高中數(shù)學(xué)圓錐曲線部分教學(xué)研究

☉安徽省臨泉第一中學(xué) 李曉燕

圓錐曲線部分是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位，它是連接代數(shù)和幾何兩部分知識(shí)的重要橋梁.另外，圓錐曲線部分的知識(shí)貼近生活，并且包含許多重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過該部分的學(xué)習(xí)，能夠有效提高自身的思維水平，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).從高考數(shù)學(xué)試題的角度來看，圓錐曲線部分的知識(shí)占據(jù)的分值較重，并且都是結(jié)合其他的知識(shí)點(diǎn)以綜合題的形式出現(xiàn)，該部分的題目成為了高校甄別考生的重要題目.因此，研究圓錐曲線教學(xué)，不僅有助于提高課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還有助于學(xué)生在高考中取得一個(gè)良好的成績.

一、圓錐曲線部分知識(shí)概述

圓錐曲線部分知識(shí)具有較強(qiáng)的綜合性，它能夠與高中數(shù)學(xué)中的多部分知識(shí)結(jié)合，進(jìn)而考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.從教材上來看，圓錐曲線部分的知識(shí)主要包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線幾個(gè)部分，它們能夠和導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何等知識(shí)相結(jié)合，與我們的日常生活和生產(chǎn)有著密切的聯(lián)系.

二、高考試題中圓錐曲線部分考點(diǎn)分析

通過對近幾年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分考題的統(tǒng)計(jì)來看，該部分知識(shí)所出題目的類型主要集中在選擇題和解答題上，填空題極少出現(xiàn).在2015年的吉林省高考數(shù)學(xué)理科試題中，圓錐曲線部分的試題占了17分，其中第10題的選擇題是關(guān)于雙曲線的知識(shí)，第20題的解答題是關(guān)于橢圓的.同年的文科數(shù)學(xué)試題中，也是考查了雙曲線和橢圓兩個(gè)方面的知識(shí)，其中雙曲線部分的知識(shí)依然是以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題依然是選取了橢圓部分的知識(shí).在2016年的理科數(shù)學(xué)試卷中，圓錐曲線部分的知識(shí)依然是考查雙曲線和橢圓兩部分，雙曲線部分知識(shí)依然是以選擇題的形式來考查，解答題部分依然是選擇橢圓部分.在文科試卷中，對圓錐曲線部分知識(shí)的考查出現(xiàn)了變動(dòng)，考查了拋物線和橢圓兩部分的內(nèi)容，其中選擇題部分考查的是拋物線的相關(guān)知識(shí)，解答題部分依然是考查橢圓部分的知識(shí).在2017年的理科數(shù)學(xué)試卷中，圓錐曲線部分的知識(shí)點(diǎn)考查的是雙曲線和橢圓部分的知識(shí)，題型的選擇和知識(shí)點(diǎn)的分布與前幾年一樣.由此可見，高考數(shù)學(xué)關(guān)于圓錐曲線部分的考題相對穩(wěn)定，其中橢圓部分的知識(shí)成為了歷年高考數(shù)學(xué)解答題中的必考知識(shí)點(diǎn).

在高考數(shù)學(xué)試題中，圓錐曲線部分的知識(shí)除了考查學(xué)生對書本知識(shí)的掌握情況以外，還考查學(xué)生數(shù)學(xué)思想的掌握.尤其是數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程思想，考查的頻率最高，而數(shù)形結(jié)合思想是圓錐曲線部分考查的重點(diǎn)，函數(shù)與方程思想主要通過直線與圓錐曲線相結(jié)合的題目來考查.

三、學(xué)生對圓錐曲線問題的掌握情況

從直觀水平上來看，通過高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)具備了對圓錐曲線直觀認(rèn)識(shí)的水平，當(dāng)遇到點(diǎn)的軌跡滿足圓錐曲線的幾何特征時(shí)，就能夠知道要利用圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)來解答，但是有些時(shí)候容易忽略其中細(xì)節(jié)，導(dǎo)致出現(xiàn)問題.例如，動(dòng)圓N和定圓C1：x2+y2+6x=0外切，同時(shí)還內(nèi)切于定圓x2+y2-6x=40，請求出動(dòng)圓的圓心N的運(yùn)動(dòng)軌跡.在這一題目中，主要考查了學(xué)生對橢圓定義和橢圓的直觀認(rèn)識(shí)，在解決這一問題的時(shí)候，學(xué)生可以通過數(shù)形結(jié)合和代數(shù)運(yùn)算的方式來求圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，這種方法解題的前提是要求學(xué)生對橢圓的定義有深刻的認(rèn)識(shí).另一種方法就是通過題目中已知的等量關(guān)系，來求圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡.相比較于第一種方法，這種方法計(jì)算量較大，但是也可以求出最終的結(jié)果.

從描述水平上來看，通過高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，僅有一部分學(xué)生能夠達(dá)到圓錐曲線的描述水平，能夠借助性質(zhì)和公式進(jìn)行簡單的推理.例如，在2012年高考數(shù)學(xué)全國卷2中有這一問題：F1和F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是直線x=上的一點(diǎn)，如果△F1PF2為底角是30°的等腰三角形，那么E的離心率是（ ）.

該題就是考查學(xué)生對橢圓的相關(guān)性質(zhì)的理解和作圖能力，在對學(xué)生進(jìn)行測試的時(shí)候，多數(shù)學(xué)生能夠?qū)Ψ匠痰奈恢冒盐諟?zhǔn)確.只有半數(shù)多一點(diǎn)的學(xué)生能夠正確的對這一問題進(jìn)行演算，由此可見，學(xué)生在對圓錐曲線的描述水平這一階段，對于簡單問題能夠準(zhǔn)確解答，但是對于稍微復(fù)雜的問題就會(huì)出現(xiàn)問題.

