全國卷不等式選講雙絕對值問題及其解法

湖北省陽新縣高級中學(xué)(435200)鄒生書

由中華人民共和國教育部主管,教育部考試中心主辦的《中國考試》雜志,近期密集發(fā)布了關(guān)于高考內(nèi)容改革的一系列研究成果.其中指出改革后的《數(shù)學(xué)考試大綱》中不再分文理科的考試要求,不再設(shè)置選考內(nèi)容,所有內(nèi)容為必考內(nèi)容,將現(xiàn)行《考試大綱》選考內(nèi)容的“不等式選講”列為必考內(nèi)容,其他兩部分內(nèi)容“幾何證明選講”和“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”不再列為考試內(nèi)容.在發(fā)布的2018年全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱中明確指出文理科選考內(nèi)容為:(一)坐標(biāo)系與參數(shù)方程;(二)不等式選講.其中關(guān)于絕對值不等式提出了如下考試要求:1、理解絕對值的幾何意義,并能利用絕對值的幾何意義證明以下不等式:(1)|a+b|≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2、會用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c.

縱觀近幾年全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷選修4-5不等式選講的考題,我們發(fā)現(xiàn)題目主要以雙絕對值函數(shù)為背景命題,設(shè)置兩問,每小問5分總計10分.第1問主要考查雙絕對值不等式的解法,也有年份考查雙絕對值不等式的證明,或求雙絕對值函數(shù)的最值,或畫雙絕對值函數(shù)的圖象.第2問設(shè)問靈巧形式多樣,主要以含參絕對值不等式恒成立或恒有解為條件,求參數(shù)的取值范圍,主要考查閱讀理解能力和化歸轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想方法.下面以近幾年全國卷和模擬考試中的試題為例,對雙絕對值問題的命題形式和題型分類及其解法,試圖進(jìn)行較為全面的解讀,同時提出這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)備考建議,希望對廣大高中師生有所幫助.

1、解不等式

例1 (2017年高考全國III卷文理第23題)已知:函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.

解(1)方法1(用零點(diǎn)分區(qū)間法對自變量進(jìn)行分類討論求解)f(x)≥1即|x+1|-|x-2|≥1.當(dāng)x＜-1時,不等式為-(x+1)+(x-2)≥1,即-3≥1,不成立,無解;當(dāng)-1≤x≤2時,不等式為x+1+(x-2)≥1,即x≥1,又-1≤x≤2,所以1≤x≤2;當(dāng)x＞2時,不等式為x+1-(x-2)≥1,即3≥1,恒成立,所以x＞2.

綜上x≥1,故不等式f(x)≥1的解集為[1,+∞).

方法3 (先用|x|≥a?x≥a或x≤-a,再用|x|≤a?-a≤x≤a求解)f(x)≥1即|x+1|-|x-2|≥1,等價于|x+1|≥|x-2|+1,等價于x+1≥|x-2|+1或x+1≤-|x-2|-1,等價于|x-2|≤x或|x-2|≤-x-2,等價于或等價于等價于x≥1或x∈?,所以x≥1,故不等式f(x)≥1的解集為[1,+∞).

圖1

方法4 (用絕對值的幾何意義求解)f(x)≥1即|x+1|-|x-2|≥1.如圖1,數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C,P所對應(yīng)的數(shù)分別為-1,2,1,x,由絕對值的幾何意義知|x+1|=PA,|x-2|=PB,則不等式|x+1|-|x-2|≥1為PA-PB≥1.不等式的解集的幾何意義就是數(shù)軸上到點(diǎn)A的距離比到點(diǎn)B的距離大于或等于1的動點(diǎn)P的集合.由圖知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時PA-PB=1,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時PA-PB＞1,故滿足PA-PB≥1的點(diǎn)P的集合是射線CB,即x≥1,故不等式f(x)≥1的解集為[1,+∞).

方法5 (用函數(shù)圖象求解)函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|的圖象是由兩條射線和一條線段連接而成的圖形,且點(diǎn)(-1,-3),(2,3)為線段端點(diǎn).列表如下:

x ···-2-1 2 3···y=f(x)···-3-3 3 3···

描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖2所示.又f(1)=1,由圖知當(dāng)且僅當(dāng)x≥1時,f(x)≥1,故不等式f(x)≥1的解集為[1,+∞).

