挖掘圖形特點(diǎn)，探尋數(shù)學(xué)規(guī)律
——以幾何規(guī)律探究題為例

☉江蘇省常熟市王莊中學(xué) 王裕龍

規(guī)律探究題是近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，其中的幾何規(guī)律探究題是較為常見(jiàn)的一類(lèi)，主要考查學(xué)生的圖形觀察力和探究推廣能力，通常涵蓋了正方形、三角形、矩形、函數(shù)、直角坐標(biāo)等知識(shí)，題型復(fù)雜，變化多樣，對(duì)于學(xué)生的推理能力要求較高，掌握合理的解題思路是高效求解的關(guān)鍵.

一、真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1.真題呈現(xiàn)

題目 （2017年浙江省舟山市中考卷第15題）如圖1所示，把n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排，求得

圖1

（1）試計(jì)算tan∠BA4C的值；

（2）按此規(guī)律推導(dǎo)，寫(xiě)出tan∠BAnC的值（用含n的代數(shù)式表示）.

2.試題解析

分析：（1）求tan∠BA4C的值，過(guò)點(diǎn)C可作BA4的垂線CH，垂足為H，則利用面積法可求CH，利用勾股定理即可求A4H.（2）對(duì)于tan∠BAnC，采用規(guī)律總結(jié)的方式，分析上述幾個(gè)正切值，將n作為正切序號(hào)，總結(jié)等號(hào)右邊的規(guī)律即可.

解：（1）作CH⊥BA4，垂足為H，如圖2，則利用勾股定理求得所以

圖2

（2）依上述正切式子可知，等號(hào)右邊分母存在如下規(guī)律：1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，13=42-4+1，所以可推得tan

3.試題點(diǎn)評(píng)

本題目為幾何規(guī)律題，主要考查正切、直角三角形、勾股定理等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合、模型思想滲透于試題之中.求解過(guò)程以正切值在直角三角形中表示作為突破口，并從中挖掘正切值的變化規(guī)律，對(duì)圖形的直觀感知是解題的關(guān)鍵，垂線的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了求解的具體化，對(duì)基本圖形的探究及對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單推理、適度拓展實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題從特殊到一般化推進(jìn).對(duì)于幾何規(guī)律題，圖形識(shí)別、性質(zhì)把握是基礎(chǔ)，細(xì)化計(jì)算是重要途徑，合理猜想、歸納總結(jié)則是解決問(wèn)題的一般方法.

二、試題銜接，思路剖析

幾何規(guī)律探究題作為中考的常見(jiàn)題型往往呈現(xiàn)出多樣化，經(jīng)常將直角三角形、一次函數(shù)、直角坐標(biāo)系融合在一起進(jìn)行綜合考查，解答該類(lèi)題目不僅需要充足的知識(shí)儲(chǔ)備，還需要采用合理的解題思路.首先需要從文本入手，利用原始條件分析圖形，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)提取有效信息，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展的適度延伸、規(guī)律聯(lián)想才會(huì)相對(duì)可靠，輔以一定的數(shù)據(jù)驗(yàn)證則可保證答案的準(zhǔn)確性.

試題1：（2015年達(dá)州市中考卷第16題）在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，按圖3方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，點(diǎn)A1，A2，A3，…在直線y=x+1上，點(diǎn)C1，C2，C3，…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，求Sn的值（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）.

圖3

分析：本題目涉及函數(shù)的幾何規(guī)律題，首先可根據(jù)直線解析式y(tǒng)=x+1求出OA1=1，即第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，求得A2B1=A1B1=1，則第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，求得A3B2=A2B2=2，則第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為22，求得A4B3=A3B3=22，得出規(guī)律，根據(jù)三角形的面積公式即可求出Sn的值.

解：直線y=x+1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，所以O(shè)A1=1，OD=1，∠ODA1=∠A2A1B1=45°，則A2B1=A1B1=1，所以因，所以，所以同理可得，所以

試題2：如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，OA=1連接AB，過(guò)AB的中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別是A1、B1，連接A1B1，再過(guò)A1B1的中點(diǎn)C2作x軸和y軸的垂線，照此規(guī)律依次作下去，求點(diǎn)Cn的坐標(biāo).

圖4

分析：本題目為涉及坐標(biāo)系的幾何規(guī)律題，考查矩形、相似三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，首先需要從圖形條件以及文本條件中求出點(diǎn)C1，C2的坐標(biāo)，△AOB是直角三角形，根據(jù)已知條件可求得AB的長(zhǎng)，過(guò)AB的中點(diǎn)C1作出x軸和y軸的垂線，則C1A和C1B是△AOB的中位線，則可求得C1B1和C1A1的長(zhǎng)，進(jìn)一步延伸可求得C2B2和C2A2，則點(diǎn)C1和C2的坐標(biāo)可求，且存在關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而可猜想CnBn和CnAn，從而可確定點(diǎn)Cn的坐標(biāo).

