高中數(shù)學(xué)數(shù)列的學(xué)習(xí)方法及解題技巧

☉江蘇省蘇州第十中學(xué)校 陳春明

從目前的數(shù)學(xué)高考形勢(shì)上來看，高中的數(shù)列問題將會(huì)一直作為高考中的重點(diǎn)大題出現(xiàn)在試卷當(dāng)中.在學(xué)習(xí)的過程中，許多高中生對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)還不是足夠重視，他們只是掌握了簡(jiǎn)單的理論知識(shí)和解題方法，但是一旦遇到一些靈活性比較強(qiáng)的問題，他們就無法獨(dú)立完成.在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，學(xué)生們一定要跟著老師的講課節(jié)奏，并且在課下的練習(xí)當(dāng)中，多多總結(jié)，找到解題的關(guān)鍵并且對(duì)題目進(jìn)行分類匯總，最終掌握數(shù)列問題的解題技巧和思路.

一、數(shù)列的概念學(xué)習(xí)

在高中數(shù)學(xué)的數(shù)列學(xué)習(xí)中，由于絕大部分的學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中并沒有了解或者對(duì)這方面的知識(shí)有所接觸，因此在學(xué)習(xí)的初期都會(huì)產(chǎn)生厭倦或者畏難的心理，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)時(shí)就沒有了動(dòng)力，覺得高中數(shù)列的學(xué)習(xí)是一件十分困難的事情.在之前的敘述中，我們也提到了高中數(shù)列問題的靈活性以及多變性，因此在高中數(shù)列問題的學(xué)習(xí)當(dāng)中還是需要我們高中生在學(xué)習(xí)的初期就掌握好概念性問題，并且打好學(xué)習(xí)數(shù)列的基礎(chǔ)，抱著一種良好的學(xué)習(xí)心態(tài)，認(rèn)識(shí)到數(shù)列問題的本質(zhì)，就可以在練習(xí)當(dāng)中找到好的解題思路并且順利進(jìn)行.

對(duì)于我們高中生來說，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)的過程當(dāng)中，概念性的知識(shí)是一定要扎實(shí)掌握的，對(duì)一些相對(duì)比較容易解答的問題來說也不能輕易忽視，而是要對(duì)所有的知識(shí)都有著十足的把握.要知道無論是多么復(fù)雜的數(shù)列問題都是由一些容易的、小的知識(shí)點(diǎn)通過變換得來的.在目前的高中數(shù)學(xué)數(shù)列的知識(shí)當(dāng)中，高考里所涉及到的知識(shí)點(diǎn)并不是很多，考的知識(shí)點(diǎn)大多都集中在等比數(shù)列的計(jì)算方面，而我們很容易在計(jì)算過程當(dāng)中忘掉q=1的特殊情況從而粗心丟分.因此學(xué)生們?cè)诘缺葦?shù)列的學(xué)習(xí)當(dāng)中不光應(yīng)該掌握解題的方法和技巧，還應(yīng)該注意解題點(diǎn)的細(xì)節(jié).

二、等差數(shù)列問題

（一）合并求和法

在高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列的考試中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些相對(duì)特殊的數(shù)字，學(xué)生們?nèi)绻贿M(jìn)行單純的觀察并不能發(fā)現(xiàn)有什么特殊的規(guī)律出現(xiàn)，但是一旦將數(shù)列當(dāng)中單獨(dú)的項(xiàng)進(jìn)行提取組合，學(xué)生們就可以找到他們之間特殊的關(guān)系.當(dāng)我們遇到這種類型的數(shù)列問題時(shí)，正確的解題思路就是先將題目當(dāng)中給出來的項(xiàng)分別組合，然后觀察它們組合后得到的結(jié)果，最后再進(jìn)行統(tǒng)一的求和并得到結(jié)果.學(xué)生們?cè)谟龅竭@種提示往往會(huì)因?yàn)橐粫r(shí)找不到規(guī)律就放棄，因此在進(jìn)行練習(xí)時(shí)要注意總結(jié)，找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，掌握正確的解題思路.

比如這么一個(gè)問題：在數(shù)列中a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，請(qǐng)求得S1999的結(jié)果，解題的開始我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列并不是等差數(shù)列，同時(shí)也不是等比數(shù)列，但是通過觀察和計(jì)算我們可以得到的是a6m+1=2，并且a6m+1+a6m+2+…+a6m+6=0，m∈N，所以S1999=a1999=2.

（二）分組求和法

在高中數(shù)學(xué)的等差數(shù)列問題當(dāng)中，經(jīng)常性的遇到一些觀察不出來有什么規(guī)律的數(shù)列，他們一開始看起來不是等比數(shù)列更不像是等差數(shù)列，但是通常經(jīng)過一定的組合或者變化就會(huì)成為等差數(shù)列，這些變化的方法可以是拆分也可以是合并等，當(dāng)我們遇到這些問題時(shí)就可以先通過一定的觀察，找到其中的奧秘，然后通過拆分得到等差數(shù)列，最后再進(jìn)行運(yùn)算得到題目的最終的答案.學(xué)生們?cè)谟龅竭@類題時(shí)通常會(huì)手足無措，但是只要我們?cè)谄綍r(shí)的練習(xí)當(dāng)中多多注意，將老師講的例子以及自己課下練習(xí)的題目進(jìn)行總結(jié)思考，找到出題人的出題意圖，就可以很快的解決這一類型的等差數(shù)列問題.

