正方形邊上三等分點的一種新折法及其拓展探究

上海師范大學(xué)(200234)沈越

1 前言

在折紙數(shù)理學(xué)中,芳賀的三個定理展示了三種在正方形的邊上折三等分點的方法.筆者通過觀察發(fā)現(xiàn),這三種折法的共同之處在于都利用了正方形上邊的中點.于是筆者思考,能否利用正方形的中心來進行折疊,得到正方形邊上的三等分點呢?經(jīng)過探究,筆者發(fā)現(xiàn)了一種新的折法,可以用來折出正方形邊上的三等分點.此外,筆者還將這種折法運用于一般長方形,并將這種折法稍加變形后再運用于正方形,得出了一些有意義的結(jié)論.特別地,筆者給出了在正方形邊上折n等分點的一種方法.

2 一種新的折正方形邊上三等分點的折法

操作1 在正方形ABCD中,將CD與AB重合對折,折痕為EF;再將AB、CD分別與EF重合對折,折痕分別為GH、MN,如圖1所示;

圖1

圖2

操作2 以MH為折痕,將梯形CDMH向上翻折,CH翻折后的對應(yīng)邊C′H與AB交于點K,如圖2所示,則K點是邊AB上的三等分點.

為了敘述方便,下文統(tǒng)一將這種新折法稱為該折法.現(xiàn)對該折法折出的點K是AB邊上三等分點進行證明,證明如下:

易知MH過正方形中心O.令A(yù)B邊中點為P,連接OP、OK、OF,并作OS⊥KH交KH于點S(如圖3所示).令大正方形ABCD邊長為2a,則小正方形OPBF邊長為a,BH=HF=設(shè)BK=x,則PK=a?x.此外,由于∠OHS=∠OHF,∠OSH=∠OFH=90°,OH=OH,故△OSH～=△OFH(a.a.s.),OS=OF=a.又由于OS=OP=a,OK=OK,∠OSK=∠OPK=90°,故△OSK～=△OPK(h.l.),SK=PK=a?x.在Rt△KBH中運用勾股定理,有

圖3

3 該折法在一般長方形中的拓展探究

設(shè)長方形ABCD的邊AB=2a,AD=2ka.對長方形ABCD運用該折法進行折疊,得到CH的對應(yīng)邊C′H與AB的交點K.為了探求K在AB上的位置,同樣,我們將長方形ABCD的中心O分別與AB邊上中點P、BC邊上中點F進行連接,得到了小長方形OPBF,其中BP=a,OP=ka(如圖4所示).由于在小長方形OPBF中,該折法的折疊過程與芳賀第二定理的折疊過程一致,故直接運用文[1]中“芳賀第二定理在一般長方形中的拓展探究”的結(jié)論,當(dāng)k＜2時有

圖4

圖5

4 對該折法在正方形中變形的拓展探究

通過觀察筆者發(fā)現(xiàn),該折法的折痕不僅通過正方形的中心O,而且與正方形的邊AD、BC的交點也是特殊點(M、H分別是AD、BC邊上的四等分點),于是筆者設(shè)想,如果只保留折痕過正方形中心O點的性質(zhì),而不要求其過AD、BC邊上的四等分點,C′H與AB的交點K在AB上的位置是否有某些更一般的結(jié)論?為此,筆者在正方形中進行了如下操作:

操作3 在正方形ABCD中,將CD與AB重合對折,折痕為EF;將AD與BC重合對折,折痕為PQ.記PQ與EF的交點為O,則O是正方形ABCD的中心,如圖6所示.

操作4 在BF上任取一點H,連接HO并延長使之與AD交于點M.以MH為折痕,將梯形CDMH向上翻折,CH的對應(yīng)線段C′H與AB交于點K,如圖7所示.

圖6

圖7

圖8

易有折痕MH過正方形中心O點.為了探求K在AB上的位置,我們連接OP、OK、OF,并作OS⊥KH交KH于點S(如圖8所示).令大正方形ABCD邊長為2a,則小正方形OPBF邊長為a.設(shè)HF=ta,BK=x,則BH=a?ta,PK=a?x.此外,由于∠OHS=∠OHF,∠OSH=∠OFH=90°,OH=OH,故△OSH～=△OFH(a.a.s.),HS=HF=ta,OS=OF=a.又由于OS=OP=a,OK=OK,∠OSK=∠OPK=90°,故△OSK～=△OPK(h.l.),SK=PK=a?x.在Rt△KBH中運用勾股定理,有

作為結(jié)論,我們有:當(dāng)該折法的折痕繞正方形中心O點旋轉(zhuǎn)時,K點分AB邊的比值同折痕MH與正方形邊AD、BC的交點M、H的位置有關(guān),且等于特別地,當(dāng)H取BF的中點時,有故可知該折法能折出AB邊上的三等分點K.此外,若要折AB邊上的四等分點、五等分點、六等分點K等等,只需相應(yīng)地先找到BF邊上靠近F那一側(cè)的三等分點、四等分點、五等分點H等等,然后連接HO并延長使之交AD于M,再以MH為折痕將梯形CDMH向上翻折即得.從理論上來看,通過折紙找AB邊上的n等分點可以在有限步內(nèi)完成:先利用中點尋找三等分點,再利用三等分點尋找四等分點等等,直到利用(n?1)等分點尋找n等分點.

5 結(jié)語

本文給出了在正方形邊上折三等分點的一種新折法,并通過將該折法運用于一般長方形以及稍加變形后運用于正方形中的拓展探究,得到了一些有意義的結(jié)論,特別是在最后筆者給出了在有限步內(nèi),通過層層遞進的方式折正方形邊上n等分點的方式,值得讀者做進一步的深思與研究.

此外,若將本文中的折紙方法用于幾何教學(xué)(特別是全等三角形、勾股定理的教學(xué)),設(shè)計一些以小組合作為方式的探究活動,可極大地提升學(xué)生遷移與運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識的能力,增加他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.相信老師與學(xué)生們在合作探究的過程中,會發(fā)現(xiàn)更多新奇有趣的結(jié)果,感受到折紙的魅力!

[1]沈越.芳賀第一與第二定理在一般長方形中的拓展探究.[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2016.(06):19-21