圖2

評注本題五種解法基本囊括了雙絕對值不等式的所有解法,其中用零點(diǎn)分區(qū)間法對自變量進(jìn)行分類討論求解,實際上就是根據(jù)絕對值的代數(shù)意義去掉絕對求解,這是解絕對值不等式的基本方法,易錯點(diǎn)是容易忽視分類條件而發(fā)生運(yùn)算錯誤.

用等價不等式|x|≤a?-a≤x≤a和|x|≥a?x≥a或x≤-a求解,需要整體思想和模型意識方能化歸求解,該解法按部就班便于操作.用絕對值的幾何意義求解,借助實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系,將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為幾何不等式,然后利用幾何直觀動中尋靜以定制動,將不等轉(zhuǎn)化相等然后用相等解決不等從而求出解集.用函數(shù)圖象解不等式方法直觀,是解不等式的基本方法,畫圖象主要抓往關(guān)鍵點(diǎn),正余弦曲線有五點(diǎn)畫法,直線兩點(diǎn)畫法,拋物線三點(diǎn)畫法,雙絕對值不等式就是四點(diǎn)畫法,因為它的圖象是一條線段和兩條射線連接而成的圖形,這四個關(guān)鍵點(diǎn)分別是:線段兩端點(diǎn),分別在兩射線上的兩個點(diǎn),這四個點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是零點(diǎn)分區(qū)間法的兩個零點(diǎn)和分別兩個開區(qū)間上的實數(shù).

2、畫函數(shù)圖象

例2 (2016年高考全國卷I理科第24題)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)畫出y=f(x)的圖象;

(2)求不等式|f(x)|＞1的解集.

圖3

解(1)y=f(x)的圖象是由兩條射線和一條線段連接而成的圖形,具體四點(diǎn)畫法如下:列表、描點(diǎn)、連線得圖象如圖3所示.

x ···-2-1 1.5 3···y=f(x)···-3-3 2.5 1···

評注本題兩問關(guān)系密切,第2問可用第1問所畫出的函數(shù)圖象來解決,這實際上也是出題者的命題意圖,解法如下:

(2)|f(x)|＞1?f(x)＞1或f(x)＜-1.因為f(1)=f(3)=1,f(5)=-1,當(dāng)-1≤x≤1.5時,f(x)=3x-2,令f(x)=-1得由圖象知|f(x)|＞1的解集為

3、證明不等式或求最值

例3 (2014年高考全國卷II理科第24題)設(shè)函數(shù)

(1)證明f(x)≥2;

(2)若f(3)＜5,求a的取值范圍.

例4 (黃石市2018屆高三年級9月調(diào)研考試?yán)砜频?3題)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+2|x+1|(x∈R),若不等式f(x)≥m對?x∈R恒成立.

(1)求實數(shù)m的取值集合A;

(2)記集合A中的最大值為M,若正數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=M,求a+b+c的最小值.

解(1)不等式f(x)≥m對?x∈R恒成立,則m≤f(x)min.由絕對值不等式得f(x)=|x-1|+2|x+1|≥|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時等號成立,所以f(x)min=f(-1)=2,于是m≤2,故實數(shù)m的取值集合A=(-∞,2].

評注證明雙絕對值不等式或求最值主要有兩種方法,其一是用圖象法求解,解法直觀但要事先畫圖象;其二是用絕對值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解,解題時要注意說明等號能成立.

4、求參數(shù)取值范圍

例5 (2017年高考全國卷I文理第23題)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

解(1)略.(2)f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等價于當(dāng)x∈[-1,1]時f(x)≥g(x)恒成立,又當(dāng)x∈[-1,1]時,g(x)=2,所以f(x)≥2恒成立,則f(x)min≥2.因為拋物線y=f(x)開口向下,所以f(x)在[-1,1]的最小值是f(-1)或f(1),所以解得-1≤a≤1.故a的取值范圍為[-1,1].

評注第2問題重點(diǎn)考查閱讀理解能力和化歸轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是將“不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]”,等價轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x∈[-1,1]時f(x)≥2恒成立”,最后轉(zhuǎn)化為最值問題求解.

例6(2016年高考全國III卷理科第24題)已知:函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.

(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a取值范圍.

