對一道質(zhì)檢題的多解的深度研究

☉江蘇省常熟市梅李高級中學(xué) 周志杰

例 （2018江蘇某市檢測題）已知函數(shù)f（x）=（ax2+2ax+1）ex-2.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；

分析：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等.（Ⅰ）通過對f（x）求導(dǎo)，并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況來確定函數(shù)的單調(diào)性問題，注意對導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)取值還要進(jìn)一步分類討論；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論確定x1與x2的值，通過對參數(shù)a的分類討論并結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）的最值問題的轉(zhuǎn)化來證明相應(yīng)的不等式；也可以利用更換主元法來處理.

解析：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=（ax2+2ax+1）ex-2，

所以f′（x）=（ax2+4ax+2a+1）ex.

令u（x）=ax2+4ax+2a+1，

①當(dāng)a=0時，u（x）＞0，f′（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）.

②當(dāng)a＞0時，△=16a2-4a（2a+1）=4a（2a-1），

所以當(dāng)x∈（-∞，x1）或x∈（x2，+∞）時，

u（x）＞0，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x1，x2）時，u（x）＜0，f′（x）＜0；

所以（fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）.

所以當(dāng)x∈（x2，x1）時，u（x）＞0，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，x2）或x∈（x1，+∞）時，u（x）＜0，f′（x）＜0；所以f（x）的單調(diào)遞

（Ⅱ）證法1（分類討論法1）：

所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x≥0時，

f（x）≤f（0）=-1＜0；

由（Ⅰ）知f（x）在區(qū)間（0，x1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（x1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x≥0時，f（x）max=f（x1）=（+2ax1+1）ex1-2，因?yàn)?4ax1+2a+1=0，則有=-4ax1-2a-1，且a=

所以要證f（x）＜0，

即證（x1+1）-4x1-2＜0.

設(shè)g（x）=（x+1）ex-x2-4x-2，

則g′（x）=（x+2）ex-2x-4=（x+2）（ex-2），

所以當(dāng)x∈（0，ln2）時，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間（0，ln2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln2，1）時，g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間（ln2，1）上單調(diào)遞增.

因?yàn)間（0）=-1＜0，g（1）=2e-7＜0，

所以當(dāng)x∈（0，1）時，恒有g(shù)（x）＜0.

又因?yàn)閤1∈（0，1），

所以g（x1）＜0，

從而當(dāng)x≥0時，f（x）≤f（x1）＜0.

證法2（分類討論法2）：由證法1，可得（*）式成立.

所以當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，

又因?yàn)閤1∈（0，1），

從而當(dāng)x≥0時，f（x）＜0.

證法3（分類討論3）：由證法1，可得（*）式成立.

所以φ（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，又因?yàn)棣眨?）=-1＜0，φ（1）=e-＞0，故φ（0）φ（1）＜0，所以φ（x）在區(qū)間（0，1）上恰有一個零點(diǎn)x0，且當(dāng)x∈（0，x0），φ（x）＜0，即g′（x）＜0，所以g（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x0，1），φ（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在區(qū)間（x0，1）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x∈（0，1）時，恒有g(shù)（x）＜0，

又因?yàn)閤1∈（0，1），

所以g（x1）＜0，

從而當(dāng)x≥0時，f（x）＜0.

證法4（更換主元法）：由f（x）=（ax2+2ax+1）ex-2=［ex（x2+2x）］a+ex-2，

令φ（a）=［ex（x2+2x）］a+ex-2，顯然當(dāng)x≥0時，ex（x2+2x）≥0，

所以要證x≥0時，f（x）＜0，

只需證x≥0時，ex（x2+2x-7）+14＞0，

令g（x）=ex（x2+2x-7）+14，

則g′（x）=ex（x2+4x-5）=（x-1）（x+5）ex，

所以當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x≥0時，

g（x）≥g（1）=14-4e＞0，

從而當(dāng)x≥0時，f（x）＜0.

通過從多個不同角度的處理，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，從多角度出發(fā)，多方面求解，真正實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的，進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能的目的.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”H