重視反思 用好資源 總結(jié)提升
——分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

☉江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué) 馬愛(ài)平

☉江蘇省興化市教育局教研室 陳德前

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，教材中沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)而展開(kāi)的.在初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中一定要重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)，因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想，更能使人受益終身.現(xiàn)以分類(lèi)討論思想為例，談?wù)剬?duì)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題復(fù)習(xí)的一些淺見(jiàn)，供研討.

一、分類(lèi)討論思想簡(jiǎn)析

分類(lèi)討論思想是在解題的過(guò)程中，將某一數(shù)學(xué)對(duì)象根據(jù)它的本質(zhì)屬性，按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)將它分成若干類(lèi)，然后逐類(lèi)進(jìn)行討論解決，再把這幾類(lèi)的結(jié)論匯總，得出問(wèn)題的完整答案的一種思想方法.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）指出：“分類(lèi)是一種重要的數(shù)學(xué)思想.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到分類(lèi)問(wèn)題，如數(shù)的分類(lèi)，圖形的分類(lèi)，代數(shù)式的分類(lèi)，函數(shù)的分類(lèi)等.在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常常需要通過(guò)分類(lèi)討論解決問(wèn)題，分類(lèi)的過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程.教學(xué)活動(dòng)中，要使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類(lèi)，如何分類(lèi)，如何確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，在分類(lèi)的過(guò)程中如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對(duì)象的不同性質(zhì).通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，使學(xué)生逐步感悟分類(lèi)是一種重要的思想.學(xué)會(huì)分類(lèi)，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題.”可見(jiàn)，掌握分類(lèi)討論思想的精髓，會(huì)用分類(lèi)討論的思想分析和解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是《課標(biāo)》中的基本要求.正因?yàn)槿绱?，分?lèi)討論思想已成為中考重點(diǎn)考查的思想方法，題型有選擇題、填空題和解答題，試題難度一般都較大.

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)由于被研究對(duì)象的屬性不同，導(dǎo)致問(wèn)題結(jié)果的不同，因而需對(duì)不同屬性的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)研究；或者由于在研究問(wèn)題過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)不同情況，因而需對(duì)不同情況進(jìn)行分類(lèi)研究.通過(guò)分類(lèi)討論，可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使我們能更清楚地看清問(wèn)題的本質(zhì)，同時(shí)分類(lèi)的范圍為解題增加了條件，從而使得問(wèn)題變得易于解決，起到了化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用.

用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的一般步驟是：（1）明確討論對(duì)象，弄清討論范圍；（2）選擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類(lèi)；（3）按類(lèi)尋找思路，逐類(lèi)解決問(wèn)題；（4）進(jìn)行總結(jié)歸納，作出完整結(jié)論.

應(yīng)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題，關(guān)鍵是要掌握正確分類(lèi)的兩個(gè)原則：（1）分類(lèi)的對(duì)象是確定的，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的；（2）分類(lèi)應(yīng)當(dāng)不重復(fù)，不遺漏.分類(lèi)應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類(lèi)不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類(lèi)根據(jù).

二、分類(lèi)討論專(zhuān)題典例解讀

1.由字母取值不確定引起的分類(lèi)討論

例1（2017年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題）已知關(guān)于x的不等式

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求該不等式的解集；

（2）m取何值時(shí)，該不等式有解，并求出解集.

解讀：本題是含字母系數(shù)的不等式問(wèn)題，是中考中考查分類(lèi)討論思想時(shí)常設(shè)計(jì)的題型.當(dāng)m＝1時(shí)為常系數(shù)一元一次不等式，其解法與解一元一次方程類(lèi)似，但在去分母和化系數(shù)為1時(shí)，要注意不等號(hào)的方向是否改變；當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，要求使該不等式有解時(shí)m的值（或范圍），并求出解集，屬解含字母系數(shù)的不等式問(wèn)題，由于m+1的取值情況未知，所以要分類(lèi)討論求解.先確定不等式有解的條件，再在有解的條件下，分類(lèi)求出解集.必須注意：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，不等式為0x＜0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x均不成立，故此時(shí)不等式無(wú)解；（2）將不等式化為（m+1）x＜2（m+1）后，不能直接兩邊同除以（m+1）得到x＜2.

