高中數(shù)學(xué)證明題的解答策略

☉江蘇省蘇州第十中學(xué)校 項(xiàng)冠煒

數(shù)學(xué)證明作為高考數(shù)學(xué)中必考題目，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求非常高，同時(shí)需要學(xué)生有較強(qiáng)的計(jì)算求解能力、推理論證能力，所以很多學(xué)生在面對(duì)高中數(shù)學(xué)證明題目時(shí)會(huì)出現(xiàn)多種多樣的障礙.非常多的學(xué)生可以非常熟練地記住完整的數(shù)學(xué)概念及相關(guān)的定理和公式，甚至也清楚記得曾經(jīng)解答過的證明題的解題步驟，但在遇到新題時(shí)，卻依然不會(huì)做，究其本質(zhì)，學(xué)生雖然接觸了多種多樣的證明題，卻沒有真正獲得數(shù)學(xué)的思考能力和解決問題能力，導(dǎo)致不會(huì)靈活采用證明解答中的方法和方式，所以學(xué)生自身對(duì)證明題的解題方法和思維進(jìn)行一定的研究是非常重要的.

一、綜合知識(shí)法

首先，證明題都是比較綜合的題目，涉及的方面非常廣，所以也需要學(xué)生具有比較全面的知識(shí)系統(tǒng)，才能完美解決相關(guān)問題.綜合法是高中數(shù)學(xué)中非常常見的證明方法，是一種三段式的演繹方法，主要是根據(jù)題目條件來進(jìn)行順推，或者是找到題干上的“因”，來導(dǎo)入相關(guān)的“果”的過程.這種方法是從一種已知狀態(tài)到未知的邏輯，學(xué)生要從題目中涉及到的已知條件出發(fā)，進(jìn)行一系列的推導(dǎo)過程，最后導(dǎo)出結(jié)論，來表明其的真實(shí)性和可靠性.一般在證明題中都會(huì)用上著名的符號(hào)“∵（因?yàn)椋?、“∴（所以）”或者“→?

比如，在例題中：已知x、y、z為三個(gè)不全部相同的實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明：x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.通過觀察，我們首先認(rèn)識(shí)到這是一道代數(shù)不等式證明題，并且看到x4+y4+z4等式子，根據(jù)不等式定理可以得到x4+y4≥2x2y2，x4+z4≥2x2z2等，又因?yàn)閤、y、z是三個(gè)不全部相等的實(shí)數(shù)，所以得到上面三個(gè)式子中有一個(gè)式子是不能夠取到等號(hào)的，所以得出x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，而又由x2y2+y2z2≥2xy2z，x2z2+y2z2≥2xyz2，所以很容易就得出x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.在整道題目的證明過程中，學(xué)生需要仔細(xì)觀察，題目的開始用到了著名不等式x4+y4≥2x2y2，從這個(gè)不等式出發(fā)，根據(jù)知識(shí)和已知條件來推出想要證明的結(jié)論.學(xué)生要學(xué)會(huì)從證明的結(jié)果來對(duì)整道證明題進(jìn)行分析，利用條件來完成證明過程.需要學(xué)生注意的是，某些題目有多個(gè)證明題，學(xué)生要學(xué)會(huì)觀察各個(gè)問題間的聯(lián)系，并且對(duì)條件進(jìn)行逆推或者順推，采用這兩種方式結(jié)合，來對(duì)證明題進(jìn)行解答.比如想要證明面面垂直，就需要找到線面垂直、線線垂直等條件.

二、分析法

分析法也是在高中數(shù)學(xué)證明題中常用的一種方法，它是一種逆證法，需要學(xué)生體驗(yàn)從未知到已知的過程，需要學(xué)生具備一定的邏輯.簡單來說分析法在使用的過程中，學(xué)生要假設(shè)題目中需要證明的命題是正確的，然后再推出能夠保證這個(gè)結(jié)論充分成立的結(jié)果，而且這些結(jié)論一定是已知的定理、已證的命題或者是題目中早就給出的條件.另外，還有一些證明題中出現(xiàn)信息量非常多的情況，大多數(shù)學(xué)生會(huì)覺得非常困難，毫無解題的頭緒，從而不能夠有效將題目中的信息進(jìn)行消化，所以學(xué)生還應(yīng)該積極根據(jù)題干中所給出的結(jié)論來找到滿足結(jié)論存在的條件，然后再層層分析和展開，讓所需要證明的目標(biāo)越來越清晰和簡單.充分利用結(jié)論，結(jié)合條件，分析要想該結(jié)論成立還需什么條件，有時(shí)候還需要學(xué)生具備畫圖作輔助線的意識(shí).采用分析法進(jìn)行證明解題，可以促進(jìn)學(xué)生從多種方面來思考問題，從而探索解題的方法，拓寬解題的思路.需要學(xué)生注意的是，分析法并不是由命題的結(jié)論來證明前提條件.一般利用分析法來解決證明題時(shí)，常用的規(guī)范格式是：“要證明……只需要……”或者是符號(hào)“←”.