解(2)當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)≥3,即|2x-a|+a+|2x-1|≥3,設(shè)h(x)=|2x-a|+a+|2x-1|,則h(x)≥3,從而h(x)min≥3.又h(x)=|2x-a|+a+|2x-1|≥|(2x-a)-(2x-1)|+a=|a-1|+a,所以h(x)min=|a-1|+a,所以|a-1|+a≥3,解得a≥2,故a取值范圍是[2,+∞).

評注第2問先將恒立問題轉(zhuǎn)化為最小值問題,再用絕對值不等式求最小值,然后解絕對值不等式求范圍.

例7 (2013年高考全國卷I理科第24題)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)＜g(x)的解集;

評注先根據(jù)自變量的取值范圍確定絕對值內(nèi)的符號去掉絕對值,然后將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.

例8 (2015年高考全國卷I理科第24題)已知:函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a＞0.

(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.

解(2)方法1由題設(shè)知,當(dāng)x＜-1時,f(x)=-(x+1)+2(x-a)=x-2a-1單調(diào)遞增,所以f(x)＜f(-1)=-2a-2＜0,圖象與x軸無交點(diǎn).當(dāng)-1≤x≤a時,f(x)=x+1+2(x-a)=3x-2a+1單調(diào)遞增,而f(a)=a+1＞0,f(-1)=-2a-2＜0,由零點(diǎn)存在性定理知圖象與x軸有交點(diǎn)其坐標(biāo)為當(dāng)x＞a時,f(x)=x+1-2(x-a)=-x+a+1單調(diào)遞減,圖象與x軸有交點(diǎn)其坐標(biāo)為B(2a+1,0).

綜上可知f(x)max=f(a)=|a+1|=a+1,所以圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為C(a,a+1),于是函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的△ABC的面積為依題意得解得a＞2,故a的取值范圍是(2,+∞).

方法2 令f(x)=0得|x+1|=2|x-a|,兩邊平方整理得3x2-(8a+2)x+4a2-1=0,即[x-(2a+1)][3x-(2a-1)]=0,所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn),其坐標(biāo)分別為而a＞0,所以f(x)≤a+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=a時等號成立,故三角形的另一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(a,a+1).下同方法1,略.

評注第2問關(guān)鍵是求出三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo),其中兩點(diǎn)顯然是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),方法1用零點(diǎn)分區(qū)間結(jié)合圖象求交點(diǎn)坐標(biāo),用函數(shù)單調(diào)性求最大值得出最高點(diǎn)即另一頂點(diǎn)的坐標(biāo).方法2是用方程思想求出函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo),用絕對值三角不等式求出函數(shù)最大值繼而求出另一點(diǎn)的坐標(biāo).

例9 (前面例1第2問)

解(2)方法1 (分離參數(shù)法)不等式f(x)≥x2-x+m即|x+1|-|x-2|≥x2-x+m,分離參數(shù)得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x,設(shè)h(x)=|x+1|-|x-2|-x2+x,則m≤h(x).不等式f(x)≥x2-x+m解集不空即有解,等價于不等式m≤h(x)有解,則m≤h(x)max.

(i)當(dāng)x＜-1時,h(x)=-x2+x-1單調(diào)遞增,所以h(x)＜h(-1)=-3.

(iii)當(dāng)x＞2時,h(x)=-x2+x+3單調(diào)遞減,所以h(x)＜h(2)=1.

方法2 (函數(shù)圖象法)設(shè)g(x)=x2-x+m,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖5所示.易求得直線AB的方程為y=2x-1,代入y=x2-x+m得x2-3x+m+1=0.當(dāng)拋物線y=g(x)與直線相切時,Δ=9-4(m+1)=0得由圖知當(dāng)且僅當(dāng)時,拋物線y=g(x)有部分在函數(shù)y=f(x)圖象下方,即f(x)≥g(x)有解,故若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,則m的取值范圍是

圖5

評注分離參數(shù)法和函數(shù)圖象法是處理含參不等式恒成立或恒有解問題的基本方法.方法1分離參數(shù)后將問題轉(zhuǎn)化為最值問題,接著用分段函數(shù)求函數(shù)值域,從而求出參數(shù)取值范圍.方法2首先畫出兩個函數(shù)的圖象,其中一個是靜態(tài)的直線型,另一個是對稱軸確定的動態(tài)拋物線,求出相切時參數(shù)的值,再根據(jù)兩個圖象的位置關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.