中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用性問(wèn)題與解題技巧的研究

安徽省合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(230601)阮征

一、引言

中考數(shù)學(xué)試題是命題人員集體智慧的結(jié)晶,也是廣大數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)研究的重要素材.如何深入領(lǐng)悟中考數(shù)學(xué)試題的突出特色和教學(xué)價(jià)值也一直是我們關(guān)注的重點(diǎn).而中考數(shù)學(xué)試題應(yīng)以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù),以學(xué)生發(fā)展為本,全面考查學(xué)生對(duì)“雙基”的掌握、數(shù)學(xué)思考水平、解決問(wèn)題的能力;試題素材的背景要密切聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際生活,貼近學(xué)生的認(rèn)知水平;更要注重學(xué)生動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新探究能力.近年來(lái),各地中考命題出現(xiàn)了信息類(lèi)、環(huán)保類(lèi)、建模類(lèi)、學(xué)科綜合類(lèi)等眾多新型應(yīng)用題,在近幾年安徽省中考數(shù)學(xué)試題中,我們可以發(fā)現(xiàn)中考數(shù)學(xué)命題改革的趨勢(shì)中應(yīng)用性問(wèn)題已成為中考數(shù)學(xué)的必考題和經(jīng)典題型,出應(yīng)用性題目的宗旨是引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),在解題過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系以及感受生活中的數(shù)學(xué)美.

波利亞強(qiáng)調(diào)指出:“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.”有很多初中生總是為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)煩惱,參加中考時(shí),他們的數(shù)學(xué)總是很難考到自己理想的分?jǐn)?shù),這其中很大的原因就在于他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、解題技巧欠缺,只記得那些死板僵化的方法,而不會(huì)靈活運(yùn)用,對(duì)應(yīng)用性題目表現(xiàn)出束手無(wú)策.所以研究中考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用性問(wèn)題及其解題技巧具有非常重大的意義.

二、剖析中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題

剖析安徽省近幾年的中考數(shù)學(xué)真題,可以將考查的應(yīng)用性問(wèn)題簡(jiǎn)要概括為方程與方程組、不等式與不等式組、函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、幾何五大類(lèi),而初中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域恰好涵蓋在這五大類(lèi)應(yīng)用性問(wèn)題中,并且與我們的日常生活息息相關(guān),所以關(guān)注熱點(diǎn)問(wèn)題、把握中考動(dòng)向,讓學(xué)生把握好應(yīng)用性問(wèn)題的解題方法和技巧,使學(xué)生在這類(lèi)題目上不失分、少失分是每個(gè)數(shù)學(xué)教師的當(dāng)務(wù)之急.

(一)中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題?？嫉臒狳c(diǎn)聚焦

1.基本關(guān)系(復(fù)利問(wèn)題)

基數(shù)×(1+平均增長(zhǎng)率)n=n次增長(zhǎng)后的到達(dá)數(shù);

基數(shù)×(1?平均增長(zhǎng)率)n=n次增長(zhǎng)后的到達(dá)數(shù);

2.其他公式

本金×利率×所定期數(shù)=利息(單利問(wèn)題);

本金+利息=本息;

毛收入=賣(mài)出價(jià)?購(gòu)進(jìn)價(jià);

增長(zhǎng)率=增加數(shù)量/原本數(shù)量×100%;

降低率=減少數(shù)量/原本數(shù)量×100%.

(二)中考應(yīng)用性問(wèn)題的?？寄Ｐ?/h3>

1.方程模型

2.不等式模型

3.函數(shù)模型

4.統(tǒng)計(jì)模型

5.幾何模型

(三)中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的解題思路

中考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用性問(wèn)題的解題思路可以概括為閱讀、理解材料給出的信息、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題、利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題、最后再運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題等步驟,這是解決應(yīng)用性問(wèn)題最常用的建模思想,當(dāng)然,不同的應(yīng)用性問(wèn)題運(yùn)用到的解題方法和思路也是不同的.

