指數函數與冪函數迷思概念的分析與轉變

四川師范大學數學與軟件科學學院(610011)甘良燕 邵利

一、研究背景

迷思概念的研究一直是西方教育學界關心的熱點問題之一.研究的領域涉及物理、化學、科學、生物、數學等學科.臺灣地區(qū)較早開始對迷思概念的研究,研究成果頗豐,對日常課堂的教學起到指導作用,而我國大陸地區(qū)在相關問題上的研究才剛剛起步,研究內容主要集中在化學、生物、物理等學科,有關數學學科上的迷思概念研究甚少.在CNKI上以“迷思概念”為主題從2000年到2017年進行檢索一共檢索到273條結果,以“迷思概念”并含“數學”為主題檢索到17條結果,可見對迷思概念的研究較少,尤其是數學學科迷思概念的研究還很少.

冪函數與指數函數是兩類重要的基本初等函數,也是高中數學課程中基礎內容之一和刻畫現實世界的幾類重要模型之一.另外冪函數指數函數的學習有助于加深學生對函數概念的理解和應用.但是由于“迷思概念”的發(fā)生機制異常復雜,可歸于日常生活的影響,事物表面或明顯特征的影響,知識與文化背景的影響,同伴文化的影響,教學的誤導,大眾傳媒的誤導等.并且冪函數與指數函數的定義很相似,是形似質異的兩類函數.對冪函數來說,底數是自變量,指數是常數,對指數函數來說,指數是自變量,底數是常數.兩類函數不僅結構很相似,并且冪函數與指數函數的種類較多,各具特色,所以兩者的概念和性質容易混淆.歸為明顯特征導致的迷思概念,又由于兩類函數的性質比較復雜,在教學過程中由于教學的誤導進一步導致迷思概念的產生.

迷思概念的產生不僅會讓學生不能正確理解知識,而且還會阻礙學生對新知識的探究,影響后繼的學習.為了幫助學生轉變冪函數和指數函數的迷思概念,利用類比的方法從抽象到具體,利用函數的幾何直觀性,分析歸納冪函數與指數函數,轉變學習中產生的迷思概念,從而高效學習.

二、指數函數與冪函數迷思概念的探查

指數函數的定義是“一般地,形如的函數叫做指數函數”也就是說指數為自變量,底數為大于0且不等于1的常量的函數稱為指數函數.冪函數的定義是“一般地,形如的函數叫做冪函數”即以底數為自變量,冪為因變量,指數為常數的函數稱為冪函數.兩類函數的定義都是形式定義,并且很相似.但兩類函數的的概念實質和函數性質不同,是形似質異的兩類函數.兩類函數在定義域,值域,定點,單調性,和奇偶性等函數的基本性質上也是很容易混淆的.

通過以上的分析,明確了學習指數函數和冪函數時客觀存在迷思概念,然而從整體來看,辨識兩類函數是有規(guī)律可循的.為了適應新的知識需要采取同化或者順應的方式,已達到知識結構的平衡所謂同化,是指學習者憑借既有知識,采取類推的方式將新知識納入原有認知圖示.類比教學是一種科學的教學方法,利用類比的科學思維特點,可以簡化學生對科學概念的理解.冪函數的學習在指數函數之后,所以可以類比指數函數對冪函數的學習進行同化.這屬于是建立在學生已有觀念基礎上的策略.另一種有效的方法是使用多媒體教育技術創(chuàng)建學習環(huán)境轉變概念,利用幾何畫板作出冪函數和指數函數的圖像讓學生自主觀察圖像特征.觀察后把學生分成小組進行討論并展示討論的結果.這個過程讓學生直觀的進行探索,觀察發(fā)現,交流符合學生的認知規(guī)律和思維習慣.

三、指數函數、冪函數迷思概念的轉變

在指數函數與冪函數的學習中,加深對它們的理解才不會把它們混為一談,常通過圖像來對比性質,進行總結.下面通過圖像來對性質進行總結,在同一坐標中畫出冪函數的圖像(見圖1),同時在另一個坐標系中畫出指數函數的圖像.(見圖2)

圖1

圖2

所有的冪函數在x∈(0,+∞)都是有意義的,所以取x∈(0,+∞)來觀察冪函數當時的函數圖像.從定義域,值域,最值,定點,單調性,奇偶性與圖像分布等進行分析,總結性質.冪函數有下面七條性質.

