談數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的融入

施永法

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)文化具有重要意義。課堂教學(xué)中，可從數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等角度融入數(shù)學(xué)文化。其中，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心，它對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展具有重要作用；數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)史是一部生動(dòng)活動(dòng)的發(fā)展史，數(shù)學(xué)美蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)知識(shí)別樣韻味，它們?cè)诩ぐl(fā)學(xué)生興趣、領(lǐng)略先人智慧、賞析數(shù)學(xué)之美、啟迪學(xué)生思維中起著重要作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)史 數(shù)學(xué)美 基本不等式

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）12-0-02

數(shù)學(xué)既富有理性精神，又富有人文精神；數(shù)學(xué)既是一種認(rèn)知手段，又是一種技術(shù)工具。數(shù)學(xué)傳承著人類千百年來(lái)的智慧，是人類創(chuàng)造力和想象力的文化表達(dá)，是蘊(yùn)含人類理性思維的認(rèn)知范式，是人類解決人、自然、社會(huì)的關(guān)系的一項(xiàng)重要工具。數(shù)學(xué)正是歷經(jīng)歷史的發(fā)展蘊(yùn)含古人智慧的內(nèi)容，它包含了深刻而豐富的數(shù)學(xué)文化，所以，我們要在教學(xué)中深挖數(shù)學(xué)文化。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)文化占據(jù)重要地位、具有重要意義，它有利于促進(jìn)學(xué)生人文素養(yǎng)的提升，有利于形成學(xué)生良好的非智力品質(zhì)結(jié)構(gòu)，有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，有利于提升數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而為學(xué)生一生的發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)。所以數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)有機(jī)地融入數(shù)學(xué)文化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的育人功能。何謂數(shù)學(xué)文化，不同的文獻(xiàn)有不同的解釋，但通常數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等多個(gè)方面的重要內(nèi)容，這些方面在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義。本文結(jié)合《基本不等式》第一課時(shí)教學(xué)，談?wù)剶?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入。

一、融入數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)理性精神

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心，一定程度上，數(shù)學(xué)思想促進(jìn)了數(shù)學(xué)文化的形成，正是數(shù)學(xué)思想的指引才促成了今日的數(shù)學(xué)發(fā)展。數(shù)學(xué)思想，在一定程度上表現(xiàn)為數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)精神等，它對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展具有重要作用。數(shù)學(xué)思想方法源于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，而又高于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，是數(shù)學(xué)知識(shí)方法在更高層次上的抽象與概括，它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了解題思路和解題方法與策略。

基本不等式教學(xué)中，基本不等式的建構(gòu)過(guò)程就是一個(gè)融入數(shù)學(xué)思想的過(guò)程。基本不等式的構(gòu)建，首先是運(yùn)用數(shù)形統(tǒng)一思想，通過(guò)數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)幾何圖形，得到勾股定理；其次是運(yùn)用放縮方法，借助于趙爽弦圖實(shí)現(xiàn)相等到不等，體現(xiàn)一種哲學(xué)認(rèn)識(shí)觀。

通過(guò)對(duì)幾何圖像的觀察、研究與探索，從勾股定理到基本不等式，教學(xué)中可按六個(gè)步驟有序推進(jìn)：（1）觀察趙爽“弦圖”（圖1所示），基于引導(dǎo)學(xué)生欣賞對(duì)稱美與和諧美的基礎(chǔ)上，分析“弦圖”構(gòu)成：四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形；（2）在幾何觀察基礎(chǔ)上，借助趙爽“弦圖”引導(dǎo)學(xué)生證明勾股定理：利用大正方形和四個(gè)直角三角形及小正方形的面積關(guān)系S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S三角形AEB，得，故；（3）由面積相等關(guān)系猜想不等關(guān)系，通過(guò)圖形構(gòu)成觀察面積關(guān)系，有大正方形的面積大于等于四個(gè)直角三角形面積和，從而有；（4）結(jié)合幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示不等式 中等號(hào)成立問(wèn)題，加強(qiáng)學(xué)生直觀認(rèn)知，易發(fā)現(xiàn)“”時(shí)等號(hào)成立；（5）進(jìn)一步研究不等式“ ”的代數(shù)證明，容易想到作差法和放縮法，且放縮法架起了“相等”與“不等”的橋梁：，代數(shù)中蘊(yùn)含幾何意義；（6）由“ ”猜想“時(shí)， ？ ”，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用替代思想，得，最后得到基本不等式：。

