用數(shù)學(xué)的眼光看畫平行線的過程，三角尺起到了什么樣的作用？

（教師等待學(xué)生完成任務(wù)）

師：我發(fā)現(xiàn)大家的畫圖方法可以抽象成如圖1、圖2、圖3、圖4所示的四種類型.

圖3

圖4

師：用數(shù)學(xué)的眼光看畫平行線的過程，三角尺起到了什么樣的作用？

生2：三角尺的作用是使“角”在沿直尺所在的直線定向移動(dòng)過程中保持相等.

生3：三角尺的作用是保持同位角相等.

師：不錯(cuò).由此你發(fā)現(xiàn)可用什么方法來判定兩條直線平行？

生4：可用同位角相等來判定兩條直線平行.

師：好的.這是經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果.如圖5，若∠1=∠2，則直線l1∥l2嗎？

圖5

圖6

生4：可以猜想：若∠1=∠2，則直線l1∥l2.

師：一般地，可以形成怎樣的猜想？

生4：兩條直線l1，l2被第三條直線AB所截，若同位角相等，則直線l1∥l2.

師：以后可以證明你的猜想是正確的.這樣判定兩條直線平行有下面的方法：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單地說，同位角相等，兩直線平行.即如圖5，若∠1=∠2，則直線l1∥l2.

師：如圖6，將圖5中的直線AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至A′B′且∠3=∠4，則直線l1∥l2嗎？

生5：根據(jù)判定平行線的方法，可知直線l1∥l2.

師：如圖7，若∠3=∠4，則直線l1∥l2嗎？

生6：根據(jù)判定平行線的方法，可知直線l1∥l2.

師：如圖7，若∠5=∠6呢？∠7=∠8呢？

生7：若∠5=∠6，則直線l1∥l2；若∠7=∠8，則直線l1∥l2.

圖7

圖8

師：好的.不管圖形的位置怎樣變化，只要有一對(duì)同位角相等，就能判定直線l1∥l2.它體現(xiàn)了“數(shù)量關(guān)系到位置關(guān)系”的過程.

師：若將圖5變?yōu)閳D8且∠1=∠2=90°，則直線l1與l2是否平行？為什么？

生8：直線l1∥l2.因?yàn)椤?=∠2=90°，又∠1與∠2是直線l1、l2被直線AB所截的一對(duì)同位角，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可得直線l1∥l2.

師：有道理.∠1=∠2=90°，即l1⊥AB，l2⊥AB.由此你發(fā)現(xiàn)了什么？

生9：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

師：為何要加“在同一平面內(nèi)”的限制條件？

生9：例如，墻角中的“這兩條線”垂直于“這條線”，但“這兩條線”不平行.

師：聰明！否定結(jié)論只要舉個(gè)反例即可.這樣判定平行線還有下面的方法：

在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.即如圖8，若l1⊥AB，l2⊥AB，則直線l1∥l2.

師：它體現(xiàn)了“位置關(guān)系到位置關(guān)系”的過程.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試方法應(yīng)用的活動(dòng)——合作解答有代表性問題

師：我們一起來解答下列問題.

問題1：如圖9，直線l1，l2被直線l3所截，∠1=45°，∠3=135°.問：直線l1與l2是否平行？為什么？

圖9

師：現(xiàn)在判定兩條直線平行有哪幾種可行方法？

生10：平行線的判定方法1和判定方法2.

師：由圖可以猜想：直線l1∥l2.要說明直線l1∥l2，只要說明什么？

生11：∠1=∠2或∠3=∠4.

師：根據(jù)已知條件能求出∠2或∠4的度數(shù)嗎？

生11：能.∠2=45°，∠4=135°.

師：由此能得出∠1=∠2或∠3=∠4嗎？

生12：∠1=∠2=45°，∠3=∠4=135°.

師：由此可知，直線l1∥l2.請(qǐng)大家把直線l1∥l2的理由規(guī)范地寫出來.

