由一道易錯(cuò)題引起的教學(xué)反思

劉羅敏

【摘要】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，對(duì)單調(diào)性的考查貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué).教師要經(jīng)常進(jìn)行教學(xué)反思，及時(shí)處理學(xué)生的反饋，訂正教學(xué)設(shè)計(jì)，使教學(xué)更有預(yù)見性、針對(duì)性.

【關(guān)鍵詞】單調(diào)性；學(xué)生反饋；教學(xué)反思

在我校高一年級(jí)期末考試中，出現(xiàn)了一道數(shù)學(xué)選擇題，據(jù)統(tǒng)計(jì)，這道題整個(gè)高一年級(jí)（約1 200名學(xué)生）的正確率僅為1.3%！這觸目驚心的數(shù)字帶給我們的不應(yīng)該是對(duì)學(xué)生的責(zé)備，而是教師對(duì)自己教學(xué)的反思.

易錯(cuò)題若f（x）=（6-a）x-4a，x<1，logax，x≥1 是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）.

A.65，6

B.65，6

C.（1，6）

D.（6，+∞）

這道題看似簡(jiǎn)單，實(shí)則極容易出錯(cuò).筆者參加工作已有數(shù)年時(shí)間，回想起當(dāng)時(shí)高一的教學(xué)情境，總結(jié)出該題錯(cuò)誤率如此高的原因：

（1）我校是云南升縣區(qū)的一所一級(jí)三等高中，高一新生大部分文化成績(jī)并不突出，基礎(chǔ)不扎實(shí)，沒有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，思維水平、理解能力還停留在初中的階段，還未適應(yīng)高中繁重、高難度高的學(xué)習(xí).

（2）“單調(diào)性”對(duì)于高一學(xué)生來說本就是一個(gè)陌生的、抽象的概念，教材把“單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)置在必修1第一章第3節(jié)（人教A版）.在這之前，學(xué)生接觸過的高中知識(shí)僅有“集合”“函數(shù)及其表示”，理解不了“單調(diào)性”很正常.

（3）教師對(duì)“單調(diào)性”這一新概念的教學(xué)不到位，只是照本宣科，沒有預(yù)見到學(xué)生在這一知識(shí)點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)的問題，從而有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué).

（4）教師沒有對(duì)基本初等函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行總結(jié).教材必修1上所列的基本初等函數(shù)只有指、對(duì)、冪三種函數(shù)，很多學(xué)生誤以為基本初等函數(shù)只有這3個(gè)，遇到其他函數(shù)就無從下手.

（5）學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不夠.如何用不等式來表示函數(shù)的單調(diào)性？如何求不等式的公共解？如何把不等式表示成區(qū)間？每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都環(huán)環(huán)相扣、缺一不可.

這道易錯(cuò)題其實(shí)是一個(gè)很好的反饋，是一個(gè)高價(jià)值題目.下面給出筆者對(duì)這道題的利用（實(shí)為錯(cuò)題后的一次總結(jié)課）.

一、對(duì)已學(xué)基本初等函數(shù)及其單調(diào)性的總結(jié)（表格由學(xué)生填寫）

函數(shù)解析式圖像影響單調(diào)性的因素

一次函數(shù)

反比例函數(shù)

二次函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

冪函數(shù)

二、對(duì)“函數(shù)單調(diào)性”的再理解

單調(diào)性的概念（略）對(duì)于高一新生來說，非常難理解，這就要求教師能夠具體化、有預(yù)見性、針對(duì)性地解釋這個(gè)概念.

（一）關(guān)于概念中關(guān)鍵字的幾點(diǎn)理解

增函數(shù)：增區(qū)間上所有的自變量都有x1

減函數(shù)：減區(qū)間上所有的自變量都有x1f（x2），即自變量增加其函數(shù)值反而減小，自變量減小其函數(shù)值反而增加，自變量的變化趨勢(shì)與其函數(shù)值的變化趨勢(shì)相反.

簡(jiǎn)言之，同步增，反步減.

（二）單調(diào)性在圖像上的體現(xiàn)

根據(jù)上述理解，將單調(diào)性反映在圖像上一定有如下規(guī)律：增函數(shù)的圖像從左到右一直是上升的，減函數(shù)的圖像從左到右一直是下降的.

（三）關(guān)于分段函數(shù)的單調(diào)性

分段函數(shù)也是函數(shù)的一種，它的單調(diào)性同樣遵循上述原則.

為了更形象地理解分段函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)置如下例題.

例請(qǐng)同學(xué)們分析下列分段函數(shù)的單調(diào)性.

（1）

（2）

（3）

（在這個(gè)例子中，學(xué)生的答案會(huì)是個(gè)很好的反饋，分析過程略.）

（四）現(xiàn)在來解決本文開始給出的易錯(cuò)題

若要f（x）在R上單調(diào)遞增，顯然各段都要遞增.是否還有其他限制？

因?yàn)閥=logax（x≥1）恒過（1，0），f（x）的圖像有①②③三種情況，只有②③兩種才符合f（x）的圖像從左至右一直上升.要怎樣用數(shù)學(xué)式子表示②③兩種情況？

事實(shí)上，只要y=（6-a）x-4a（x<1）在x=1的函數(shù)值小于等于y=logax（x≥1）在x=1的函數(shù)值即可.

滿足題意的不等式組為6-a>0，a>1，（6-a）×1≤loga1，

解得65≤a<6，表示成區(qū)間為65，6.

教學(xué)從來都不是一蹴而就的事情，必須反復(fù)反思、訂正、完善，才能事半功倍.須知，教師的“教”不是一件簡(jiǎn)單的事，學(xué)生的“學(xué)”也不是一件難事.只要教師“萬事俱備”，學(xué)生才能“扶搖而上”！