一道平幾題的多解剖析

☉江蘇省高郵市第一中學(xué) 沈紅梅

【例題】（石家莊市2018屆高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）·16）如圖1所示，平面四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，AB=1，BC=2 ，AC=CD，AC⊥CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為_(kāi)_____.

圖1

解題思路：（1）建立不同三角形內(nèi)的邊角關(guān)系，得到相應(yīng)的解析式來(lái)求解最值；（2）將整個(gè)平面圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)坐標(biāo)建立關(guān)系式；（3）將所要求解的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為邊AC的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)思想來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題；（4）通過(guò)垂直作輔助線，利用三角形相似建立關(guān)系式來(lái)處理；（5）以靜制動(dòng)，將不在一起的條件創(chuàng)新性地放在一起來(lái)處理；（6）將四邊形的對(duì)角線與四條邊通過(guò)托勒密不等式建立關(guān)系來(lái)處理.下面我們具體討論這六種解法.

思路方向1：解三角形思維是此類(lèi)問(wèn)題中最常見(jiàn)的解題方法，也是考慮問(wèn)題中最易想到的基本方法.設(shè)出相應(yīng)的角，通過(guò)三角形的轉(zhuǎn)化，利用不同三角形間的邊角關(guān)系，再利用正弦定理和余弦定理來(lái)轉(zhuǎn)化與處理，結(jié)合三角恒等變換，通過(guò)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.本解法的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸，運(yùn)算時(shí)要有耐心，認(rèn)真細(xì)致.

解法1（解三角形法）：設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β，

則當(dāng)α=135°時(shí)，BD2有最大值9，BD取得最大值為3.故填3.

思路方向2：涉及平面幾何比較難處理時(shí)，經(jīng)?？梢钥疾榻ㄏ?，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系的建立，結(jié)合解析幾何來(lái)轉(zhuǎn)化，也是解決此類(lèi)問(wèn)題中比較常見(jiàn)的方法之一.巧妙建立平面直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)A放在單位圓上，引入三角參數(shù)，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模的運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換，通過(guò)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.本解法巧在建系，以運(yùn)算代說(shuō)明.

解法2（建系法）：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xBy，則C（，0），設(shè)∠ABC=α，則A（cosα，sinα），

思路方向3：涉及平面幾何比較難處理時(shí)，經(jīng)?？梢赞D(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)與方程的關(guān)系來(lái)處理，這也是解決此類(lèi)問(wèn)題中比較常見(jiàn)的方法之一.設(shè)AC=CD=x，結(jié)合余弦定理求解cos∠ACB的值，通過(guò)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sin∠ACB的值，把BD2表示成參數(shù)x的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)與方程的思維，利用判別式確定對(duì)應(yīng)的取值范圍，進(jìn)而確定BD的取值范圍即可.本解法在得到BD2=2+后，由于判斷函數(shù)的最值問(wèn)題的處理方法多樣，所以可以利用函數(shù)與方程法處理，也可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)法來(lái)處理，還可以通過(guò)三角換元思維來(lái)處理等.

綜上所述:中西醫(yī)結(jié)合對(duì)甲狀腺功能亢進(jìn)癥患者進(jìn)行治療能夠明顯改善甲狀腺功能,且臨床療效良好,安全性高,不良反應(yīng)發(fā)生率低,值得廣泛推廣。

在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·

則當(dāng)α=135°時(shí)，|B—→D|2有最大值9，BD取得最大值為3.故填3.BC·cos∠ACB，即1=x2+2-2xcos∠ACB，解得cos∠ACB=，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sin∠ACB=

在△BCD中，由余弦定理可得

思路方向4：通過(guò)過(guò)點(diǎn)A、D作BC邊上的垂線，把斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，利用直角三角形中的邊角關(guān)系以及勾股定理來(lái)轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換，通過(guò)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.輔助線法在實(shí)戰(zhàn)中應(yīng)用廣泛，往往可以起到出其不意的效果.

解法4（輔助線法）：設(shè)∠ABC=α，如圖2，作AE⊥BC，DF⊥BC，

圖2

由AC=CD，AC⊥CD，可得Rt△ACE≌Rt△CDF，

所以DF=CE=EB+BC

CF=AE=sin（180°-α）=sinα，

則BD2=BF2+DF2

=5+4sin（α-45°），

因此當(dāng)α=135°時(shí)，BD2有最大值9，BD取得最大值為3，故填3.

思路方向5：通過(guò)將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，先結(jié)合旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的邊角關(guān)系，再利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)問(wèn)題，最后結(jié)合圖形，以動(dòng)制靜來(lái)處理相應(yīng)的最值問(wèn)題.本解法思維巧妙，借助初中平面幾何的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決高中問(wèn)題，回歸本源.有時(shí)采用初中平面幾何的知識(shí)來(lái)解決一些高中的相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以使得問(wèn)題解決起來(lái)更流暢、快捷.

解法5（平幾法）：如圖3，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

圖3

因?yàn)锳C=CD，AC⊥CD，則旋轉(zhuǎn)過(guò)后點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，記點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B′，

則B′D=1，即點(diǎn)D在以點(diǎn)B′為圓心，半徑為1的圓周上，

結(jié)合圖形可得BD≤BB′+B′D=2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)B，B′，D三點(diǎn)共線且點(diǎn)B′在線段BD上時(shí)等號(hào)成立，故填3.

思路方向6：（托勒密不等式法）本解法涉及凸四邊形的對(duì)邊、對(duì)角線等的關(guān)系問(wèn)題，考慮利用特殊的幾何定理：托勒密不等式（凸四邊形的兩組對(duì)邊乘積和不小于其對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓或共線時(shí)等號(hào)成立）來(lái)處理.處理巧妙，過(guò)程簡(jiǎn)單快捷.本解法涉及的托勒密不等式不屬于課本知識(shí)，所以學(xué)生不易掌握，只是作為一個(gè)課外的拓展解法來(lái)處理.

解法6：設(shè)AC=CD=a，

由托勒密不等式（凸四邊形的兩組對(duì)邊乘積和不小于其對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓或共線時(shí)等號(hào)成立）可得AD·BC+AB·CD≥AC·BD，

通過(guò)從多個(gè)不同角度來(lái)處理，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來(lái)，多角度出發(fā)，多方面求解，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的，進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能的目的.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”J