析離基本圖形，抽取解題思路

☉江蘇如皋市下原鎮(zhèn)下原初中 許波琴

一、例題及其教學(xué)分析

1.例題及解法分析.

題目：如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE，BE是△DEC外接圓的切線.

（1）求∠C；

（2）若CD=2，求BE.

圖1

圖2

分析：解答題（1），可以根據(jù)“BE是△DEC外接圓的切線”聯(lián)想到作輔助線OE，得到∠BEO=90°，再由直角三角形的性質(zhì)得到，最后，利用三角形外角的性質(zhì)計算即可；解答題（2），可以根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BD的長，利用勾股定理列式計算即可.

具體解題過程如下：

解：（1）如圖2，連接OE.

由BE是△DEC外接圓的切線，得∠BEO=90°.由∠ABC=90°，E是AC的中點，得

2.教學(xué)分析.

本題是以圓為背景的解答題，主要考查垂直平分線的定義、切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接直角三角形、三角形的內(nèi)角和、勾股定理和含30°角的直角三角形等知識.筆者將本題作為教學(xué)例題，編入了圓的單元復(fù)習(xí)中，意在讓學(xué)生以此題的解答，將圓中的核心知識與初中階段其他幾何核心知識關(guān)聯(lián)起來，形成解答與圓有關(guān)問題的基本思路，形成基于直角三角形的知識網(wǎng)絡(luò).

則∠EBC=∠ECB.

由OE=OC，得∠OEC=∠OCE.

則∠BOE=2∠OCE，即∠BOE=2∠EBC.

則∠EBC=30°.

則∠C=30°.

（2）由CD=2，得OE=OD=OC=1.

由∠EBC=30°，∠BEO=90°，得BO=2OE=2.

二、教學(xué)過程及簡析

1.教學(xué)過程簡錄.

教師先投影例題的題干及問題（1），讓學(xué)生按幾何題的常規(guī)分析思路探索解題思路.大約5分鐘后，有不少學(xué)生舉手示意已找到思路，教師立即組織學(xué)生進(jìn)行全班交流.

師：請一位同學(xué)說說你是如何分析這道題的.

生1：首先是讀題標(biāo)注，把文本中的信息標(biāo)注到圖旁，然后剝離圖形，聯(lián)想由條件可能會得出的結(jié)論.最后是前后關(guān)聯(lián)，把最終要得到的結(jié)論與我能想到的結(jié)論關(guān)聯(lián)起來.

師：很好！這是我們常用的分析幾何題的思路.你們都按這個思路進(jìn)行的嗎？

生（齊）：是的！

師：接下來，請一位同學(xué)具體說說這幅圖中究竟含有哪些基本圖形，根據(jù)你所析離出來的基本圖形又能有哪些基本結(jié)論.

生2：線段垂直平分線，（學(xué)生到黑板上作圖，下同）題目很直接給出了“邊AC的垂直平分線交BC于D”，所以，圖中的DE就是AC的垂直平分線，至少我能直接得出兩組結(jié)論

師：對！由文本信息完全可抽出這一基本圖形.你會據(jù)此圖（指向圖3）產(chǎn)生怎樣的聯(lián)想？

生3：連接AD.

師：為什么？

圖3

圖4

生4：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以，連接AD后，就可以得到AD=CD了！

師：好的！圖1中還有其他基本圖嗎？

生5：切線構(gòu)造的直角三角形，如圖4，取DC的中點O，連接OE，根據(jù)“BE是△DEC外接圓的切線”可得∠DEB=90°.

師：你確定所取的DC的中點O就是圓心嗎？

生5一愣，班上其他學(xué)生開始竊竊私語.

師：應(yīng)用切線的性質(zhì)的前提是這里的OE應(yīng)為半徑，也就是O為圓心.

