一道高考拋物線試題的探究與推廣

遼寧省撫順市四方高級中學(xué)(113122)孟慶杰

題目(2013廣東理)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c＞0)到直線l:x-y-2=0的距離為設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點.

(I)求拋物線C的方程;

(II)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;

(III)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

解(I)由題意,得解得c=1,所以所求拋物線方程為x2=4y;

(II)由拋物線方程x2=4y,得求導(dǎo)得設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則以A和B兩點為切點的切線PA和PB的斜率分別為所以切線PA的方程為即xx1-2y-2y1=0,同理切線PB的方程為xx2-2y-2y2=0.又兩條切線PA、PB過P(x0,y0),所以x0x1-2y0-2y1=0且x0x2-2y0-2y2=0,所以A(x1,y1),B(x2,y2)兩點坐標(biāo)滿足方程x0x-2y-2y0=0,所以所求直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

(III)由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.聯(lián)立拋物線與直線AB的方程,消去x得所以所以|AF|·|BF|=又點P(x0,y0)在直線l上,所以x0=y0+2,所以

一、縱向探究與推廣

探究1 已知拋物線C:x2=2py(p＞0)的焦點為F,點M(x0,y0)為直線l:y=kx+b上的動點,直線l與拋物線不相交.過點M作拋物線C的兩條切線MA、MB,其中A、B為切點.求|AF|·|BF|的最小值.

圖1

解如圖1,聯(lián)立拋物線C與直線l方程,消y得x2-2pkx-2pb=0,因為直線l與拋物線不相交,所以判別式Δ=4p2k2+8pb＜0,即pk2+2b＜0.由上述“題目”解答,得直線AB方程為x0x-py-py0=0,聯(lián)立直線AB與拋物線C方程,消x得設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由拋物線定義,得

二、橫向探究與推廣

探究2 如圖2,已知橢圓C:的焦點為F,點M(x0,y0)為直線l:x-y-2=0上的動點,直線l與橢圓C不相交.過點M作橢圓C的兩條切線MA、MB,其中A、B為切點.探究|AF|·|BF|是否有最小值.

圖2

解如圖2,聯(lián)立橢圓C與直線l方程,消y得(2b2+1)x2-4b2x+3b2-b4=0,因為直線l與橢圓C不相交,所以判別式Δ=8b6-4b4-12b2＜0,即由上述“題目”解答,得直線AB方程為聯(lián)立直線AB與橢圓C方程,消x得

所以導(dǎo)函數(shù)的分母Δ＜0,分母恒為正.設(shè)

因為g(y0)的判別式所以函數(shù)f(y0)在(-∞,0)上有最大值,在(0,+∞)上有最小值,即|AF|·|BF|在區(qū)間(-∞,0)上有最大值,最大值點y0∈(-2,-1);在區(qū)間(0,+∞)上有最小值,最小值點y0∈(1,2).

探究3 如圖3,已知雙曲線C:的焦點為F,點P(x0,y0)為直線l:x-y-2=0上被漸近線所截的線段MN上的動點,直線l與雙曲線C不相交.過點P作雙曲線C的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點.探究|AF|·|BF|是否有最小值.

圖3

解如圖3,由題意直線l與漸近線相交,得b＜a,即因為點P在線段MN上,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求M、N點坐標(biāo)得

聯(lián)立雙曲線C與直線l方程,消y得

因為直線l與雙曲線C不相交,所以判別式Δ=-8b6+284b4-2100b2＜0,即由上述“題目”解答,得直線AB方程為聯(lián)立直線AB與雙曲線C方程,消x得

又x0=y0+2,所以

時,分母恒為正.設(shè)