解：△AOB為直角三角形，因OA=1則AB=2，C1A和C1B是△AOB的中位線，所以進(jìn)一步推知?jiǎng)t點(diǎn)Cn的坐標(biāo)由CnBn、CnAn的長(zhǎng)確定，根據(jù)規(guī)律可知?jiǎng)tCn的坐標(biāo)為

上述兩題均為涉及直角坐標(biāo)系的幾何規(guī)律題，求解時(shí)依托直角坐標(biāo)系來(lái)定位幾何元素，結(jié)合幾何性質(zhì)進(jìn)行特定分析，由此開(kāi)展的規(guī)律聯(lián)想更為精確.試題1利用一次函數(shù)，結(jié)合直角坐標(biāo)系求解正方形的邊長(zhǎng)，利用幾何知識(shí)求三角形的面積，探求規(guī)律，從中總結(jié)出Sn的值；試題2則是利用直角三角形及中位線定理來(lái)求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，并從圖形中總結(jié)出相關(guān)邊的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)求解.對(duì)基本圖形的充分把握是解題的基礎(chǔ)，合理利用幾何性質(zhì)，關(guān)注求解過(guò)程中的幾何關(guān)系可實(shí)現(xiàn)最終的規(guī)律推演.

三、解后反思，教學(xué)思考

1.回歸教材，扎實(shí)基礎(chǔ)

上述幾何規(guī)律題涉及了直角三角形、矩形、正方形、勾股定理、中位線定理等幾何知識(shí)，問(wèn)題的求解均是通過(guò)對(duì)基本幾何問(wèn)題的逐個(gè)解決來(lái)實(shí)現(xiàn)的，基礎(chǔ)知識(shí)的合理利用依然是解決綜合問(wèn)題的關(guān)鍵，尤其是對(duì)于中考知識(shí)點(diǎn)高度融合的新題型.因此在中考的備考階段需要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和核心內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)習(xí)題的通性、通法，克服題海戰(zhàn)術(shù)的功利性策略，回歸到最原始、最有效的教材學(xué)習(xí)中，通過(guò)對(duì)教材的典型和具有代表性的習(xí)題講解，幫助學(xué)生強(qiáng)化知識(shí)，利用對(duì)接課本的方式，讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生本質(zhì)上的理解.

2.注重關(guān)聯(lián)，信息提取

規(guī)律探究題是以基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的規(guī)律變化為主，數(shù)據(jù)的變化暗含在幾何中，幾何元素之間通常存在著一定的關(guān)聯(lián)性，例如點(diǎn)的坐標(biāo)、邊長(zhǎng)、角度之間的關(guān)系，充分挖掘幾何信息，把握幾何關(guān)聯(lián)性是解題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展的拓展推演才更為合理.在教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何圖形的關(guān)聯(lián)性，可以設(shè)置一定的障礙來(lái)鍛煉學(xué)生提取信息的能力，通過(guò)特定的情景來(lái)培養(yǎng)學(xué)生情景判斷、圖形分析的能力，讓學(xué)生逐步掌握規(guī)律探尋的方法.

3.多重思維，拓展創(chuàng)新

培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)、創(chuàng)新探究能力是規(guī)律探究題的命題出發(fā)點(diǎn)，解決規(guī)律探究題的過(guò)程實(shí)際上就是信息匯總、結(jié)論猜想的過(guò)程，需要學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，除去其中不相關(guān)的信息，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，大膽猜想，創(chuàng)新是其中不可或缺的思想品質(zhì).對(duì)于中學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)教學(xué)，需要從思維層面開(kāi)展，讓學(xué)生摒棄死記硬背、單純套公式的學(xué)習(xí)方式，可以設(shè)置合理的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新點(diǎn)，讓學(xué)生多角度思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，也可以采取探究的教學(xué)模式，用科學(xué)的方式指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，充分發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新潛能.

四、寫(xiě)在最后

幾何規(guī)律探究題是中考難度較高的題型，對(duì)于該類(lèi)題型需要充分理解文本信息和圖形信息，把握幾何元素的特殊關(guān)系，通過(guò)對(duì)特例的拓展分析來(lái)發(fā)現(xiàn)其中暗含的規(guī)律.在教學(xué)中而應(yīng)該回歸教材，注重基礎(chǔ)知識(shí)的講解，強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)；同時(shí)設(shè)置特定的情形來(lái)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何圖形的關(guān)聯(lián)性，讓學(xué)生逐步掌握規(guī)律探究的方法；培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和全面性，發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新潛能，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究的能力.

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