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    基于泰勒公式分析高等數(shù)學(xué)的解題技巧

    2018-02-09 16:34司國星閆麗娜
    關(guān)鍵詞:解題技巧高等數(shù)學(xué)

    司國星 閆麗娜

    【摘要】泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)公式,在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛,為學(xué)生解決高等數(shù)學(xué)問題提供了十分重要的幫助.本文介紹了泰勒公式的具體內(nèi)容,對學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中產(chǎn)生的問題進(jìn)行了相應(yīng)的分析,提出了怎樣運用泰勒公式提升高等數(shù)學(xué)的解題技巧的方法,加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象,促使學(xué)生在學(xué)習(xí)成績提高的同時,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法.

    【關(guān)鍵詞】泰勒公式;高等數(shù)學(xué);解題技巧

    一、泰勒公式的具體內(nèi)容

    在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,對于泰勒公式的應(yīng)用十分普遍,通過利用泰勒公式將低級函數(shù)展開成為冪級數(shù),求解函數(shù)的近似值.泰勒公式作為高等函數(shù)中的重要公式,在數(shù)學(xué)應(yīng)用中具有重要作用.泰勒公式的具體內(nèi)容為:設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),對該鄰域內(nèi)異于x0的任意點x,在兩點之中至少存在一點ξ,使得f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12!f″(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)n?。▁-x0)n+Rn(x),其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)?。▁-x0)n+1,ξ在x0與x之間.當(dāng)公式中x0=0時,f(x)=f(0)+f′(0)x+12!f″(0)x2+…+f(n)(0)n!xn+Rn(x),此公式是泰勒公式的子公式,被稱為麥克勞林公式.在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中對這兩類公式的應(yīng)用十分普遍.通常應(yīng)用泰勒公式與麥克勞林公式解決函數(shù)的極限、求函數(shù)極值、應(yīng)用到高階導(dǎo)數(shù)之中,從而為高等數(shù)學(xué)的解題提供方便的回答方式,為學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)提供了方便.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,讓教師在為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題講解時,簡化了解題步驟,讓數(shù)學(xué)的解題過程更便于學(xué)生的理解,提升了課堂效率.

    二、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生的問題

    學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時面對陌生的數(shù)學(xué)問題,極易產(chǎn)生疑問.學(xué)生在面對數(shù)學(xué)疑問的過程中,并不懂得如何利用數(shù)學(xué)公式解決數(shù)學(xué)問題.因此,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)加強對數(shù)學(xué)公式的理解,同時多做題、勤翻書,讓自己對數(shù)學(xué)公式的印象更加深刻.學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時總是把問題復(fù)雜化,如,在求解函數(shù)的極限時,學(xué)生運用公式的不恰當(dāng),讓解題方法復(fù)雜化,從而降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,影響了學(xué)生學(xué)習(xí)成績.學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題的過程中,應(yīng)總結(jié)教師的解題方法,面對數(shù)學(xué)問題時,認(rèn)真分析,抓住問題關(guān)鍵點,從而解決問題.學(xué)生在面對高等數(shù)學(xué)問題時,對問題分析的準(zhǔn)確性低,對問題矛盾的主要方面與次要方面把握不到位,學(xué)生對公式應(yīng)用的不熟練,促使學(xué)生無法解答數(shù)學(xué)難題.學(xué)生在把握數(shù)學(xué)問題主次時,可以通過同學(xué)之間的相互討論,師生之間的相互交流,分析問題的主次程度,在這一過程中總結(jié)出適合自己的學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)習(xí)慣.學(xué)生在計算函數(shù)極值過程中對泰勒公式運用方法的不恰當(dāng),也讓學(xué)生無法求出極值,從而影響數(shù)學(xué)問題的解答.在應(yīng)用泰勒公式的過程中,學(xué)生對高階導(dǎo)數(shù)的認(rèn)知不夠全面,不懂得怎樣利用泰勒公式解決高階導(dǎo)數(shù)問題.同時,學(xué)生對廣義積分的收斂性判斷不夠準(zhǔn)確,影響學(xué)生的運算過程,讓學(xué)生產(chǎn)生錯誤的運算結(jié)果,從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí).面對以上情況時,學(xué)生應(yīng)該加強對公式的記憶,在做題的過程中多應(yīng)用泰勒公式解題,提高運用泰勒公式的熟練程度,從而提升數(shù)學(xué)成績.