（教師等待學(xué)生完成任務(wù)）

師：誰來匯報(bào)說理的過程？

生13：因?yàn)椤?+∠3=180°，所以∠2=180°-∠3=180°-135°=45°.又∠1＝45°，所以∠1=∠2.因?yàn)椤?與∠2是直線l1，l2被直線l3所截的一對(duì)同位角，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

生14：因?yàn)椤?+∠4=180°，所以∠4=180°-∠1=180°-45°=135°.又∠3＝135°，所以∠3=∠4.因?yàn)椤?與∠4是直線l1，l2被直線l3所截的一對(duì)同位角，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：說得真好！如圖9，若內(nèi)錯(cuò)角相等，則直線l1∥l2嗎？若同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則直線l1∥l2嗎？

生15：直線l1∥l2.因?yàn)檫@兩個(gè)條件都可以推出同位角相等.

師：好的.我們要養(yǎng)成解題之前分析和解題之后反思的習(xí)慣.

問題2：如圖10，已知直線l1，l2被直線AB所截，AC⊥l2于點(diǎn)C.若∠1=50°，∠2=40°，則直線l1與l2平行嗎？請(qǐng)說明理由.

圖10

師：由圖可以猜想：直線l1∥l2.要說明直線l1∥l2，只要說明什么？

生16：∠1+∠2=90°或∠ABC=∠1.

師：根據(jù)已知條件能求出∠1+∠2或∠ABC的度數(shù)嗎？

生16：能.因?yàn)椤?=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°.因?yàn)椤螧AC=∠2=40°，又∠ACB=90°，所以∠ABC=90°-40°=50°.

師：由此能否得出直線l1∥l2？

生17：能.因?yàn)椤?=∠ABC，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

生18：因?yàn)椤?＋∠2=90°，即l1⊥AC，又l2⊥AC，所以直線l1∥l2.（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）

生19：因?yàn)椤?＋∠2=90°=∠3，所以直線l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：請(qǐng)大家把直線l1∥l2的理由規(guī)范地寫出來.

（教師等待學(xué)生完成任務(wù)）

師：誰來匯報(bào)說理的過程？

生20：因?yàn)椤?=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°，所以l1⊥AC.又l2⊥AC，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，可得直線l1∥l2.

生21：因?yàn)椤?=40°，所以∠BAC=40°.因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠ABC=50°.因?yàn)椤?=50°，所以∠1=∠ABC.因?yàn)椤?與∠ABC是直線l1，l2被直線AB所截的一對(duì)同位角，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可得直線l1∥l2.

生22：因?yàn)椤?＋∠2=90°，又l2⊥AC，即∠3=90°，所以∠1＋∠2=∠3，所以l1∥l2.（同位角相等，兩直線平行）

師：好的.學(xué)習(xí)幾何需要推理，我們要逐步熟悉上述這樣的推理語言.

接下來，要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題，并待學(xué)生完成任務(wù)后進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià).

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

師：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

生23：本節(jié)課研究了判定平行線的方法及其應(yīng)用.

師：獲得“同位角相等，兩直線平行”經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生24：畫圖→思考→猜想→表達(dá).

師：好的.特殊到一般的探索策略和畫圖、猜想等探索方法，以后會(huì)經(jīng)常用到.

師：用判定平行線的方法判定兩條直線平行經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生25：判斷→分析→說理.

師：好的.分析基礎(chǔ)上書寫求解（或推理）過程是解決問題的基本經(jīng)驗(yàn).

師：大家在學(xué)習(xí)過程中有何感觸？

生26：通過畫圖也能發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，否定結(jié)論只要舉個(gè)反例就可以了.

生27：說明結(jié)論成立要有理論依據(jù)，有時(shí)說明結(jié)論成立有多種方法.

生28：解題之前要分析，解題之后要反思.

師：太棒了！這些感悟或經(jīng)驗(yàn)對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用.大家認(rèn)為還可以繼續(xù)研究什么？

生29：還可以從內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系來研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系.

師：有道理.下節(jié)課我們繼續(xù)來探索平行線的判定方法.