(1)冪函數恒過定點(1,1),既是當x=1時,函數值y=1,與a的取值無關.

(2)當a＞0,冪函數在(0,+∞)上為增函數,當a＜0時,冪函數在(0,+∞)上為減函數.

(3)當a＜0時,有當x趨于+∞時,y趨于0,既是冪函數圖像向右趨近于x軸,當y趨于+∞時,x趨于0,既是冪函數的圖像向上趨近于y軸.

(4)當x∈(0,1)時,隨著a的值增大,冪函數的值越小,當x＞1時,隨著a的值增大,冪函數的值越大.

(5)冪函數在x∈(0,+∞)沒有最值.

(6)冪函數的圖像不可能出現在第四象限.

(7)冪函數的奇偶性辨識,冪函數的奇偶性是在圖像有雙支的情況下討論.其中,當分子p是奇數時則冪函數是奇函數,當分子p是偶數時冪函數是偶函數.

由圖像把冪函數統(tǒng)一在第一象限來分析單調性,在第一象限由指數的正負決定單調性,指正函數單增,指負函數單減.函數在坐標軸里的定點有區(qū)別,指正函數過兩定點(0,0)和(1,1),指負函數過一個定點(1,1)且無限的逼近x軸和y軸但與兩坐標軸不相交.冪函數的圖像有單支與雙支的區(qū)別,冪函數(p,q是互質的正整數,q＞1),當q為偶數時,由偶次根式下被開方數大于0可知圖像是單支的在第一象限;當q為奇數時,圖像有雙支,具體在哪個象限由分子p的奇偶性決定,p為偶數在一,二象限,p為奇數在一,三象限.冪函數指數分子的奇偶性決定函數的奇偶性,分子是奇數冪函數為奇函數,分子為偶數冪函數為偶函數.

對于指數函數,觀察的圖像.當a＞1或0＜a＜1時,函數的圖像位于一、二象限,同樣的從定義域,值域,定點,最值,單調性,奇偶性和圖像分布來分析指數函數的性質,進行總結.

(1)指數函數的定義域是R,值域是(0,+∞).

(2)圖像恒過定點(0,1).

(3)當a＞1時,在R上是增函數,當0＜a＜1時,在R上為減函數.

(4)指數函數的圖像不可能出現在第三、四象限.

(5)指數函數沒有最值,沒有奇偶性.

關于定點可以利用圖像直觀的看出指數函數與冪函數的區(qū)別.冪函數的圖像當a＞0時過定點(0,0)和(1,1),當a＜0時過定點(1,1).而指數函數的圖像過定點(0,1).指數函數恒過一點,而冪函數需要對指數分情況來討論確定圖像過的定點.兩函數的單調性都是以常數進行判斷的,指數函數是以底數與1的大小進行判斷.大于1單增,小于1(大于0)單減,冪函數大于0單增,小于0單減.冪函數中函數的奇偶性與指數的奇偶性有關,而指數函數無奇偶性.冪函數的圖像不可能出現在第四象限,指數函數的圖像不可能出現在第三、四象限.

四、小結與啟示

指數函數與冪函數雖然有很多相似的地方,但是仔細分析發(fā)現無論是形式還是性質,兩類函數都有很大的區(qū)別.通過指數函數與冪函數迷思概念的分析,尋找迷思概念的轉變方法.一方面是基于學生原有的認知通過類比的教學模式來達到,另一方面是選擇合適的教學媒體例如幾何畫版等,把抽象的概念具體化,使學生正確表征函數.

改變教學模式,減少迷思概念的形成.對于同樣的教學內容考慮學生的認知,設計不同于傳統(tǒng)的教學方法是有效的方法之一.合理選擇教學媒體,把抽象的概念內容直觀化幫助學生形成科學的概念.