巧妙轉(zhuǎn)化 靈活變通
——從“化歸法”專題習(xí)題課說(shuō)起

☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 孫 丹

“化歸”即轉(zhuǎn)化，是在分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候采用某種數(shù)學(xué)方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變換，使之轉(zhuǎn)化進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法.實(shí)際上，化歸思想已經(jīng)滲透到了高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的方方面面，數(shù)學(xué)離不開(kāi)化歸思想，比如將未知量向已知量轉(zhuǎn)化，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化等.可以說(shuō)，化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法，也是一種應(yīng)用極廣的數(shù)學(xué)思維方式.

最近，筆者聽(tīng)了一高三習(xí)題課，主題就是“化歸與轉(zhuǎn)化”.授課老師結(jié)合一系列的練習(xí)題向?qū)W生講解了這一思想方法的常用情形，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)與掌握這一思想方法.個(gè)人認(rèn)為教學(xué)效果顯著，現(xiàn)從以下幾點(diǎn)進(jìn)行論述.

適用情形一：追本溯源，復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)化處理

【教師】同學(xué)們，高中階段我們學(xué)習(xí)的函數(shù)很多，有反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，這些基本的函數(shù)類型就是大家處理復(fù)雜函數(shù)的題根，題根能給我們的解答過(guò)程提供化歸的方向.因此，同學(xué)們?cè)谟龅揭恍?fù)合函數(shù)時(shí)可以嘗試將其向題根轉(zhuǎn)化，變成初等函數(shù)，問(wèn)題也就迎刃而解了.下面我們以具體的練習(xí)進(jìn)行說(shuō)明.

【案例展示】已知f（x）=cos2x-sinx，求函數(shù)f（x）的值域.

【教師提問(wèn)】同學(xué)們，拿到這道題，大家有什么思路？

【學(xué)生甲】f（x）涉及到了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，首先需要統(tǒng)一，可以把cos2x轉(zhuǎn)化為1-2sin2x，函數(shù)f（x）也就變成了-2sin2x-sinx+1.

【教師提問(wèn)】沒(méi)錯(cuò)，這是比較合理的處理方法，之后要怎么求解函數(shù)f（x）的值域呢？直接用三角函數(shù)的內(nèi)容？

【學(xué)生乙】可以換元處理，令a=sinx，原函數(shù)也就變成了f（a）=-2a2-a+1，根據(jù)三角函數(shù)的值域可以知道a的取值范圍為［-1，1］.二次函數(shù)值域的求解就很容易了，結(jié)合圖像（如圖1）我們就知道值域?yàn)?/p>

圖1

【評(píng)析】二次型函數(shù)、高次函數(shù)等都是?？碱}型，這些函數(shù)看起來(lái)形式復(fù)雜，難度很大，其實(shí)歸根結(jié)底就是對(duì)二次函數(shù)的考察，只要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化處理，進(jìn)行變量代換，明確新的變量的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，問(wèn)題很容易解決.

適用情形二：不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容.對(duì)于不等式的考查往往不會(huì)局限在這個(gè)單一的知識(shí)點(diǎn)上，而是與其他內(nèi)容相結(jié)合，形成更為復(fù)雜的綜合題，這些綜合題對(duì)學(xué)生的解題方法、思維、能力的要求更高.解題時(shí)，學(xué)生需要將題目還原成一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，逐步解決，這個(gè)過(guò)程也是“化歸思想”的體現(xiàn).下面以不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)為例進(jìn)行說(shuō)明.

【案例展示】已知x的取值范圍為［-1，2］時(shí)，不等式a≥x2-2x-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【教師提問(wèn)】在x的取值范圍內(nèi)，a≥x2-2x-1恒成立，這個(gè)條件說(shuō)明了什么？

【學(xué)生甲】無(wú)論x取什么值，a都要比x2-2x-1取到的值大.

【教師提問(wèn)】怎么把這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？

【學(xué)生乙】在x∈［-1，2］的范圍內(nèi)，a大于等于x2-2x-1的最大值.

【教師提問(wèn)】沒(méi)錯(cuò)，這么一來(lái)，這道不等式問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)問(wèn)題.哪位同學(xué)在黑板上解答一下.

【學(xué)生丙板書(shū)】設(shè)f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，

因?yàn)閤的取值范圍為［-1，2］，

所以在x=-1時(shí)，f（x）max=2，

所以a∈［2，+∞）.

【評(píng)析】不等式反映的是不同變量之間的相互制約關(guān)系，是一種變量之間的內(nèi)在聯(lián)系.不等式與函數(shù)的單調(diào)性、有界性等性質(zhì)之間具有較強(qiáng)的聯(lián)系，因此在處理不等式時(shí)將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題是一種合理并且有效的解決方法.

