一類奇異三階常微分方程m點(diǎn)邊值問題正解的存在性

劉慧

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023）

常微分方程邊值問題的研究有著悠久的歷史，其相關(guān)理論可以追溯到牛頓和萊布尼茲建立微積分學(xué)的最初階段。最近幾十年常微分方程邊值問題的研究發(fā)展迅速，馬如云[1]介紹了二階常微分方程多點(diǎn)邊值問題的正解存在性，此后又有許多學(xué)者[2-14]討論了三階或四階常微分方程多點(diǎn)邊值問題的正解存在性。常微分方程邊值問題主要應(yīng)用于化工、水流動(dòng)、熱傳導(dǎo)、熱彈性、血漿流動(dòng)等多個(gè)領(lǐng)域，研究邊值問題常用的方法有上下解方法[7-8]、打靶法[9]、單調(diào)迭代理論[10]、不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)[11-12]，以及各類不動(dòng)點(diǎn)定理，如 Krasnoselskill 不動(dòng)點(diǎn)定理[4,13]和Leggett-Williams 不動(dòng)點(diǎn)定理[14]。

三階常微分方程邊值問題解的存在性在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中有著更加重要的實(shí)際意義。吳紅萍[14]利用 Williams-Leggett不動(dòng)點(diǎn)定理討論了非線性三階三點(diǎn)邊值問題得到了至少三個(gè)正解的存在性；程德勝[2]運(yùn)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理對(duì)一個(gè)含參數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問題在滿足超線性或者次線性條件下正解的存在性進(jìn)行了探究；郭麗君[12]用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論得到了一類三階三點(diǎn)邊值問題至少兩個(gè)正解的若干存在性準(zhǔn)則；高婷[13]研究了下面奇異三階m點(diǎn)邊值問題

在f滿足超線性或次線性的情況下，運(yùn)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得到了問題正解的存在性；許潔[15]通過與一個(gè)線性算子相關(guān)的第一特征值的討論，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理得到了以下邊值問題

正解存在的結(jié)果。

受上述研究?jī)?nèi)容啟發(fā)，本文主要研究和文獻(xiàn)[15]相同的一類奇異三階常微分方程m點(diǎn)邊值問題

的正解存在性,其中αi≥0,i=1,2,…,m-3,αm-2≥0 且α在0,1 處奇異,ξi∈(0,1)滿足 0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξm-2＜1。

本文給出了Green函數(shù)的另外一種簡(jiǎn)單的表示形式，并得到了新的性質(zhì)，最后在f滿足超線性或者次線性的條件下運(yùn)用Krasnoselskill不動(dòng)點(diǎn)定理研究BVP（1）、（2）的正解存在性。

本文假定以下條件成立：

1 預(yù)備引理

引理 1（Krasnoselskill不動(dòng)點(diǎn)定理）：設(shè) E是Banach空間，K?E是E中的一個(gè)錐。Ω1和Ω2是E的開子集，若全連續(xù)算子

式（5）中

結(jié)合邊值條件可得到

帶入有：

引理2得證。

證明：(1)當(dāng)st≤時(shí)，

引理3得證。

引理 4：設(shè)（A1）成立，y ∈ C((0，1)，(0， + ∞ ))，且 y ≥0則邊值問題（3）、（4）的唯一解u滿足：

這里γ如引理2定義。

2 主要結(jié)果

定理1：設(shè)（A1）—（A3）成立。設(shè) f滿足下列兩個(gè)條件之一：

（i）00f= ， f∞=∞ (超線性)；

（ii）0f=∞，00f= (次線性)。則BVP（1）、（2）至少有一個(gè)正解。

下面運(yùn)用上述4個(gè)引理證明定理1。

根據(jù)引理2，BVP（1）、（2）有解 ()u u t= ，當(dāng)且僅當(dāng)u是算子方程

的解。

假設(shè)

規(guī)定它的范數(shù)

則E是一個(gè)Banach空間。

定義

則K是E的一個(gè)錐，且由引理3知AK?K且易知

A: K→K是全連續(xù)算子。

超線性情形： f0= 0 ，f∞=∞。

首先，由 f0= 0 ，可選取 H1> 0 使得 0 < u < H1時(shí)，f( u)≤εu，其中ε>0滿足：

由式(8)和(10)有

和

根據(jù)引理1的第一部分, A在KI(?2?1)上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u滿足 H1≤u≤H2。從而定理1在超線性情形下得證，下面證明次線性情形。

次線性情形： f0=∞, f∞= 0 。

首先，由 f0=∞，取 H3> 0 使得當(dāng) 0 < u < H3，f( u)≥Mu。其中M滿足

其 次, f∞= 0 ,故 存 在 H?4> 0 ,使 得 當(dāng) u ≥ H?4時(shí),f( u)≤λu,其中λ>0滿足：

分以下兩種情況考慮：

情形1：f有界。即存在N，有()f uN≤。

取

情形2 ：f無界。

綜上，定理1得證。

3 結(jié)語

（1）本文研究的三階m點(diǎn)邊值與文獻(xiàn)[15]研究的邊值條件相同，但是本文運(yùn)用的是Krasnoselskill不動(dòng)點(diǎn)定理，而文獻(xiàn)[15]運(yùn)用的是不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理。

（2）本文給出了Green函數(shù)的另外一種簡(jiǎn)單的表示形式，以及選擇了一個(gè)適當(dāng)?shù)腻F且在f滿足超線性或者次線性的條件下得到了該類奇異三階m點(diǎn)邊值問題的正解存在性，而文獻(xiàn)[15]是通過與一個(gè)線性算子相關(guān)的第一特征值的討論得到了該問題正解的存在性。