生6：是圓心！

師：為什么？

生7：∠DEB=90°，根據(jù)“90°的圓周角所對的弦是直徑”，所以，DC就是△DEC的外接圓的直徑，當(dāng)然中點O也就是半徑了.

師：嗯！這么一補充，我們的推理又完善了.不錯，抽取基本圖形，一定要關(guān)注圖形存在的條件是否完備.如果全了，那就是基本圖形，如果不全，就要考慮是否可以證全了.再說說其他基本圖形吧！

生8：還有“直角三角形斜邊上的中線”，如圖5，由于AE=CE，這里的BE就變成了Rt△ABC斜邊上的中線，所以，AE=BE=CE.

師：很好！根據(jù)三條線段相等，又可以得出哪些結(jié)論呢？

圖5

圖6

生9：∠EBC=∠C，∠A=∠ABE.

師：還有其他基本圖形嗎？

生10：角平分線性質(zhì)定理模型.

師：在哪兒呢？

生11：四邊形ABDE，如圖6.如果連接AD，就是初二研究的“角平分線的性質(zhì)”基本圖形.圖中的結(jié)論是“如果AD平分∠BAE，DE⊥AC，∠ABD=90°，所以，DB=DE”.

師：你別說，還真是那回事?。ń處熤钢负诎迳献鞒龅膱D形）根據(jù)這么多圖形，你能想辦法求出∠C的度數(shù)嗎？

生12：能！∠C=30°.

師：怎么求？

學(xué)生口陳述求∠C的過程，此處略去.

師：如果給定這里的CD=2，其他條件都不變，你能根據(jù)這些基本圖形求出哪些線段的長？先自主探索，然后在小組中交流.

學(xué)生自主探究，3分鐘后，他們在小組中進(jìn)行了熱烈交流.然后教師給出問題（2）：若CD=2，求BE.請學(xué)生自主求解.

2.簡析.

這里展示的是本題教學(xué)的核心片段.案例中，教師非常重視基本圖形的剝離和相關(guān)結(jié)論的分析，而師生間的內(nèi)在默契彰顯了學(xué)生的訓(xùn)練有素.教師提出的解題要求，強調(diào)了“幾何問題的常規(guī)分析方法”，生1據(jù)此給出的方法是大家一致認(rèn)同的基本方法，也是教師所期盼的分析方法.教師的期盼變成現(xiàn)實，這完全源于長期的范式訓(xùn)練.接下來的交流，教師沒有直奔解題思路或解題過程去，而是指向了“你們分析并剝離出的基本圖形”，要求學(xué)生說出基本圖形，并分析基于基本圖形可以獲得的結(jié)論.從教學(xué)的過程和結(jié)果看，教師對基本圖形的深挖的成效是顯著的.在教師環(huán)環(huán)相扣的追問下，學(xué)生對基本圖形及其結(jié)論的探索不斷完善與深入，為后續(xù)解題思路的得出和解題過程的呈現(xiàn)夯實了基礎(chǔ).在與例題相關(guān)的基本圖形析離過程中，教師還將文中的圖3至圖6都畫在黑板上，這些從復(fù)雜圖形中抽取出的基本圖形，讓本題的圖形分析形成了網(wǎng)絡(luò)，其核心是直角三角形，附著其上的既有直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，也有與直角三角形高度相關(guān)的其他圖形的性質(zhì).這些圖形及其所包含的幾何結(jié)論，對問題解決的重要性我們是不需要質(zhì)疑的，而其生成過程或許比結(jié)論的應(yīng)用來得更具實效.在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生的自主探索、師生的互動交流及最后的自主解答，都緊扣生成于幾何概念或定理之上的基本圖形展開，與學(xué)生已有的認(rèn)知路徑完全吻合，取得較好的教學(xué)成效也就十分正常了.

三、幾點思考

1.堅持析圖訓(xùn)練，培養(yǎng)應(yīng)用能力.