由上可見(jiàn)，基本不等式的提出、探索與證明經(jīng)歷了一個(gè)相對(duì)曲折的過(guò)程，但同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了概念生長(zhǎng)的全過(guò)程，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，特別是具有一種潛移默化的促進(jìn)作用，利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升?；静坏仁降慕虒W(xué)中，一方面滲透了“相等”到“不等”的哲學(xué)認(rèn)識(shí)觀，數(shù)學(xué)關(guān)系中，常量與變量相互之間的相等和不等刻畫(huà)是一類重要關(guān)系問(wèn)題，而基本不等式作為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)天然存在一對(duì)不等關(guān)系，值得我們品味探究，同時(shí)個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)也是大于等于這個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)，具有普遍意義。另一方面，“數(shù)形結(jié)合”的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)研究的一種重要方法，基本不等式教學(xué)中通過(guò)趙爽弦圖實(shí)現(xiàn)從形到數(shù)的探究是一個(gè)很好的研究切入點(diǎn)。

二、融入數(shù)學(xué)歷史，促進(jìn)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，對(duì)揭示數(shù)學(xué)概念、定理、公式等的來(lái)龍去脈，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)具有不可忽視的意義和作用。數(shù)學(xué)史知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展是一個(gè)逐步積累的過(guò)程，其中不僅包含數(shù)學(xué)家的名人軼事，更包含數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)智慧和數(shù)學(xué)哲理。數(shù)學(xué)史經(jīng)典素材的引入有利于形成探究的課堂氣氛，有利于學(xué)生深刻理解知識(shí)本質(zhì)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)先輩們的靈感與努力，學(xué)習(xí)他們的經(jīng)驗(yàn)，感悟他們的精神，增強(qiáng)自身解決問(wèn)題能力。在現(xiàn)階段的新課程改革過(guò)程中，教師們表現(xiàn)出了對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)極高的關(guān)注。

教學(xué)中有效融入數(shù)學(xué)史是一個(gè)值得研究的課題。融入數(shù)學(xué)史，筆者以為不僅包含融入數(shù)學(xué)故事和名人故事，還包含改造數(shù)學(xué)史知識(shí)啟迪學(xué)生智慧，借古思今，以古人智慧啟迪今人智慧，實(shí)現(xiàn)思維迸發(fā)。教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)史有利于揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，有利于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程，有利于引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)家的精神?；静坏仁降慕?gòu)與證明中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)史，值得我們充分挖掘。

一是基本不等式的引入過(guò)程中，引用趙爽“弦圖”，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化。2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，而大會(huì)會(huì)標(biāo)，正是依據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，趙爽“弦圖”給出了迄今為止勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明。趙爽用割補(bǔ)方法證明幾何圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建了一個(gè)恒等式，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一樹(shù)立了一個(gè)良好典范，使世界數(shù)學(xué)家們無(wú)不贊嘆其思想之高超、方法之巧妙，被譽(yù)為世界上勾股定理證明之最。通過(guò)情境引發(fā)聯(lián)想，學(xué)生深切感受到我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的悠久歷史和深厚的文化底蘊(yùn)，以及我國(guó)的數(shù)學(xué)成就對(duì)世界數(shù)學(xué)文明的影響和發(fā)展做出的卓越貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。

二是在學(xué)生感受幾何直觀與代數(shù)證明的緊密結(jié)合時(shí)，引出古人用“和差術(shù)”證明基本不等式的方法。2000多年前，生活在兩河流域的古巴比倫時(shí)期的人們利用“和差術(shù)”證明了基本不等式。教師啟迪學(xué)生思維，學(xué)生感悟古人智慧，一般的，對(duì)于正數(shù)，利用構(gòu)造方法可得恒等式：、，兩式相乘有：，所以。利用構(gòu)造，巧用平方差公式，放縮得證。簡(jiǎn)單對(duì)稱的代數(shù)方法證明讓學(xué)生感受基本不等式的證明是歷史發(fā)展的產(chǎn)物，展示了人類智慧的結(jié)晶，再一次掀起讓學(xué)生對(duì)古人智慧的欽佩和折服，也為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了良好的數(shù)學(xué)德育目標(biāo)。

那么具體如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效應(yīng)用數(shù)學(xué)史呢？文3對(duì)國(guó)內(nèi)外已有的一些方法進(jìn)行整合與改進(jìn)，得到附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四類，見(jiàn)表1。[3]顯而易見(jiàn)，這四種融入數(shù)學(xué)史的方式，其目標(biāo)、水平和效果是有所差異的，教學(xué)中我們要根據(jù)教學(xué)實(shí)際，有效設(shè)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)史，以達(dá)到啟迪學(xué)生思維、激勵(lì)學(xué)生精神的目的。

（表1）

類別 描述 Tzanakis&Arcavi; Jankvist

附加式 展示有關(guān)的數(shù)學(xué)家圖片，講述逸聞趣事等，去掉后對(duì)教學(xué)內(nèi)容沒(méi)有什么影響 直接運(yùn)用法 啟發(fā)法

復(fù)制式 直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題、解法等 直接運(yùn)用法 啟發(fā)法

順應(yīng)式 根據(jù)歷史材料，編制數(shù)學(xué)問(wèn)題 - -

重構(gòu)式 借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史 間接運(yùn)用法 基于歷史法