三、反證法

我們都接觸過反證法，這種方法是非常常用的一種間接證明方法，如果在解決證明題的過程中，采用直接證明的方式遇到阻礙時(shí)，可以考慮采用反證法.一般學(xué)生采用反證法時(shí)，需要進(jìn)行以下標(biāo)準(zhǔn)解題證明步驟：（1）反設(shè)，即假設(shè)題目中要求證明的結(jié)論不成立，設(shè)其否定命題成立；（2）歸謬，即將假設(shè)成立的否定命題作為已知條件，從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，通過正確的推理思路和過程，導(dǎo)出和題目中的已知條件、已經(jīng)證明出來的定理、明確的事實(shí)相反且產(chǎn)生矛盾；（3）結(jié)論，即證明出假設(shè)錯(cuò)誤，假設(shè)和已知事實(shí)存在明顯的矛盾，從而假設(shè)結(jié)論是不存在的，所以否定命題不存在，間接肯定了結(jié)論的成立.

比如，已知a、b、c都在（0，1）這個(gè)區(qū)間上，請(qǐng)證明（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中，最少有一個(gè)小于或者等于.在本題中，如果要完成證明，就需要分別證明三個(gè)式子是否存在小于或者等于的情況，而利用反證法證明：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)都大于，此題就容易表達(dá)很多.因?yàn)?＜a＜1，所以1-a＞0，而通過著名的不等式結(jié)論可以得出：，而對(duì)于b和c，同理可得相同的式子，三個(gè)式子相加得到設(shè)矛盾，從而原命題成立.反證法是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，學(xué)生要學(xué)會(huì)掌握反證法的使用，并且能夠認(rèn)識(shí)反證法的使用情況，從而保證解題的效率和正確性.

四、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種用來證明和正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，這種方法的使用非常容易識(shí)別，也有固定的書寫步驟.一般是由一系列有限的特殊事例得出結(jié)論的推理方法.證明的書寫過程如下：（1）求出n取第一個(gè)值時(shí)，證明相關(guān)命題是成立的.（2）假設(shè)當(dāng)n取第k個(gè)值時(shí)，命題成立，其中k屬于正整數(shù)，k是大于或者等于0的，并且也證明當(dāng)n取第k+1個(gè)值時(shí)，命題同樣成立，所以證得這個(gè)命題對(duì)k取任意值都成立.采用這種方法時(shí)，學(xué)生需要清楚，驗(yàn)證是整個(gè)證明過程的基礎(chǔ)條件，最為關(guān)鍵是對(duì)式子進(jìn)行遞推，再在其中尋找遞推關(guān)系.

如下面例題：證明式子（3n+1）·7n-1能夠被9整除.利用數(shù)學(xué)歸納法，首先，當(dāng)n等于1的時(shí)候，原式等于4×7-1=27，可以被9整除，命題初步成立；其次，假設(shè)當(dāng)n取k值時(shí)，命題成立，所以（3k+1）·7k-1能夠被9整除；當(dāng)n為k+1時(shí)，原式等于（3k+4）·7k+1-1=［（3k+1）·7k-1］+18k·7k+27·7k，由歸納假設(shè)（3k+1）·7k-1可以被9整除，因?yàn)?8k·7k+27·7k能夠被整除，所以（3k+4）·7k+1-1也可以，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題同樣也成立.這種題目在解讀的過程中，可以明顯發(fā)現(xiàn)需要用數(shù)學(xué)歸納法，所以可以按照數(shù)學(xué)歸納法的固定步驟來進(jìn)行假設(shè)，從而證明該結(jié)論.此方法關(guān)鍵就是在由已知推向未知的過程中，對(duì)式子進(jìn)行變形時(shí)，要善于找出式子之間的聯(lián)系.

總的來說，數(shù)學(xué)的證明題彰顯了數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的特征，所以學(xué)生在解決相關(guān)的證明題目時(shí)，一定要保證嚴(yán)密性和完整性.在訓(xùn)練證明題目的解答過程中，也可以很好的培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維發(fā)散能力、邏輯思維能力、解決問題能力，還可以提高學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析和探索的能力.一個(gè)結(jié)論的證明，其證明思路和過程都不是單一的，上文筆者提到的都是比較基礎(chǔ)的方式.學(xué)生要想真正掌握證明策略，還需要對(duì)大量的數(shù)學(xué)理論和定理進(jìn)行反復(fù)證明實(shí)踐，從而明確每種類型證明題的解題思路，使用正確的證明方法，并能舉一反三，獲得良好的學(xué)習(xí)效果.J