對基本圖形的學(xué)習(xí)與應(yīng)用應(yīng)是一項長期工程，一線教師所要做的就是始終如一地將其貫穿于自己的幾何教學(xué)中.見圖析圖，聯(lián)想結(jié)論，力求在師生互動交流中形成學(xué)生“剝離圖形，應(yīng)用圖形獲得思路”的能力.筆者認(rèn)為，這種長期堅持的析圖訓(xùn)練，對教師有著較高的要求.首先，教師要能把握住訓(xùn)練的時機，在教學(xué)中始終將對復(fù)雜圖形的分析放在教學(xué)的核心時段上；其次，要以始終如一的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思路分析與解法交流，決不能三心二意，不斷變化.比如，一道幾何題拿到手之后，學(xué)生該“先做什么，后做什么”，都應(yīng)有著明確的規(guī)定，當(dāng)他們面對一個復(fù)雜的幾何圖形時，該如何剖析，從哪些角度去抽取基本圖形，這些都應(yīng)從幾何教學(xué)之初就應(yīng)確立“規(guī)矩”，而且要讓確定的“規(guī)矩”在長期反復(fù)的磨煉下逐步完善，并得到全體學(xué)生的認(rèn)同，最終成為每個學(xué)生都能“說得清，道得明”的思路分析范式.通過這種固化的持久訓(xùn)練，個體對基本圖形的分析與應(yīng)用能力才可能有明顯提升，成為個體的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.重視“四基”教學(xué)，夯實應(yīng)用基礎(chǔ).

“四基”是指數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，它們是“四能”（發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力）生成的基礎(chǔ).很顯然，“四基”教學(xué)對于數(shù)學(xué)教學(xué)是十分重要的.面對本文中所述的幾何教學(xué)，筆者認(rèn)為它與代數(shù)教學(xué)的最大差別在于教學(xué)內(nèi)容增加了圖形語言.學(xué)生需要在原有文字語言、符號語言之外，花大量的精力去認(rèn)知、記憶、識別圖形.所以，在幾何概念、定理教學(xué)時，我們務(wù)必在認(rèn)知起點處，幫助學(xué)生將文字語言、圖形語言和符號語言一一對應(yīng)起來，讓他們充分體會到這三種幾何語言之間的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)應(yīng)用夯實基礎(chǔ).“四基”教學(xué)，起點很重要.我們應(yīng)從一開始就讓學(xué)生充分經(jīng)歷基本圖形的生成過程，然后才是更廣范圍內(nèi)的建構(gòu)與拓展.所以，在定理或概念首次呈現(xiàn)時，我們就應(yīng)把三種語言狀態(tài)下的知識同步展示，讓他們體會到它們之間轉(zhuǎn)化的可能、必要與有效.

3.強化數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，形成應(yīng)用慣性.

基本圖形一般是指基于一個定理或概念之上的圖形，但有時我們會把關(guān)聯(lián)較為密切的兩個或兩個以上的圖形鏈接在一起，形成一些較為復(fù)雜的復(fù)合基本圖形，或者我們會把基于多個不同教學(xué)時段從同一幅圖形中生成的結(jié)論組合在一起，形成一個基于同一圖形的較為綜合的知識網(wǎng)絡(luò)，這些圖形或知識的“集合體”一旦形成，將會成為今后學(xué)生分析問題與解決問題的重要數(shù)學(xué)模型.當(dāng)然，想要形成這樣的模型，絕非一兩天的突擊訓(xùn)練就能實現(xiàn)的.筆者認(rèn)為，一方面要加強數(shù)學(xué)知識的聯(lián)想教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生看圖猜想的能力和意識；另一方面，要在訓(xùn)練中及時關(guān)聯(lián)相關(guān)知識網(wǎng)絡(luò)，并不斷強化學(xué)生的應(yīng)用體驗，以保證每名學(xué)生都能形成基于個體認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)之上的提取與應(yīng)用的思維慣性，達(dá)成基本圖形教學(xué)成效最大化.