三、試題再現(xiàn)

(2006年安徽省第18題)汪老師要裝修自己帶閣樓的新居(下圖1為新居剖面圖),在建造客廳到閣樓的樓梯AC時(shí),為避免上樓時(shí)墻角F碰頭,設(shè)計(jì)墻角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m.他量得客廳高AB=2.8m,樓梯洞口寬AF=2m,閣樓陽(yáng)臺(tái)寬EF=3m.請(qǐng)你幫助汪老師解決下列問(wèn)題:

圖1

(1)要使墻角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m,樓梯底端C到墻角D的距離CD是多少米?

(2)在(1)的條件下,為保證上樓時(shí)的舒適感,樓梯的每個(gè)臺(tái)階小于20cm,每個(gè)臺(tái)階寬要大于20cm,問(wèn)汪老師應(yīng)該將樓梯建兒個(gè)臺(tái)階?為什么?

解(1)根據(jù)題意有AF//BC,所以∠ACB=∠GAF,又∠ABC=∠AFG=90°,所以△ABC～△GFA所以得BC=3.2(m),CD=(2+3)?3.2=1.8(m).

(2)設(shè)樓梯應(yīng)建n個(gè)臺(tái)階,則解得14＜n＜16.所以樓梯應(yīng)建15個(gè)臺(tái)階.

(2007年安徽省第23題)

按下圖2所示的流程,輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x,根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y,這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù).要使任意一組都在20?100(含20和100)之間的數(shù)據(jù),變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿(mǎn)足下列兩個(gè)要求:

(I)新數(shù)據(jù)都在60?100(含60和100)之間;

(II)新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致,即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大.

圖2

(1)若y與x的關(guān)系式是y=x+p(100?x),請(qǐng)說(shuō)明:當(dāng)時(shí),這種變換滿(mǎn)足上述兩個(gè)要求;

(2)若按關(guān)系式y(tǒng)=(x?h)2+k(a＞0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足上述要求的這種關(guān)系式.(不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說(shuō)明,但要寫(xiě)出關(guān)系式得出的主要過(guò)程)

(2)本題是開(kāi)放性問(wèn)題,答案不唯一.若所給出的關(guān)系式滿(mǎn)足:(a)h≤20;(b)若x=20或100時(shí),y的對(duì)應(yīng)值m,n都能落在60?100之間,則這樣的關(guān)系式都符合要求.

如取h=20,y=a(x?20)2+k,

因?yàn)閍＞0,所以當(dāng)20≤x≤100時(shí),y隨x的增大而增大.令x=20,y=60,得k=60①令x=100,y=100,得a×802+k=100②由①②解得,所以

(2009年安徽省第19題)學(xué)校植物園沿路護(hù)欄的紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案,每增加一個(gè)菱形圖案,紋飾長(zhǎng)度就增加dcm.如圖3所示,已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)為其中一個(gè)內(nèi)角為60°.

圖3

(1)若d=26cm,則該紋飾要用231個(gè)菱形圖案,求紋飾的長(zhǎng)度L;

(2)當(dāng)d=20cm時(shí),若保持(1)中紋飾長(zhǎng)度不變,則需要多少個(gè)這樣的菱形圖案?

解(1)菱形圖案水平方向的對(duì)角線長(zhǎng)為根據(jù)題意,L=30+26×(231?1)=6010cm.

(2)當(dāng)d=20cm時(shí),設(shè)需要x個(gè)這樣的菱形圖案,則有:

解得x=300,所以需要300個(gè)這樣的菱形圖案.

(2009年安徽省第23題)已知某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖4所示.

(1)請(qǐng)說(shuō)明圖4中①、②兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義;

圖4

(2)寫(xiě)出批發(fā)該種水果的資金金額w(元)與批發(fā)量n(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式;在下圖5的坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)圖象;指出金額在什么范圍內(nèi),以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果.

圖5

(3)經(jīng)調(diào)查,某經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售該種水果的日最高銷(xiāo)量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖6所示,該經(jīng)銷(xiāo)商擬每日售出60kg以上該種水果,且當(dāng)日零售價(jià)不變,請(qǐng)你幫助該經(jīng)銷(xiāo)商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷(xiāo)售的方案,使得當(dāng)日獲得的利潤(rùn)最大.

圖6

解(1)①表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果,可按5元/kg批發(fā);

②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果,可按4元/kg批發(fā).

圖7

由圖可知,資金金額滿(mǎn)足240＜w≤300時(shí),以同樣的資金可批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果.