解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，不等式為，去分母得2-x＞x-2，解得x＜2.

（2）去分母得2m-mx＞x-2，移項(xiàng)合并得（m+1）x＜2（m+1）.當(dāng)m≠-1時(shí)，不等式有解.當(dāng)m＞-1時(shí)，不等式解集為x＜2；當(dāng)x＜-1時(shí)，不等式的解集為x＞2.

2.由絕對(duì)值的定義引起的分類(lèi)討論

例2（2015年江蘇省泰州市中考?jí)狠S題改編）如圖1，已知一次函數(shù)y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該函數(shù)的圖像上，點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.當(dāng)d1+d2=3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

解讀：這是一道一次函數(shù)綜合題，解法較多，能考查眾多的數(shù)學(xué)核心知識(shí).由于點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-4的圖像上，因此可以設(shè)P（x，2x-4），由P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，可將距離d1和d2分別轉(zhuǎn)化為含字母x的絕對(duì)值，得d1+d2=|x|+|2x-4|，再利用d1+d2=3即可得到含絕對(duì)值符號(hào)的方程|x|+|2x-4|=3，然后根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)，按x的不同范圍進(jìn)行分類(lèi)討論求解.本題中出現(xiàn)了兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，分段去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵.可采用“零點(diǎn)分區(qū)間法”來(lái)思考：由x＝0和2x-4＝0，得x＝0和x＝2，則分為x＜0，0≤x≤2，x＞2這三段來(lái)分類(lèi)求出x的值，即可確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)，但要注意檢驗(yàn)取舍.

解：設(shè)P（x，2x-4），所以d1+d2=|x|+|2x-4|.因?yàn)閐1+d2=3，所以|x|+|2x-4|=3.當(dāng)x＞2時(shí)，有x+2x-4=3，解得x=，此時(shí)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，有x+4-2x=3，解得x=1，此時(shí)P（21，2）；當(dāng)x＜0時(shí)，有-x+4-2x=3，解得x=與x＜0矛盾，應(yīng)舍去.綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或

3.由對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定引起的分類(lèi)討論

例3（2017年江蘇省南通市中考題）我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)三角形內(nèi)心的一條直線(xiàn)與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形，若有一個(gè)圖形與原三角形相似，則把這條線(xiàn)段叫這個(gè)三角形的“內(nèi)似線(xiàn)”.

（1）等邊三角形的“內(nèi)似線(xiàn)”的條數(shù)為_(kāi)_________；

（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在A(yíng)C上，且BD=BC=AD.求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”；

圖2

圖3

（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”，求EF的長(zhǎng).

解讀：這是一道閱讀理解題，理解三角形的“內(nèi)似線(xiàn)”的概念是解題的關(guān)鍵.（1）過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)說(shuō)明相似三角形即可得出答案；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠BDC，證△BCD∽△ABC即可；（3） 由于∠C=90°，則△CEF與△CAB相似，分兩種情況：①△CEF∽△CAB；②△CFE∽△CAB.因此，需分兩種情況求出EF的長(zhǎng).

解：（1）等邊三角形“內(nèi)似線(xiàn)”的條數(shù)為3.理由：過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線(xiàn)，如圖4所示，則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，所以MN、EF、GH是等邊三角形ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”.

圖4

（2）因?yàn)锳B=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，所以∠A=∠ABD=∠DBC=36°，所以BD平分∠ABC，即BD過(guò)△ABC的內(nèi)心.因?yàn)椤螩=∠C，∠DBC=∠A，所以△BCD∽△ABC，所以BD是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”.

（3）如圖5，設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)I分別作三邊的垂線(xiàn)，垂足分別為P，M，N，則IP=IM=IN.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，由三角形面積公式得3+4+5）·IP=所以IP=IM=IN=1.①當(dāng)△CEF∽△CAB時(shí)，如圖5，∠CEF=∠CAB，∠EMI=∠ACB=90°，所以△MEI∽△CAB，所以所以同理可得所以②當(dāng)△CFE∽△CAB時(shí)，如圖6，同上可得△MEI∽△CBA，△NFI∽△CAB，所以綜上可知

圖5

圖6

4.由圖形位置不確定引起的分類(lèi)討論

例4（2015年江蘇省南京市中考題）如圖7，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫(huà)出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫(huà)出示意圖，并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）

解讀：這是一道與等腰三角形和正方形相關(guān)的畫(huà)圖問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是合理分類(lèi)，而分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)較多，主要有：可按三角形除頂點(diǎn)A以外的兩個(gè)頂點(diǎn)所在的四邊形ABCD邊上的情況進(jìn)行分類(lèi)，也可按腰和底的長(zhǎng)分別是3來(lái)探究.具體解題時(shí)，常常將這兩種分類(lèi)結(jié)合在一起，構(gòu)成二級(jí)分類(lèi).在確定答案時(shí)，要注意排除大小相同的等腰三角形.