    三、泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的解題技巧

    (一)泰勒公式求函數(shù)的極限

    函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中的一個難點.函數(shù)分為初級函數(shù)與高級函數(shù),其中對于函數(shù)的極限求解也有不同的解決方法.泰勒公式在函數(shù)中的應(yīng)用十分普遍,在函數(shù)的極限問題中,泰勒公式主要被應(yīng)用于對函數(shù)極限結(jié)果的具體運算.以下用具體問題來說明.求 limx→0cosx-e-x22x4.解:cosx=1-12!x2+14!x4+o(x4),e-x22=1+-x22+12-x222+o-x222,所以 limx→0cosx-e-x22x4=-112.通過此計算過程,我們可以了解到,應(yīng)用泰勒公式進(jìn)行函數(shù)的極限求解過程中,學(xué)生對于泰勒公式的記憶一定要深刻,運用過程要熟練.泰勒公式在解答無窮小量中具有重要作用,泰勒公式被用于表達(dá)無窮小的階數(shù)和具體的表達(dá)式中的系數(shù).具體例子如下:已知,當(dāng)x→0時,ex-1+ax1+bx相對于x為三階無窮小,求a和b的值.解:首先要做的是把整個式子打開,ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3)+bx=1-bx+b2x2-b3x3+o(x3),所以ex-1+ax1+bx=ex-11+bx-ax1+bx=1+x+12!x2+13!x3-(1-bx+b2x2-b3x3)-(ax-abx2+ab2x3)+o(x3)=(1-a+b)x+12-b2+abx2+16+b3-ab2x3+o(x3),由整個題目的含義我們可以推斷出1-a+b=0而且12-b2+ab=0,依據(jù)這個結(jié)果我們可以算出a=12且b=12.通過泰勒公式在函數(shù)極限與求無窮小中的應(yīng)用,我們可以清晰地認(rèn)識泰勒公式對于解答函數(shù)問題的幫助.學(xué)生通過對公式的熟練掌握,有利于對函數(shù)問題的解答,方便學(xué)生對函數(shù)問題的探索.在對函數(shù)的解答過程中加深了對函數(shù)題型的了解,為函數(shù)的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

    (二)泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

    泰勒公式除了在函數(shù)中的應(yīng)用以外,還可以用于高階導(dǎo)數(shù)問題的解答.通過泰勒公式解答高階導(dǎo)數(shù)問題,簡化了學(xué)生的解題過程,讓學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程更加輕松.泰勒公式指導(dǎo)了高階導(dǎo)數(shù)的運算過程,為高階導(dǎo)數(shù)的解答,提供了解題思路,同時泰勒公式還可以應(yīng)用于更復(fù)雜的高階導(dǎo)數(shù)之中.

    (三)判斷廣義積分的斂散性

    泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中還可以應(yīng)用于判斷廣義積分的斂散性,級數(shù)的通項表達(dá)式通常由不同類型函數(shù)表達(dá)式構(gòu)成,函數(shù)的表達(dá)形式具有繁難性,往往是通過利用泰勒公式將級數(shù)進(jìn)行簡化或進(jìn)行相應(yīng)的運算簡化,以便對廣義積分的斂散性的判斷.例如,討論級數(shù)∑∞n=11n-lnn+1n 的斂散性.分析:在解題過程中直接根據(jù)通項判斷函數(shù)是正級數(shù)或非正級數(shù)十分困難,所以也無法準(zhǔn)確地判斷其收斂性.注意到lnn+1n=lnn+1n,若將其中的冪函數(shù)運用泰勒公式將其展開,形成冪的形式,在開二次方后與1n相呼應(yīng),讓其便于斂散性的判斷.解:∵lnn+1n=ln1+1n=1n-12n2+13n2-14n2+…<1n,∴l(xiāng)nn+1n<1n,∴un=1n-lnn+1n>0,故該級數(shù)是正項級數(shù),∵lnn+1n=1n-12n2+13n3+o1n3>1n-1n2+14n3=1n-12n32=1n-12n32,∴un<1n-1n-12n32=12n32,∵∑∞n=112n32收斂,運用正項級數(shù)比較判別法判斷斂散性,知原級數(shù)收斂.泰勒公式通過對函數(shù)的展開與收縮簡化了函數(shù)的斂散性的判斷方式.泰勒公式對于廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袛喾绞骄哂袠O強的簡化技巧,讓學(xué)生在運用過程中簡化了解題步驟,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.在判斷斂散性的過程中通過應(yīng)用泰勒公式提升了教師的講課效率,讓高等數(shù)學(xué)知識更加簡便易懂.

    (四)運用泰勒公式判斷函數(shù)極值

    泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用廣泛,為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了極大的幫助.運用泰勒公式解決求函數(shù)極值的問題,讓學(xué)生的解題過程更加簡單,簡化了解題過程,便于學(xué)生理解.同時,學(xué)生通過應(yīng)用泰勒公式問題,提升了研究數(shù)學(xué)問題的興趣.泰勒公式在函數(shù)極值中的應(yīng)用,增加了課堂解題的靈活性.

    四、結(jié)語

    總而言之,高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科,在學(xué)習(xí)過程中對于公式的熟練應(yīng)用十分重要,泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)中最重要的公式之一,對于函數(shù)的極限、函數(shù)極值等問題的解答具有重要作用,提升了答題效率.同時,泰勒公式對于判斷廣義積分的斂散性也能起到重要作用.學(xué)生通過掌握泰勒公式在各種高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用,提升了自身的答題技巧,培養(yǎng)了正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法,提升了數(shù)學(xué)成績.泰勒公式在教學(xué)課堂中的使用,便于學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的理解,讓教師的講課內(nèi)容更加通俗易懂,提升了課堂的教學(xué)效率.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]姚志健.泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2015(1):86-89.

    [2]金順利.關(guān)于泰勒(Taylor)公式應(yīng)用的幾個問題[J].滄州師范??茖W(xué)校學(xué)報,2009(2):102-104.

    [3]馮平,石永廷.泰勒公式在求解高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用[J].新疆職業(yè)大學(xué)學(xué)報,2003(4):64-66.endprint

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