用簡(jiǎn)單結(jié)論解高考試題*

甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(xué)(730087)李守明

當(dāng)x1=0或x2=0時(shí)上式成立,且上式證明可逆,所以結(jié)論成立;焦點(diǎn)在y軸上時(shí),結(jié)論仍然成立.

例1 (2008年高考遼寧理科數(shù)學(xué)20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A,B兩點(diǎn).

(1)寫出C的方程;(2)若求k的值.

解(1)略;(2)設(shè)D(x0,y0),直線Q1Q2的方程為mx+ny=1,因?yàn)镺D⊥Q1Q2,垂足為D,所以

D(x0,y0)在直線Q1Q2上,

又OQ1⊥OQ2,根據(jù)結(jié)論1,則

例3 (2009山東高考理科數(shù)學(xué)22題)設(shè)橢圓E:1(a＞b＞0)過(guò)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

圖1

(1)求橢圓E的方程;

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒存在兩個(gè)交點(diǎn)A,B且OA⊥OB?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

解(1)橢圓E的方程是

評(píng)注本題第(2)問(wèn)是一個(gè)存在性問(wèn)題,本解法把求圓心在原點(diǎn)的圓是否存在的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為求切點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

例4 (2010年高考陜西理科數(shù)學(xué)改編)如圖2,已知橢圓的方程為設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線,l是與n垂直相交于點(diǎn)P,與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線,|OP|=1,是否存在上述直線l使成立?若存在,求出直線的方程,若不存在說(shuō)明理由.

圖2

(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)直線l是圓O:x2+y2=2上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)(x0y0/=0)處的切線,l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn),請(qǐng)證明∠AOB的大小為定值.

又直線l是圓O上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)處的切線,故

由(1)(2)得x0=2m,y0=2n,P(x0,y0)在O:x2+y2=2上,所以(2m)2+(2n)2=2,即滿足根據(jù)結(jié)論2,則OA⊥OB,∠AOB=90°.

例6 (2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初試)設(shè)A,B為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足OA⊥OB,求證:為定值.

圖3

解如圖3,設(shè)直線AB的方程為mx+ny=1,因?yàn)镺A⊥OB,根據(jù)結(jié)論2,即