巧“旋轉(zhuǎn)”，妙解題

☉山東省煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院 辛珍文

圖形的旋轉(zhuǎn)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中占據(jù)非常重要的地位，它貫穿于三角形、四邊形、圓等幾乎所有重要的幾何內(nèi)容之中，在近幾年的中考試題中所占的比重不斷上升，是中考的熱點(diǎn)，而且相關(guān)試題往往構(gòu)思巧妙，令人耳目一新，學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)倍感困難，經(jīng)常沒(méi)有頭緒.本文試圖從三個(gè)層次來(lái)幫助學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)的特征，以期幫助學(xué)生抓住旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，從而輕松解決問(wèn)題.

一、按指令旋轉(zhuǎn)

例1如圖1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

圖2

圖1

解析：如圖2，△A′CB′為所求.

由本題我們可以歸納出圖形旋轉(zhuǎn)的特征：（1）圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對(duì)應(yīng)角相等；（4）圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.深入研究一下，還可以得到：對(duì)應(yīng)的直線也旋轉(zhuǎn)了相同的角度，比如，此題中的直線AB和直線A′B′也互相垂直.

二、會(huì)識(shí)別旋轉(zhuǎn)

通過(guò)例1的練習(xí)，對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心為圖形的某個(gè)頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生是很容易識(shí)別的，但對(duì)于那些旋轉(zhuǎn)中心不是頂點(diǎn)的，學(xué)生識(shí)別起來(lái)還是有些困難的.比如例2.

例2 如圖3，△A′B′C′是△ABC繞點(diǎn)O按一定角度旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，求作點(diǎn)O.

圖3

圖4

解析：如圖4，因?yàn)閷?duì)應(yīng)點(diǎn)A、A′到旋轉(zhuǎn)中心O的距離相等，所以點(diǎn)O在線段AA′的中垂線上，同理點(diǎn)O也在線段CC′的中垂線上.連接AA′、CC′，作AA′、CC′的中垂線，交點(diǎn)即為點(diǎn)O.

通過(guò)例2的練習(xí)，學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)的識(shí)圖能力有了進(jìn)一步的提升，解決像例3和例4這樣的問(wèn)題，就很容易了.

例3如圖5，菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且∠B=∠EAF=60°，求證：AE=AF.

圖5

圖6

解析：如圖6，連接AC，證明△ABE≌△ACF（ASA）即可.

事實(shí)上，△ACF可以看成是△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而成的，其實(shí)旋轉(zhuǎn)為我們認(rèn)識(shí)全等提供了一個(gè)新的角度，即從動(dòng)態(tài)的角度來(lái)重新認(rèn)識(shí)全等.觀察圖2、圖4，我們可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)必然會(huì)產(chǎn)生“有公共頂點(diǎn)的等線段圖形”（線段和中點(diǎn)、等腰三角形、菱形、正方形等），反之，“有公共頂點(diǎn)的等線段圖形”（線段的中點(diǎn)、等腰三角形、菱形、正方形等）中必然隱藏著旋轉(zhuǎn)型全等，我們只需找到它們，問(wèn)題便隨之解決.

例4 如圖7，以△ABC的邊AB、AC為邊分別作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖7

圖8

解析：如圖8，不難猜想△ABC與△AEG的面積相等，可以考慮讓它們的底邊相同，因此作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，作GN⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.只需證GN=CM，而這由△AMC≌△ANG即可得到.其實(shí)△AMC與△ANG也是一對(duì)旋轉(zhuǎn)型的全等.

三、會(huì)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)

事實(shí)上，讓大部分學(xué)生感到困難的并不是去發(fā)現(xiàn)題目圖形中隱藏著的旋轉(zhuǎn)，而是何時(shí)需要去構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等.上面的解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，若題目中出現(xiàn)了“有公共頂點(diǎn)的等線段圖形”，比如，線段的中點(diǎn)、等腰三角形、菱形、正方形等，可能就需要我們主動(dòng)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，特別是當(dāng)題目中的條件比較分散或條件雖然是集中的但無(wú)法解決所求問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，可以使得題目中的條件重新集中，從而解決問(wèn)題.

例5如圖9，在等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠ADB=∠ADC，求證：∠DBC=∠DCB.

解析：雖然題目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但無(wú)法證明△ABD和△ACD全等，所以需要把條件轉(zhuǎn)移之后再利用，AB=AC提供了將△ABD旋轉(zhuǎn)的依據(jù).因此，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACD′，連接D′D.易證∠CDD′=∠CD′D，從而CD=CD′，故CD=BD，即∠DBC=∠DCB.

圖9

圖10

例6如圖10，已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).

（1）當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求PD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)∠APB變化，且其他條件不變時(shí)，求PD的最大值，以及相應(yīng)∠APB的大小.

解析：在△APD中，雖然知道PA、AD的長(zhǎng)度，但沒(méi)有角度，因此無(wú)法求解PD.由于AB=AD，所以可以嘗試將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△EAB，連接EP，在△EPB中求出EB為2可得PD也為在第（2）問(wèn)中，依此思路，易求得EB的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線，即當(dāng)∠APB為135°時(shí)，PD取得最大值6.

如果題目中出現(xiàn)了線段的中點(diǎn)，我們可以把某個(gè)三角形繞著中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等（同時(shí)形成“附屬產(chǎn)物”平行四邊形），使題目中的條件集中，從而解決問(wèn)題.我們熟悉的“倍長(zhǎng)中線”便是其中的一種特殊情形.

例7如圖11，點(diǎn)D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，且AB=CD，∠BAC=60°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，若AE=4，求BC的長(zhǎng).

圖11

圖12

解析：題中的“AB=CD，∠BAC=60°”這兩個(gè)條件比較分散，無(wú)法使用，考慮到點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，因此延長(zhǎng)AE到F，連接FB、FC、FD.這樣一來(lái)，△FDE≌△ABE，所以DF=AB=CD.又∠CDF=∠BAC=60°，故△DCF為等邊三角形.所以CF=CD，CF=AB.又BF∥AC，故四邊形ABFC為等腰梯形，所以BC=AF=8.

通過(guò)以上例題，我們對(duì)旋轉(zhuǎn)有了逐步深入的認(rèn)識(shí).我們能夠按照題目的要求，作出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)后的圖形，加深了對(duì)旋轉(zhuǎn)的直觀認(rèn)識(shí)，能夠迅速在“有公共頂點(diǎn)的等線段圖形”中識(shí)別出我們所需要的旋轉(zhuǎn)型全等，而有些題目，要求我們主動(dòng)去構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型的全等，從而使分散的條件集中起來(lái)，溝通已知和所求，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.最后提供幾個(gè)題目，供有興趣的讀者練習(xí).

練習(xí)：

1.如圖13，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點(diǎn)H，那么DH的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

圖13

圖14

2.如圖14，Rt△ABC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得Rt△CED，其中∠ABC=∠E=90°，AC=5，DE=4，則OC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

3.如圖15，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，連接AD、BD、CD，若∠ADC=150°，CD=3，AD=4，求BD的長(zhǎng).

圖15

圖16

4.如圖16，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求證：BD2=AB2+BC2.

5.如圖17，在△ABC中，AB>AC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)D作射線交AB于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BE=CF，求證：AE=AF.

圖17

圖18

6.如圖18，在平行四邊形ABCD中，若∠ABC=120°，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG，求∠BDG的度數(shù).