(3)設(shè)日最高銷(xiāo)量為xkg(x＞60),日零售價(jià)為p,設(shè)x=pk+b,則由圖(2)該函數(shù)過(guò)點(diǎn)(6,80),(7,40),代入可得:x=320?40p.于是銷(xiāo)售利潤(rùn)從而x=80時(shí),ymax=160.此時(shí)p=6,所以經(jīng)銷(xiāo)商應(yīng)批發(fā)80kg該種水果,日零售價(jià)定為6元/kg,當(dāng)日可得最大利潤(rùn)160元.

(2012年安徽省第23題)如圖8,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=a(x?6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.

(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍);

(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過(guò)球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若球一定能越過(guò)球網(wǎng),又不出邊界,求h的取值范圍.

圖8

(3)根據(jù)題設(shè)知y=a(x?6)2+h.由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),得36a+h=2①.由球能越過(guò)球網(wǎng),得9a+h＞243②.由球不出邊界,得144a+h≤0③.由①②③解得所以h的取值范圍是

四、解題技巧探究

上面列舉的5道應(yīng)用性問(wèn)題分別涉及的是臺(tái)階問(wèn)題、數(shù)據(jù)輸入問(wèn)題、護(hù)欄問(wèn)題、銷(xiāo)售問(wèn)題、投球問(wèn)題,那么通過(guò)分析這些應(yīng)用性問(wèn)題的解題思路,我們可以發(fā)現(xiàn),解決這類(lèi)應(yīng)用性問(wèn)題首先要調(diào)查題意,迅速找到概念所在,并以此為“面”;透過(guò)題目的敘述,抓住重點(diǎn)詞句,提出重點(diǎn)數(shù)據(jù),并以此為“點(diǎn)”;綜合聯(lián)系,提煉當(dāng)中的關(guān)系,根據(jù)數(shù)學(xué)方法,建立數(shù)學(xué)模型,并以此為“線”,這樣就將應(yīng)用性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題、最后再運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題,即按照實(shí)際問(wèn)題→分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象→建立數(shù)學(xué)模型→解決數(shù)學(xué)問(wèn)題→解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法解決應(yīng)用性問(wèn)題.

五、結(jié)論

現(xiàn)如今,應(yīng)用性問(wèn)題被越來(lái)越多的命題者采用,各地中考都加強(qiáng)了應(yīng)用性問(wèn)題的考查力度,命題的設(shè)計(jì)也出現(xiàn)了格局新穎、結(jié)合實(shí)際的新趨勢(shì),從前面的分析中我們不難發(fā)現(xiàn):中考數(shù)學(xué)應(yīng)用性的發(fā)展方向正朝著強(qiáng)化應(yīng)用性問(wèn)題的考查和創(chuàng)新中考試題的形式變化,這種趨勢(shì)的用意是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模思想.而應(yīng)用性問(wèn)題都是與學(xué)生的日常生活息息相關(guān)的問(wèn)題,而且應(yīng)用性問(wèn)題特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、形式多樣,但涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并不深?yuàn)W,也不復(fù)雜,只是題目的文字材料較長(zhǎng),重點(diǎn)考查學(xué)生的閱讀理解能力、文字概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理分析能力、書(shū)面表述能力以及隨機(jī)應(yīng)變能力,要求學(xué)生在反復(fù)閱讀、透徹理解的基礎(chǔ)上,綜合題目所提供的數(shù)據(jù)與信息進(jìn)行分析,這樣既有利于幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題打開(kāi)解題思路,又提高了學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力,更讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.所以在在應(yīng)用性問(wèn)題解題時(shí)一定要有耐心,仔細(xì)閱讀,細(xì)心領(lǐng)會(huì),找出題目想考查的內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用相關(guān)只是和方法,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.所以數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中必須收集貼近生活實(shí)際的熱點(diǎn)問(wèn)題,再把它們?cè)O(shè)計(jì)成既貼近生活又貼近課本的應(yīng)用性問(wèn)題,這樣既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,又能培養(yǎng)學(xué)生分析解決應(yīng)用性問(wèn)題的技巧,從而使學(xué)生在中考中不失分、得高分.