三、教學(xué)說明

過程教育不是片面強(qiáng)調(diào)過程，而是根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用，以及獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問題）的過程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值來確定過程與結(jié)果的平衡點(diǎn).其基本要求是：教學(xué)內(nèi)容全面——不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成、應(yīng)用的過程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.認(rèn)知過程完整——根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的類型針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過程.教學(xué)方法和諧——以合適的題材為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式（特別要留給學(xué)生自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)），并用激勵(lì)的方法來評(píng)價(jià)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中的表現(xiàn).［1］

“平行線的判定（第1課時(shí)）”的教學(xué)內(nèi)容不僅包括平行線的判定方法，也包括平行線判定方法的形成、應(yīng)用的過程和所蘊(yùn)含的歸納思想、演繹思想、推理語言、說理的表述格式等.證明“同位角相等，兩直線平行”對(duì)學(xué)生來說有難度，浙教版教材把它看作基本事實(shí)，所以其教學(xué)性質(zhì)是原理教學(xué).平行線的判定方法是基礎(chǔ)知識(shí)，用平行線的判定方法判定兩條直線平行及簡(jiǎn)單的說理是需要學(xué)生掌握的基本技能；經(jīng)驗(yàn)到理論和一般到特殊的研究方法在教學(xué)實(shí)踐中具有普適性.實(shí)踐告訴我們，獲得平行線判定方法的過程和用平行線判定方法判定兩條直線平行及簡(jiǎn)單說理的過程有能力發(fā)展點(diǎn)、個(gè)性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點(diǎn)，其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、推理語言、說理的表述格式等對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力有積極影響.《課標(biāo)》中課程內(nèi)容對(duì)該課提出的教學(xué)要求是“掌握基本事實(shí)：同位角相等，兩直線平行”.在教師適度引導(dǎo)下，學(xué)生獲得判定兩直線平行的方法，雖然用判定方法判定兩條直線平行的難度不大，但是判定兩條直線平行之后的說理（有條理的推理與表達(dá)）對(duì)學(xué)生來說有一定的難度.

本課例根據(jù)平行線判定方法的教學(xué)性質(zhì)及其地位與作用和所蘊(yùn)含的教育價(jià)值，針對(duì)性地設(shè)計(jì)了“提出問題（暗示研究的必要性）→畫圖思考（用直尺和三角尺畫平行線并思考三角尺在畫圖過程中的作用）→歸納猜想（由特殊猜想一般）→表達(dá)方法（用文字語言和符號(hào)語言表達(dá)猜想得到的結(jié)果）→演繹欣賞（生成判定方法2）→解決問題（用獲得的判定方法判定兩條直線平行并說理）→反思內(nèi)化（欣賞判定方法，感悟研究過程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）”的教學(xué)過程，運(yùn)用了“把教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)放在‘畫圖思考’‘解決問題（特別是說理）’上，并以教材提供的題材為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，采用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式和用激勵(lì)的方法來評(píng)價(jià)學(xué)生表現(xiàn)”的教學(xué)方法，以使學(xué)生對(duì)“基本事實(shí)”的認(rèn)識(shí)能達(dá)到一定的“深度”，并能感悟三角尺在畫圖過程中的作用，能感悟其研究過程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累說理（推理與表述）經(jīng)驗(yàn)等.

浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師鄔云德老師認(rèn)為，該課例遵循了數(shù)學(xué)原理教學(xué)的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心的思想，統(tǒng)籌兼顧了過程與結(jié)果，可以實(shí)現(xiàn)“能發(fā)現(xiàn)并會(huì)陳述判定平行線的方法，會(huì)用判定平行線的方法判定兩條直線平行并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和表述，能感悟特殊到一般的探索策略和畫圖、觀察、猜想的探索方法，能在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中有個(gè)性化表現(xiàn)”的教學(xué)目標(biāo)，它對(duì)幫助教師理解與實(shí)踐過程教育有積極的影響.

教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的整體性教學(xué)和有深度的教學(xué)，能“激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣”“引發(fā)學(xué)生積極思考”“培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣”“使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法”.［2］

1.鄔云德.旨在統(tǒng)籌兼顧過程與結(jié)果的過程教育理論［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（11）.

2.史寧中.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）［M］.北京：北京科海電子出版社，2011.H