從理論水平上來看，學(xué)生在演繹推理和證明幾何關(guān)系方面的能力參差不齊，通過對學(xué)生的測試可以發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對題干中信息處理的能力有所欠缺，并且在圖形和數(shù)字的轉(zhuǎn)化上也不到位.例如，2014年高考數(shù)學(xué)全國卷2中的這一題目：F1和F2是橢圓

（2）如果直線MN在x軸上的截距是2，|MN|=5|F2N|，求a，b的值.

該題就是考查學(xué)生演繹推理、綜合應(yīng)用和計(jì)算等能力，在解第一問的時(shí)候有兩種方法，可以通過橢圓的相關(guān)知識(shí)來求解，也可以借助直角三角形和橢圓的相關(guān)知識(shí)來求解.在第二問中，很多學(xué)生對題目中“在y軸截距”的信息理解不到位，并且對題目中的部分隱含條件也沒有正確的利用起來.這就說明學(xué)生對題目信息和所學(xué)知識(shí)鏈接整合能力存在欠缺.

總體上來看，學(xué)生對圓錐曲線部分的掌握存在以下問題：首先，他們對于圓錐曲線部分的知識(shí)理解不到位，尤其是概念方面的知識(shí)，理解不夠深刻，通過學(xué)生的解題我們就可以看出來，很多學(xué)生不能夠借助相關(guān)的定義概念來完成解題，并且，有些時(shí)候他們還會(huì)混淆這些概念之間的關(guān)系，導(dǎo)致自身解題錯(cuò)誤.其次，學(xué)生在符號(hào)、圖形、文字等數(shù)字語言之間的轉(zhuǎn)化不夠靈活，對于高中圓錐曲線部分的知識(shí)，在解題中應(yīng)用最多的就是數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生需要將題目中的文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，再將它們轉(zhuǎn)化為數(shù)字符號(hào)語言，經(jīng)過多重轉(zhuǎn)化尋找問題的突破口.很多學(xué)生就是在這些語言之間的轉(zhuǎn)化上存在欠缺，導(dǎo)致中間環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，最終導(dǎo)致解題失敗.最后，學(xué)生對圓錐曲線部分綜合解題能力有欠缺，很多學(xué)生在單獨(dú)面對圓錐曲線部分的單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，能夠準(zhǔn)確的回答，一旦涉及到綜合類的問題，就感覺無從下手，這些就是學(xué)生綜合解題能力不足的表現(xiàn).的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是C上的一點(diǎn)，其中MF2和x軸垂直，直線MF1與C相較于N.

四、高中數(shù)學(xué)圓錐曲線部分教學(xué)建議

（一）立足高考，放眼未來

圓錐曲線部分作為高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，在教學(xué)中要給予足夠的重視，要密切研究高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分的出題動(dòng)向，及時(shí)的調(diào)整我們的教學(xué)方式.另外，還要關(guān)注學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.圓錐曲線部分的知識(shí)在生活中被廣泛應(yīng)用，例如全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)、音樂臺(tái)的拋物面墻等，在教學(xué)中通過引入這些實(shí)例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.而且，通過圓錐曲線部分的學(xué)習(xí)，還有助于學(xué)生思維能力、運(yùn)算能力和推理能力的提高，因此，教師在教學(xué)中不僅要注重基本知識(shí)和解題技能的傳授，還要將培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力放到同樣重要的位置上.

（二）選擇適當(dāng)?shù)姆绞剑⒅鼗靖拍畹睦斫?/h3>

基本概念是學(xué)生學(xué)習(xí)該部分知識(shí)的基礎(chǔ)，教師要選擇合適的方式幫助學(xué)生理解相關(guān)的概念，讓學(xué)生能夠在今后的解題中靈活運(yùn)用.例如，在橢圓部分的教學(xué)中，有些教師按照教材中的方式，直接將橢圓的概念呈現(xiàn)給學(xué)生，還有些教師借助幾何畫板進(jìn)行直觀的展示.幾何畫板的應(yīng)用雖然能夠輔助學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓，但是用幾何畫板來展示橢圓的性質(zhì)就需要引入以前學(xué)過的垂直平分線的性質(zhì)，如果學(xué)生對該部分知識(shí)掌握不靈活，勢必會(huì)影響對橢圓概念的認(rèn)識(shí).另外，結(jié)合橢圓定義的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為根據(jù)人教版高中數(shù)學(xué)課本上的方式來引入更易讓學(xué)生接受.因此，選擇合適的方式，才能夠提高學(xué)生對基本概念的理解，才是圓錐曲線概念教學(xué)的根本.

（三）注重學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)

圓錐曲線部分的知識(shí)不是單獨(dú)出現(xiàn)的，它往往與其他的知識(shí)相結(jié)合共同出現(xiàn)，并且對學(xué)生的綜合能力要求較高.首先，在該部分知識(shí)的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析題干信息，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力，使學(xué)生能夠從題干中得到足夠的數(shù)學(xué)信息.其次，提高學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)的能力，尤其是橢圓、雙曲線和拋物線部分的知識(shí)，注意讓學(xué)生加以區(qū)分，尤其是其中a，b，c，d各參數(shù)的關(guān)系要明確.我們還可以借助一些題目的練習(xí)，來提高學(xué)生的綜合能力.需要注意的是，在題目選擇的過程中，盡量選擇與生活實(shí)踐相關(guān)的問題，這樣還有助于培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題的能力.