一道雙變?cè)钪殿}的多思維角度剖析

☉山東省泰安第一中學(xué) 李曉楠

在近年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會(huì)碰到求解雙變?cè)蚨嘧冊(cè)拇鷶?shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題.此類問(wèn)題往往難度較大，思維方式多變，方法有時(shí)也多樣.多做題不如精做題，當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，以求達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.下面結(jié)合一道雙變?cè)鷶?shù)式的最值題來(lái)加以實(shí)例剖析，多角度切入，來(lái)體會(huì)其異曲同工之妙.

【問(wèn)題】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+2xy-1=0，則x2+y2的最小值為_(kāi)_____.

分析：這是一道雙變?cè)谝阎獥l件下求其代數(shù)式的最值問(wèn)題，這類問(wèn)題一直受備命題者的青睞.通過(guò)認(rèn)真審視這道題，在不同視角下，得到了該題的不同解題思維與對(duì)應(yīng)的精彩解法.

思維角度1：結(jié)合已知關(guān)系式進(jìn)行因式分解，通過(guò)對(duì)關(guān)系式x+2y進(jìn)行換元，得到x、y關(guān)于新參數(shù)的關(guān)系式，代入所要求解的代數(shù)式，通過(guò)變形，利用基本不等式進(jìn)行求解.對(duì)已知等式進(jìn)行因式分解，采用換元法，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升效益.

思維角度2：結(jié)合已知關(guān)系式得到x2+2xy=1，通過(guò)基本不等式法的轉(zhuǎn)化，并結(jié)合所要求解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比系數(shù)得到關(guān)系式1+=t，求解參數(shù)t的值并代入不等式，通過(guò)不等式的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化即可確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題.

解法2（基本不等式法）：由于x2+2xy-1=0，則有x2+2xy=1，結(jié)合基本不等式有1=x2+2xy≤x2+x2+ty（2其中參數(shù)t＞0），當(dāng)且僅當(dāng)x2=ty2時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合系數(shù)關(guān)系

思維角度3：結(jié)合已知關(guān)系式得到x2+2xy=1，設(shè)x2+y2=t（t＞0），進(jìn)而建立關(guān)系式x2+y2=t（x2+2xy），轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用函數(shù)與方程，結(jié)合判別式來(lái)確定最值問(wèn)題.

解法3（二次方程法）：由于x2+2xy-1=0，則有x2+2xy=1，設(shè)x2+y2=t（t＞0），則有x2+y2=t（x2+2xy），整理有（1-t）x2-2tyx+y2=0，由以上關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，可得1-t≠0且Δ=4t2y2-4（1-t）y2≥0，整理有t2+t-1≥0，解得t≥

思維角度4：結(jié)合已知關(guān)系式得到x2+2xy=1，通過(guò)代數(shù)式x2+y2的除“1”轉(zhuǎn)化為分式，結(jié)合參數(shù)t=的引入，通過(guò)轉(zhuǎn)化相應(yīng)的分式，結(jié)合基本不等式來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題.

思維角度5：根據(jù)所要求解的代數(shù)式的形式進(jìn)行三角換元x=rcosα，y=rsinα，代入已知關(guān)系式并分離參數(shù)r，結(jié)合三角恒等變換，并利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題即可.

解法5（三角換元法）：由于x2+2xy-1=0，則有x2+2xy=1，設(shè)x=rcosα，y=rsinα，則有r2cos2α+2r2sinαcosα=1，整理可

思維角度6：結(jié)合已知關(guān)系式得到x2+2xy=1，設(shè)出x2+y2=r2，進(jìn)而結(jié)合三角換元思維代入關(guān)系式1=x2+2xy，通過(guò)三角恒等變換，并利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.

解法6（三角換元法）： 設(shè)x2+y2=r2，則有x=rcosα，y=rsinα，

由于x2+2xy-1=0，則有x2+2xy=1，

思維角度7：根據(jù)x2+2xy-1=0，引入?yún)?shù)t與0的乘積作差，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)配方，并根據(jù)使得不等式成立時(shí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)比較建立參數(shù)t的根式方程，通過(guò)求解根式方程來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題即可.

解法7（比較系數(shù)法）：由于x2+2xy-1=0，所以x2+y2=x2+y2-（tx2+2xy-1）=（1-t）x2-2txy+y2+t=（x-y）2+t≥t，要使得以上不等式成立，只要2t=2，解得t=不滿足根式方程，舍去），所以

思維角度8：結(jié)合極坐標(biāo)的幾何意義知x2+y2=ρ2表示的是曲線x2+2xy-1=0上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，進(jìn)而結(jié)合極坐標(biāo)公式代入關(guān)系式1=x2+2xy，通過(guò)三角恒等變換，并利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.

解法8（極坐標(biāo)法）：根據(jù)極坐標(biāo)方程可知x2+y2=ρ2，其表示的是曲線x2+2xy-1=0上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，

而 x=ρcosθ，y=ρsinθ， 所 以 1=x2+2xy=ρ2cos2θ+

思維角度9：結(jié)合x(chóng)2+2xy-1=0得到曲線結(jié)合x(chóng)2+y2=r2表示的是曲線的距離的平方，通過(guò)求導(dǎo)，并結(jié)合圓的切線方程，建立對(duì)應(yīng)切線的斜率相等，進(jìn)而得到切點(diǎn)（x0，y0）所對(duì)應(yīng)的值，從而可知x2+y2=r2≥x02+y02來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題即可.

圖1

解法9（數(shù)形結(jié)合法）：由x2+y2=r2，其表示的是曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圖1可知當(dāng)曲線x2+y2取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)為（x0，y0）（不失一般性，取切點(diǎn)位于第一象限內(nèi)），由過(guò)切點(diǎn)（x0，y0）的切線的斜率為y2=r2上，過(guò)切點(diǎn)（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，此時(shí)

總結(jié)：解決此類兩變?cè)亩未鷶?shù)式問(wèn)題，往往根據(jù)條件對(duì)已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化或處理，將所要求解的雙變?cè)亩未鷶?shù)式利用換元思維、基本不等式思維、方程思維、三角函數(shù)思維以及其他相關(guān)的思維方式加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合相關(guān)的知識(shí)加以解決.

著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中指出：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都是成串成長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”通過(guò)典型實(shí)例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開(kāi)闊，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握更加熟練，同時(shí)思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識(shí)水平和思維能力.J