圖7

解：（1）等腰三角形的另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)B和AD上，有兩種情況：一是腰為3，如圖8①，其確定方法是：以A為圓心，3為半徑作弧，分別交AD、AB上的兩點(diǎn)，連接即可；二是底為3，如圖8②，其確定方法是：連接AC，以A為端點(diǎn)，在A(yíng)C上截取1.5個(gè)單位，得到一個(gè)點(diǎn)，再過(guò)這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)，交AD、AB上的兩點(diǎn)，連接即可.

（2）等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在A(yíng)B上，有兩種情況：一是第三個(gè)頂點(diǎn)在BC上，如圖8③，其確定方法是：以A為端點(diǎn)在A(yíng)B上截取3個(gè)單位，以截取的點(diǎn)為圓心，以3個(gè)單位為半徑畫(huà)弧，交BC于一點(diǎn)，連接即可；二是第三個(gè)頂點(diǎn)在CD上，如圖8④，其確定方法是：以A為端點(diǎn)在A(yíng)B上截取3個(gè)單位，再作這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交CD于一點(diǎn)，連接即可.

（3）等腰三角形的另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在BC和CD上，如圖8⑤，其確定方法是：連接AC，在A(yíng)C上，以C為端點(diǎn)，截取1.5個(gè)單位，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)，交BC、DC上的兩點(diǎn)，然后連接A與這兩個(gè)點(diǎn)即可.

（2）對(duì)自身專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)學(xué)習(xí)參與度的認(rèn)知。有40人（2.1%）認(rèn)為自身專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)水平很好，132人（7.0%）認(rèn)為自身專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)水平好，988人（52.1%）認(rèn)為自身專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)水平一般，547人（28.8%）認(rèn)為自身專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)水平差，190人（10.0%）認(rèn)為自身專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)水平很差。自我評(píng)價(jià)程度隨著年級(jí)越高而遞增，且年級(jí)間差異有顯著性（P=0.003），不同性別學(xué)生間差異有顯著性（P=2.096×10-4），學(xué)生干部的自我評(píng)價(jià)明顯高于非學(xué)生干部學(xué)生（P=1.482×10-4）。此外，專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)題1正確率32.6%，專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)題2正確率14.9%，反映了學(xué)生的自我評(píng)價(jià)具有一定客觀(guān)性。

另解：也可以先按照腰和底的長(zhǎng)分別是3來(lái)分類(lèi)，再按照腰或底在正方形邊上的情況分類(lèi)：

（1）3為腰，有三種情況：一是兩腰在正方形邊上，如圖8①；二是一腰在正方形邊上，如圖8③；三是腰不在正方形邊上，這種情況不存在.

（2）3為底，有兩種情況，一是底在正方形邊上，如圖8④；二是底不在正方形邊上，如圖8②和8⑤.

圖8

5.由操作過(guò)程的不確定引起的分類(lèi)討論

例5（2015年浙江省義烏、紹興市中考題）實(shí)驗(yàn)室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個(gè)圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2∶1，用兩個(gè)相同的管子在容器的5cm高度處連通（即管子底端離容器底5cm），現(xiàn)三個(gè)容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如圖9所示.若每分鐘同時(shí)向乙和丙注入相同量的水，開(kāi)始注水1分鐘，乙的水位上升cm，則開(kāi)始注水______分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm.