三、融入數(shù)學(xué)之美 感悟數(shù)學(xué)真善

數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)的重要一項(xiàng)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。法國(guó)著名科學(xué)家、哲學(xué)家龐加萊較為詳盡地論述了“數(shù)學(xué)美”和“數(shù)學(xué)直覺(jué)”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和學(xué)習(xí)中的作用，指出：“數(shù)學(xué)的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學(xué)的雅致感，這是一切真正的數(shù)學(xué)家都知道的審美感……缺乏這種審美感的人永遠(yuǎn)不會(huì)成為真正的創(chuàng)造者”。所以，教學(xué)中，要融入數(shù)學(xué)美，在欣賞數(shù)學(xué)美的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生靈感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望。

數(shù)學(xué)中的美一般包含四類：簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、奇異美。在此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)美包含數(shù)學(xué)的外在美與內(nèi)在美。外在美，指數(shù)學(xué)中能直觀感知的美，就是通常所說(shuō)的數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、奇異美等。內(nèi)在美，指由數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)所決定的邏輯美與意境美，就是通常所說(shuō)的理性美、方法美等。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生賞析數(shù)學(xué)之美，滲透美學(xué)教育，并利用數(shù)學(xué)之美讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的人文與歷史。

1.欣賞外在美

基本不等式教學(xué)中，有多個(gè)角度值得我們欣賞數(shù)學(xué)的外在美。一是品味趙爽“弦圖”的對(duì)稱美與和諧美，四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方恰好構(gòu)成一個(gè)大正方形，圖形對(duì)稱優(yōu)美，又蘊(yùn)含一些美妙結(jié)論。二是品味基本不等式的簡(jiǎn)潔性與對(duì)稱性，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)天然的存在一種不等關(guān)系，且基本不等式簡(jiǎn)單、優(yōu)美、樸素、簡(jiǎn)潔的外表下又具有一種神奇的力量，能夠巧妙解決一些最值問(wèn)題等。三是品味數(shù)形統(tǒng)一的美，如基本不等式的幾何解釋：“圓內(nèi)半弦長(zhǎng)小于等于半徑長(zhǎng)”等，數(shù)形統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔優(yōu)美。

2.品味內(nèi)在美

羅素說(shuō)：“數(shù)學(xué)具有一種至高無(wú)上的冷峻之美”，而這種美最本質(zhì)該是數(shù)學(xué)的理性美，這也正是數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，教學(xué)中，要充分挖掘數(shù)學(xué)的理性美與方法美。而挖掘數(shù)學(xué)的理性美與方法美，就要求我們教學(xué)中要理解知識(shí)本質(zhì)，刪繁就簡(jiǎn)，深入淺出，啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維，不要使學(xué)生陷入于題海之中。所以，基本不等式教學(xué)第一課時(shí)中，筆者通過(guò)變式教學(xué)，呈現(xiàn)問(wèn)題的發(fā)展變化，使學(xué)生明白知識(shí)的來(lái)龍去脈，實(shí)現(xiàn)基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

例1.求函數(shù)的最小值.

變式1.求函數(shù)的最小值.

變式2.求函數(shù)的最小值.

例2.若且滿足ab=1，（1）求的最小值；（2）求的最小值.

變式1.若且滿足，求ab的最大值.

變式2.若且滿足，求ab的最大值.

基本不等式的學(xué)習(xí)，很重要的一個(gè)方面是應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)問(wèn)題。例1和變式1的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用基本不等式解決最值問(wèn)題；變式2一般學(xué)生容易得到：，此時(shí)教師可從兩方面引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）“”的不等關(guān)系是否成立；（2）“”是否是一個(gè)定值。針對(duì)思考（1）可用幾何畫(huà)板展示兩個(gè)函數(shù)圖像，肯定不等關(guān)系成立；針對(duì)思考（2）學(xué)生容易確認(rèn)“”

不是一個(gè)定值，故需要構(gòu)造解決求最值。例2則體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用從“一元”到“二元”的過(guò)程，既可用基本不等式直接求最值，也可用消元法解決。例2與其變式，又分別呈現(xiàn)了“積定和有最小值”與“和定積有最大值”的模式識(shí)別，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)總結(jié)歸納。

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，具有重要意義，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色，更能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)育人中的特殊價(jià)值。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心，可以說(shuō)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)發(fā)展的文化根基，它對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展具有極其重要的作用；數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)史是一部生動(dòng)活動(dòng)的發(fā)展史，它包含了數(shù)學(xué)形成發(fā)展的過(guò)程和數(shù)學(xué)先輩們的智慧，數(shù)學(xué)美蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)知識(shí)的別樣韻味，它們?cè)诩ぐl(fā)學(xué)生興趣、引導(dǎo)學(xué)生賞析數(shù)學(xué)、啟迪學(xué)生思維中起著重要作用。所以，每位數(shù)學(xué)教育工作者，都應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)文化的角度開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

參考文獻(xiàn)：

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[3]吳駿，汪曉勤（2014）.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐：他山之石[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（2）：13-16.