逆用無窮等比數(shù)列各項和公式證明不等式

上海市奉賢中學(201499)王志和

文獻[1]給出了一種證明不等式的方法:逆用無窮等比數(shù)列各項和公式,學習后意猶未盡,經(jīng)過反思,感覺到有很多不等式證明問題可以用這種方法解決,我們采擷若干例子,以求使得這種方法的內(nèi)容更加豐富.

以下兩例解題過程從略,解題過程見文獻[1].

例16 (第19屆莫斯科數(shù)學奧林匹克)對任意的實數(shù)x,y滿足:|x|＜1,|y|＜1,求證:

例17(2003年全國聯(lián)賽)已知x,y∈(-2,2),且xy=1,求的最小值.

答案

一般地,從以上的解答中可以看出,在已知條件中或待證的不等式中出現(xiàn)分式且有“減號”出現(xiàn)時,常常使得題目的解決帶來困難,而考慮逆用無窮等比數(shù)列求和公式卻是一個很好的選擇.這種證法也是有限與無限相互轉(zhuǎn)化辯證關(guān)系的一個很好的例證.

[1]沈文選,楊清桃,高中數(shù)學競賽解題策略(代數(shù)分冊)[M],浙江大學出版社,2012.83-85.