圖9

解讀：這是一道實(shí)驗(yàn)操作類(lèi)的填空壓軸題，由甲、乙、丙三個(gè)圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2∶1，注水1分鐘，乙的水位上升cm，得到注水1分鐘，丙的水位上升cm.設(shè)開(kāi)始注水t分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，而甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況：①當(dāng)乙的水位低于甲的水位時(shí)；②當(dāng)甲的水位低于乙的水位，且甲的水位不變時(shí)；③當(dāng)甲的水位低于乙的水位，乙的水流向甲管，甲的水位開(kāi)始上升時(shí).因此，應(yīng)分三種情況分別列方程求解.

解：因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)圓柱形容器（容器足夠高）的底面半徑之比為1∶2∶1，注水1分鐘，乙的水位上升cm，所以注水1分鐘，丙的水位上升cm.設(shè)開(kāi)始注水t分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況：①當(dāng)乙的水位低于甲的水位時(shí)，有1-t=0.5，解得t=分鐘）.②當(dāng)甲的水位低于乙的水位，且甲的水位不變時(shí)，因?yàn)閠-1=0.5，解得t=因?yàn)?6＞5，所以此時(shí)丙容器已向乙容器溢水.因?yàn)?÷（分鐘），即經(jīng)過(guò)分鐘丙容器的水到達(dá)管子底部，乙的水位上升故1=0.5，解得.③當(dāng)甲的水位低于乙的水位，且乙的水流向甲管，甲的水位開(kāi)始上升時(shí)，因?yàn)橐业乃坏竭_(dá)管子底部的時(shí)間為分鐘），所以5-解得綜上所述，開(kāi)始注水分鐘或分鐘或分鐘后，甲與乙的水位高度之差是0.5cm.

6.由動(dòng)態(tài)問(wèn)題引起的分類(lèi)討論

例6（2017年新疆烏魯木齊市中考題）如圖10，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0） 與直線(xiàn)y=x+1相交于A(yíng)（-1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（5，0）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（2）P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E.

①當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解讀：這是一道動(dòng)態(tài)型綜合壓軸題，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法，動(dòng)靜結(jié)合地進(jìn)行探究.（1）由直線(xiàn)解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式.（2）①設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長(zhǎng)，設(shè)P（x，-x2+4x+5），則可表示出E、D的坐標(biāo)E（x，x+1），D（x，0）.由于P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的位置分三種情況：一是P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上AB之間；二是P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上A點(diǎn)的左側(cè)；三是P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上B點(diǎn)的右側(cè)，用字母x表示PE和ED，再利用PE=2ED構(gòu)造出關(guān)于x的方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).②由E、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出BE、CE和BC的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造出關(guān)于x的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B（4，m）在直線(xiàn)y=x+1上，所以m=4+1=5，所以B（4，5）.把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得解得所以?huà)佄锞€(xiàn)解析式為y=-x2+4x+5.

圖10

（2）①設(shè)P（x，-x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0）.

ⅰ當(dāng)P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上AB之間時(shí)，PE=-x2+4x+5-x-1=-x2+3x+4，DE=x+1.因?yàn)镻E=2ED，即-x2+3x+4=2（x+1），解得x1=2，x2=-1，所以點(diǎn)E（2，3）或E（-1，0），E（-1，0）與點(diǎn)A重合舍去，此時(shí)P（2，9）.

ⅱ當(dāng)P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，PE=x+1+x2-4x-5=x2-3x-4，ED=-x-1.因?yàn)镻E=2ED，即x2-3x-4=2（-x-1），解同上.

ⅲ當(dāng)P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，PE=x+1+x2-4x-5=x2-3x-4，ED=x+1.因?yàn)镻E=2ED，即x2-3x-4=2（x+1），解得x1=6，x2=-1，所以點(diǎn)E（6，7）或E（-1，0），E（-1，0）與點(diǎn)A重合舍去，此時(shí)P（6，-7）.

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，-7）.

