以“三角函數(shù)”為例談高中數(shù)學(xué)知識梳理課教學(xué)

☉山東省博興第一中學(xué) 韓繼芳

知識梳理課是某一章節(jié)內(nèi)容教學(xué)結(jié)束之后幫助學(xué)生回歸教材、厘清教材脈絡(luò)體系并使各知識點產(chǎn)生有效關(guān)聯(lián)的課堂，這是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力并進(jìn)行知識系統(tǒng)建構(gòu)的課型.當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中因為教師對知識梳理課的重視力度不夠而出現(xiàn)諸多的問題.

一、梳理課的常見類型

筆者曾在“三角函數(shù)”這一內(nèi)容的知識梳理課上聽過不同教師的課堂教學(xué)，根據(jù)幾位數(shù)學(xué)教師的教學(xué)情況將知識梳理課大致分為以下幾種類型.

類型1：為了節(jié)約課堂時間少上甚至不上知識梳理課，這部分教師往往將知識梳理的內(nèi)容安排在課外讓學(xué)生自行完成.

類型2：在課堂上放任學(xué)生自行整理，學(xué)生在教師的甚少參與或點撥中因為各種原因逐漸梳理不下去了.

類型3：教師熟知教材中的各知識點并精心設(shè)計提問與學(xué)生進(jìn)行互動，教師提問、板書，以及學(xué)生的精彩回答使得課堂容量更大、氛圍更好.

教師在日常教學(xué)中有必要對梳理課型進(jìn)行認(rèn)真的研究以促進(jìn)該單元知識的精髓把握與脈絡(luò)梳理，同時在梳理過程中不斷推陳出新以促進(jìn)學(xué)生在感受新意的同時不斷加深對知識的理解，使學(xué)生在知識梳理與鞏固復(fù)習(xí)中逐步對有關(guān)公式的使用更加自覺與靈活.

二、案例：三角函數(shù)的知識梳理

筆者結(jié)合課標(biāo)、教材內(nèi)容的反復(fù)研讀及教學(xué)經(jīng)驗，在“三角函數(shù)”知識梳理課的教學(xué)中進(jìn)行了設(shè)計，并在組內(nèi)公開課中邀請了部分教師進(jìn)行了聽課與評課.

1.教學(xué)簡錄

問題情境設(shè)計（動漫展示）：（1）將一段花兒盛開、蝴蝶翻飛的春天美景播放給學(xué)生看，春光明媚下的風(fēng)車、秒針轉(zhuǎn)呀轉(zhuǎn)，一圈又一圈……（2）兒時的牛頓坐在蘋果樹下，看到一顆熟透的蘋果掉了下來隨即陷入沉思……

教師：高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們了解、理解、掌握三角函數(shù)中的相關(guān)內(nèi)容與公式，今天開始，我們就針對種類繁多、數(shù)量龐大、內(nèi)容豐富的這塊內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).

教師：我們首先針對三角函數(shù)概念、終邊相同的角的表示、角度制與弧度制之間的互化、二倍角三角函數(shù)公式等內(nèi)容進(jìn)行一定的回顧，看看大家對這些公式的掌握是否比較熟練，接下來就請大家來講一講.

（很多學(xué)生能夠站起來對這些內(nèi)容進(jìn)行發(fā)言，課堂氛圍預(yù)熱目的達(dá)成）

教師：大家掌握的不錯，不過，老師接下來的幾個小問題能夠真正看出你們對這部分內(nèi)容的掌握程度.

投影展示問題串：

①你們能列舉一些生活中的簡單事例來描述三角函數(shù)所刻畫的客觀現(xiàn)實規(guī)律嗎？

②你們?nèi)绾卫斫饣《戎七@一概念引入教材的必要性？扇形面積公式可否通過一定的合情思維從圓的面積公式中得出呢？

③你們對角的概念延伸的意義有何想法？你們認(rèn)為三角函數(shù)概念在平面直角坐標(biāo)系下是如何進(jìn)行延伸的呢？其中可存在科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的表現(xiàn)？

④單位圓中的三角函數(shù)線的作用你們是怎么理解的呢？能否結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行舉例說明呢？

⑥你們能結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線將正弦函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π］）圖像的作圖過程敘述出來嗎？你們覺得作圖時不采用列表、描點、連線方法的原因在哪里？你們從中感受到了幾何直觀的價值嗎？

