高視點下的高考數(shù)學最值問題

廣東省始興縣始興中學(512500)廖春龍 黃奇英

最值問題存在于高中數(shù)學的函數(shù)、數(shù)列、三角、平面向量、不等式、立體幾何、解析幾何和極坐標與參數(shù)方程等各章節(jié)的學習過程中,是高中數(shù)學的重要題型之一,也是歷年高考的熱點和學生學習過程中的難點.以求解或討論最值為載體所設計的問題,不僅可以考查核心概念與重要知識,還能考查函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、運動變化等數(shù)學核心思想方法.本文在高視點下,對高考中經(jīng)常出現(xiàn)的最值問題進行分析、討論,獲得求解方法,并且對不同的求解方法加以舉例分析,給研究者以最直觀的理解.

一、高考數(shù)學(理科)中的最值問題

表1:高考數(shù)學(理科)中的最值問題

由表1可知,歷年高考試題中直接出現(xiàn)“最值”字樣的題目均有不少,占分比重大,是高考的高頻考點.最值問題載體豐富,求解方法多樣.高視點下的高考數(shù)學最值問題,定能分析的更為透切.

二、最值問題的求解方法

(一)二次函數(shù)法

例題1 (2016年全國I卷第15題)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2···an的最大值為____.

關鍵式為一元二次式,選用一元二次函數(shù)法(配方法)求最值.

(二)均值不等式法

例題2 (2017年全國I卷第10題)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A、B兩點,直線l2與C交于D、E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為( )

A.16 B.14 C.12 D.10

關鍵式為“類倒數(shù)關系”,選用均值不等式法求最值.一元式、二元式均可直接選用.

(三)三角函數(shù)法

例題3 (2017年全國I卷第22題)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;

(2)若C上的點到l的距離的最大值為求a.

解(1)略.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cosθ,sinθ)到l的距離為

常利用換元方法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值,由y=Asin(ωx+φ)+b求最值,有時得把三角轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

(四)導數(shù)法

例題4 (2017年全國I卷第16題)如圖1所示,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值___.

圖1

變式3 (2014年安徽理科第21題)設函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a＞0.

(I)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;

(II)當x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.

解(I)f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2,令f′(x)=0,得所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2),當x＜x1或x＞x2時,f′(x)＜0;當x1＜x＜x2時,f′(x)＞0.故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)單調(diào)遞減,在(x1,x2)單調(diào)遞增.

(II)因為a＞0,所以x1＜0,x2＞0.①當a≥4時,x2≥1,由(I)知f(x)在[0,1]單調(diào)遞增,所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.②當0＜a＜4時,x2＜1,由(I)知f(x)在[0,x2]上遞增,在[x2,1]上遞減,所以處取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以當0＜a＜1時,f(x)在x=1處取得最小值;當a=1時,f(x)在x=0和x=1處同時取得最小值;當1＜a＜4時,f(x)在x=0處取得最小值.

關鍵式不適應其他最值方法時,可用導數(shù)法求最值.全國高考第21題(函數(shù)與導數(shù)),常用導數(shù)法判斷單調(diào)性,進而求最值.

(五)數(shù)形結(jié)合法

例題4 (2017年全國I卷第5題改編)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的最小值是( )

A.-2 B.-1 C.0 D.1

解模擬一個符合條件的奇函數(shù)圖像,觀察易知|x-2|≤1,所以x最小值為1.選D.

變式4 求函數(shù)的值域.

圖2

利用數(shù)形結(jié)合法求最值,具體直觀.

(六)線性規(guī)劃法

例題6 (2017年全國II卷第5題)設x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是( ).

A.-15 B.-9 C.1 D.9

答案:A.

變式5 (2016年全國I卷第16題)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、B產(chǎn)品的利潤之和的最大值為____元.

答案:216000.

在二元式中直接求最值(最優(yōu)解),常用線性規(guī)劃法.全國高考卷中,近幾年都考了此類題目.

三、解最值問題的思維導圖

圖3

二元式最值問題,先考慮均值不等式,關注線性規(guī)劃模型,發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合法.能轉(zhuǎn)化為一元式的最值問題,由關鍵式結(jié)構選擇二次函數(shù)法、均值不等式法、三角函數(shù)法等,解決不了的可啟用導數(shù)法,適時注意觀察法、數(shù)形結(jié)合法.全國高考第21題(函數(shù)與導數(shù)),一般選用導數(shù)法來求最值.

四、最值問題的教學思考

最值問題知識載體豐富,求解方法多樣.如果課堂教學中每次都是蜻蜓點水,則學而不會;如果沒有全方位的綜合比較,則會而不全;如果不提煉各類知識的常規(guī)解法,則掌握不牢.一輪教學過程中,多注重“展”,一題多解,一題多變.二輪復習中,常注意“收”,多法尋根,多題歸一.

在教學過程中,教師不僅要重視知識傳授,更要重視數(shù)學思想方法的傳遞,為學生創(chuàng)設情境體驗,一題多解(變),深刻感悟.高視點下的高考數(shù)學最值問題,各類解法更清晰明了,數(shù)學思想方法更靈活多變.在高視點下解決高考中的最值問題,既能突破此類問題,又能高效培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).