適用情形三：立體幾何代數(shù)化

【案例展示】已知：在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為4，與面ABC相垂直.AB=3，BC=5.

求解：二面角A1-BC1-B1的余弦值是多少？

圖2

【教師提問(wèn)】在解決這個(gè)問(wèn)題前，同學(xué)們先思考一下，怎樣求解二面角？

【學(xué)生甲】作兩個(gè)面交線的垂線，構(gòu)造三角形.

【教師提問(wèn)】那這道題用常規(guī)方法可以做嗎？

【學(xué)生甲】有點(diǎn)麻煩，做出來(lái)我也不知道對(duì)不對(duì).

【教師提問(wèn)】考試時(shí)，答題之前同學(xué)們要認(rèn)真審題，看清每個(gè)已知條件，看已知條件滿不滿足你們選用的方法.這道題如果選用常規(guī)方法，計(jì)算量顯然太大，解答過(guò)程也不嚴(yán)謹(jǐn)，很容易會(huì)扣過(guò)程分.我給同學(xué)們提供一個(gè)思路，在平面幾何中，遇到計(jì)算題我們會(huì)建立平面坐標(biāo)系，借助向量進(jìn)行運(yùn)算，那么這里應(yīng)該怎么處理？

【學(xué)生乙】建立空間坐標(biāo)系，用空間向量算.

【教師提問(wèn)】那乙同學(xué)你上來(lái)解答一下.

【學(xué)生乙板書(shū)】由AC2+AB2=BC2，

得AB⊥AC.

又面AA1C1C⊥面ABC，

A1A⊥AC，

所以A1A⊥AB.

所以A1（0，0，4），B（0，3，0），

圖3

設(shè)平面A1BC1的法向量為m=（x1，y1，z1），平面B1BC1的法向量為n=（x2，y2，z2）

令m=（0，4，3）.

【評(píng)析】在解決幾何中的計(jì)算時(shí)，借助向量運(yùn)算的手段能使得解題過(guò)程更為清晰準(zhǔn)確.可以說(shuō)，向量是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題最有效的方法.在立體幾何中也是這樣，只要建立起適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，那么立體幾何中的所有運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決.

適用情形四：定點(diǎn)定值轉(zhuǎn)化為恒等式

在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中，解析幾何是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).以圓錐曲線為例，對(duì)于這一部分的知識(shí)內(nèi)容，相當(dāng)一部分學(xué)生不能理解圓錐曲線相關(guān)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法，拿到題目就是套公式進(jìn)行計(jì)算，而不是仔細(xì)審題，聯(lián)系其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.許多同學(xué)在解決圓錐曲線計(jì)算題時(shí)都會(huì)遇到計(jì)算量巨大的問(wèn)題，有同學(xué)表示算到最后不知道自己算的是什么，式子越算越復(fù)雜，就是求不出結(jié)果.下面以具體教學(xué)案例為說(shuō)明.

【教師提問(wèn)】同學(xué)們，在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，大家要養(yǎng)成將已知條件量化的習(xí)慣，尋找題目表達(dá)出來(lái)的各種數(shù)量關(guān)系.哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)一下題目中能提煉出哪些數(shù)量關(guān)系？

【學(xué)生】根據(jù)題干信息可以知道A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，0），F(xiàn)的坐標(biāo)為（-c，0）.P為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其為（x，y）.假設(shè)=u，所以有關(guān)系式：

因?yàn)镻在圓O：x2+y2=b2上，

所以滿足a2+b2-u2（b2+c2）+（2a-2u2c）x=0，

【教師提問(wèn)】你繼續(xù)算下去，看能不能得到最終結(jié)果.

【評(píng)析】在高考中，有關(guān)圓錐曲線計(jì)算結(jié)果恒為定值或者圖形恒過(guò)定點(diǎn)是常考題型，這類題目如果用常規(guī)方法進(jìn)行計(jì)算是很復(fù)雜的，顯然命題人考核的重點(diǎn)并不是計(jì)算，而是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.因此，同學(xué)們要熟練掌握化歸的思想方法，善于把這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的恒等式問(wèn)題，進(jìn)而簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算.

這節(jié)習(xí)題課后，筆者認(rèn)識(shí)到“化歸”這一思想方法能有效實(shí)現(xiàn)由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題、陌生問(wèn)題向熟悉問(wèn)題等的轉(zhuǎn)化.當(dāng)然，要做到這種變通，就需要學(xué)生具備較強(qiáng)的解題能力，而解題能力的關(guān)鍵就是基礎(chǔ)理論知識(shí).因此在日常的教學(xué)過(guò)程中，教師要強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生掌握好常規(guī)的思維方法.在這個(gè)基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行化歸思維方法訓(xùn)練，做到舉一反三，觸類旁通，提升數(shù)學(xué)解題能力.J