②設(shè)P（x，-x2+4x+5），則E（x，x+1），B（4，5），C（5，0），所 以當(dāng)△BEC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：

綜上所述，存在點(diǎn)P使△BEC為等腰三角形，坐標(biāo)為

三、分類(lèi)討論專(zhuān)題復(fù)習(xí)建議

1.重視反思，總結(jié)方法

在教學(xué)中，要重視幫助學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，總結(jié)出常見(jiàn)問(wèn)題的分類(lèi)方法：（1）對(duì)于解含字母系數(shù)的不等式問(wèn)題，先要按照不等式有解和無(wú)解的條件來(lái)分類(lèi)，在有解的前提下求解時(shí)，再按照未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)性來(lái)分類(lèi)的；（2）對(duì)于含有絕對(duì)值的問(wèn)題，一般都需去掉絕對(duì)值符號(hào)，這就要根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論，可采用“零點(diǎn)分區(qū)間法”來(lái)確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)；（3）對(duì)于全等三角形、相似三角形問(wèn)題，可以按照頂點(diǎn)的不同對(duì)應(yīng)順序來(lái)分類(lèi)；（4）對(duì)于等腰三角形問(wèn)題，既可以按照頂角與底角來(lái)分類(lèi)，也可以按照腰和底來(lái)分類(lèi)；（5）對(duì)于實(shí)驗(yàn)操作類(lèi)問(wèn)題，可以按照操作中出現(xiàn)的不同情況進(jìn)行分類(lèi)；（6）對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題，要根據(jù)圖形可能出現(xiàn)的不同位置來(lái)分類(lèi).恰當(dāng)?shù)胤诸?lèi)，可以避免以偏概全，丟值偏解.

2.暴露過(guò)程，用好資源

學(xué)生在解決分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí)常犯的錯(cuò)誤主要有：（1）分類(lèi)不正確，不能不重復(fù)又不遺漏地進(jìn)行分類(lèi)（如例4中的分類(lèi)出現(xiàn)混亂）；（2）忽視對(duì)分類(lèi)后得到的解的檢驗(yàn) （如例2中沒(méi)有把舍去 ），結(jié)果造成多解或漏解；（3）對(duì)分類(lèi)后得到的相同結(jié)果持懷疑態(tài)度（如例3中分類(lèi)后求出的EF的值相同）；（4）忘記將結(jié)論匯總，致使最后的答案表述不清楚.針對(duì)這些問(wèn)題，教學(xué)時(shí)可先讓學(xué)生在自己審題的基礎(chǔ)上，獨(dú)立思考，寫(xiě)出自己的思考過(guò)程，然后合作交流，通過(guò)小組匯報(bào)、答案展示、學(xué)生講題等形式來(lái)充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，教師在幫助學(xué)生總結(jié)歸納不同類(lèi)型問(wèn)題的特點(diǎn)、分類(lèi)的基本策略和注意點(diǎn)的基礎(chǔ)上，抓住學(xué)生（特別是中下等生）的思維盲區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型錯(cuò)誤加以剖析，用好課堂生成性資源，努力做到變錯(cuò)為寶.

3.精講點(diǎn)撥，總結(jié)提升

例4、例5、例6是三道難度很大的問(wèn)題，在教學(xué)時(shí)可抓住這三個(gè)典型例題，通過(guò)師生共同剖析（主要是學(xué)生講，教師點(diǎn)撥），由學(xué)生獨(dú)立完成例題的求解，再分組交流體驗(yàn)和收獲，然后全班共同總結(jié)，從思想方法的高度加以提升.例4在學(xué)生審題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考、討論有哪些分類(lèi)的方法，然后師生一起歸納出不同的分類(lèi)方法，再讓學(xué)生有條不紊地畫(huà)出所有滿(mǎn)足要求的圖形，最后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)得到的圖形進(jìn)行甄別，剔除形式不同而實(shí)質(zhì)相同的圖形；例5中由于有三個(gè)連通器，情況比較復(fù)雜，可在學(xué)生認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考、討論，弄清甲與乙的水位高度之差是0.5cm有三種情況，進(jìn)而得出分類(lèi)的方法，再讓學(xué)生去求解；例6在學(xué)生思考、討論的基礎(chǔ)上，要重點(diǎn)對(duì)第（2）（3）兩題進(jìn)行精講點(diǎn)撥，讓學(xué)生弄清如何對(duì)點(diǎn)P的位置和△BEC是等腰三角形進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)等腰三角形的三種情況畫(huà)出分類(lèi)后每一類(lèi)中的靜態(tài)圖形，也可以通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行演示，讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)的合理性，并用多媒體展示完整的解答，以規(guī)范學(xué)生的表達(dá)過(guò)程.在課堂小結(jié)中，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)常用的分類(lèi)求解策略和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉，使之形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用以指導(dǎo)今后的解題活動(dòng).H