（三）錯(cuò)位相減法

在高中數(shù)列問題解題過程當(dāng)中，通常也會(huì)用到錯(cuò)位相減法的解題方法，這種解題方法通常是會(huì)出現(xiàn)在讓學(xué)生們進(jìn)行前n項(xiàng)求和的題目當(dāng)中，錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用通常會(huì)使題目變得十分簡(jiǎn)便，學(xué)生們通過將數(shù)列當(dāng)中的公差以及首相求出來，然后再將它們通過等差公式正確的表達(dá)出來.在進(jìn)行解題時(shí)就可以通過錯(cuò)位相減的方式，得到想要的正確結(jié)果，但是在進(jìn)行這一類題目的解題時(shí)，一定要細(xì)心，寫出正確的表達(dá)式才能夠進(jìn)行下一步的計(jì)算，否則也是做無用功，同時(shí)我們還應(yīng)該注意題目的積累，做到舉一反三.

（四）通項(xiàng)求和法

在使用通項(xiàng)求和法的解題方法時(shí)重要的一步就是要將數(shù)列當(dāng)中的數(shù)進(jìn)行拆分，然后分別進(jìn)行求和，在進(jìn)行分項(xiàng)時(shí)要將其中的規(guī)律尋找出來，然后再按照一定的方法和規(guī)律將它們的值進(jìn)行歸納并且求解，首先就可以先將a1寫出來，然后再將a2寫出來，然后寫a3，最后就可以通過將其中的規(guī)律找出來之后就可以寫出來an，這樣就可以將最后的答案寫出來了.但是在進(jìn)行通項(xiàng)求和法的解題過程中，還應(yīng)該將其中的規(guī)律找出來，而且要知道在進(jìn)行這些問題的解決時(shí)，要將問題的關(guān)鍵點(diǎn)找到，并且運(yùn)用好數(shù)列當(dāng)中的性質(zhì)解決問題，我們高中生要將學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行靈活的運(yùn)用，將所有老師講的知識(shí)融會(huì)貫通，對(duì)不同的問題靈活的解決，隨機(jī)應(yīng)變.

三、等比數(shù)列問題

數(shù)列是高中生們重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時(shí)也是為學(xué)生們今后在大學(xué)中學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).在高考當(dāng)中，經(jīng)?？疾榈闹R(shí)就包括等比數(shù)列以及等差數(shù)列，并且通常等比數(shù)列出現(xiàn)的概率會(huì)更高一些，因?yàn)樵诘缺葦?shù)列當(dāng)中會(huì)有更多的知識(shí)與其相結(jié)合，來對(duì)學(xué)生進(jìn)行考察，比如其中會(huì)有指數(shù)函數(shù)以及不等式等知識(shí)，這些知識(shí)的融合都會(huì)導(dǎo)致學(xué)生們?cè)谶M(jìn)行問題的解決時(shí)產(chǎn)生一些困惑，但是我個(gè)人的觀點(diǎn)是如果只對(duì)一些簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，那么學(xué)生只要將一些等比數(shù)列的公式掌握住就可以了，并且準(zhǔn)確率還高，但是對(duì)于一些難度較高、系統(tǒng)性較強(qiáng)的問題來說，就需要學(xué)生們將一些基本的性質(zhì)與習(xí)題中的規(guī)律進(jìn)行統(tǒng)一結(jié)合來解決了，在這些數(shù)學(xué)方法的作用之下，學(xué)生們就可以將問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而保證解題的速度和效率.

等比數(shù)列與等差數(shù)列是基本上相同的，雖然在出題當(dāng)中有一點(diǎn)點(diǎn)的差別，但是以上等差數(shù)列解題過程當(dāng)中的方法比如通項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、分組求和法在等比數(shù)列當(dāng)中都是可以運(yùn)用起來的.我們?cè)诮鉀Q高中等差數(shù)列的題目時(shí)，一定注意不能一看到題就下筆去寫，而是要通過仔細(xì)地觀察，找到各項(xiàng)當(dāng)中的規(guī)律然后再進(jìn)行求解.比如在我們的試卷當(dāng)中經(jīng)常性的會(huì)出現(xiàn)這樣的一個(gè)例題，在等比數(shù)列當(dāng)中an＞0，并且公比為0到1之間的數(shù)，同時(shí)a2與a3的等比中項(xiàng)為5，且a1a5+2a3a5+a3a8=78，通過這樣的條件求（1）數(shù)列的an的通項(xiàng)公式；（2）假設(shè)bn=4-lgan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的總和，通常在這樣的題目當(dāng)中，第一小問都是比較容易解決的，我們通過題目當(dāng)中給出的條件，就可以將其中一項(xiàng)求出來，進(jìn)而就可以將公比以及首相求得，最后就可以求出通項(xiàng)公式，而對(duì)于第二問來說就需要學(xué)生們通過一定的變換得出bn-bn-1=1的結(jié)果，就可以知道bn是一個(gè)首項(xiàng)等于0，公差等于1的等差數(shù)列.

總而言之，高中數(shù)列問題的學(xué)習(xí)有著它獨(dú)特的方法和技巧，但是與其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容卻是密不可分的，在高中數(shù)列問題的學(xué)習(xí)中要注意對(duì)概念的掌握，同時(shí)更應(yīng)該多進(jìn)行習(xí)題的練習(xí)和總結(jié)，通過練習(xí)，運(yùn)用課上數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)解決，將總結(jié)的解題思路和技巧應(yīng)用到更多的題型當(dāng)中去，做到知識(shí)的融匯貫通，從而提高自己在數(shù)列方面的解題能力.J