⑦教材中對于公式cos（α-β）是怎樣推導(dǎo)的？cos（α+β）、sin（α±β）、tan（α±β）等公式也因此被一一推導(dǎo)出，那么公式cos（α-β）是其他公式的“根”這一說法正確嗎？

⑧反思：這一章節(jié)內(nèi)容中總離不開圓，尤其是單位圓，為什么呢？你們?nèi)绾慰创龁挝粓A和三角函數(shù)之間的關(guān)系呢？

⑨課堂開始動漫中的風(fēng)車旋轉(zhuǎn)等和角概念的擴(kuò)充之間可存在一些必然的內(nèi)在聯(lián)系？

⑩函數(shù)y=sinx的圖像經(jīng)過平移與伸縮變換得到函數(shù)y=sin（ 2x +π）的過程你們能夠敘述出來嗎？

學(xué)生在教師精心設(shè)計的問題串的引領(lǐng)與推動中閱讀教材、交流合作并積極回答（回答過程略）.

例題研討：設(shè)某時鐘的中心點為O，12時處為B，秒針端點為A，OA=5cm，當(dāng)t=0時，A、B兩點重合，若將A、B兩點的距離d（cm）表示成（ts）函數(shù)，則d=________，其中t∈［0，60］.

教師：哪一函數(shù)模型能對這一問題情境進(jìn)行刻畫呢？

學(xué)生：三角函數(shù)！

教師：為什么？

學(xué)生：三角函數(shù)對于周期函數(shù)的刻畫是最為合適的，該問題情境正好有這一特點.

教師：很好！怎么解決？

學(xué)生：OA繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)，和OB形成的角為∠BOA，當(dāng)時間為（ts）時，可得∠BOA=t=t，通過幾何直觀，分t=0，t∈（0，30），t=30，t∈（30，60），t=60這幾種情況進(jìn)行分析.

教師：好極了！解答過程一并講一講.

教師：說得對極了！

2.組內(nèi)聽評課簡錄

（1）教師放手讓學(xué)生根據(jù)問題串的引導(dǎo)對知識進(jìn)行揭示很有意義.教師所設(shè)計的問題來源于教材又緊扣知識點，教師設(shè)計問題時很用心.從問題的解決中可以看出學(xué)生對教材內(nèi)容比較熟悉但理解未達(dá)一定深度，但教師圍繞三角函數(shù)本質(zhì)的一系列問題設(shè)計使得學(xué)生在“低臺階、緩爬坡”的探究中發(fā)揮了很好的引領(lǐng)作用，看得出來，學(xué)生在全面的知識探究中形成了認(rèn)知與理解上的一定深度，知能并舉、身心雙健的教學(xué)目標(biāo)順利達(dá)成.

（2）刻畫了三角函數(shù)本質(zhì)的問題情境在動漫素材的播放中給人感覺很好.

（3）教材與課標(biāo)在教學(xué)之前需要我們教師進(jìn)行反復(fù)的研讀與學(xué)習(xí)，很多刻畫知識模塊的圖片我們也應(yīng)該了解其存在的含義.本課情境中的風(fēng)車令我們對弧度制、角的正負(fù)性、終邊相同的角等內(nèi)容建立了認(rèn)知與理解，這樣的設(shè)置使得概念的延伸更加自然流暢，教材內(nèi)容雖有一定難度但在呈現(xiàn)時卻顯得相對淺顯.“風(fēng)車轉(zhuǎn)呀轉(zhuǎn)”將三角函數(shù)的內(nèi)容逐漸轉(zhuǎn)出來的情境令我們耳目一新，學(xué)生也在這樣的情境與課堂導(dǎo)入中顯得興致盎然，學(xué)生對教材價值也產(chǎn)生了新的認(rèn)識，觀察、分析、解決問題的良好習(xí)慣也因此得到更好的培養(yǎng).教師設(shè)計的問題使得有效課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)得到了有力的調(diào)動，數(shù)學(xué)的教育功能也因此得到了很好的落實.

（4）例題設(shè)計很有意義.學(xué)生在很多的解題中會表現(xiàn)得無從下手，究其原因，這種現(xiàn)象還是因為學(xué)生對三角函數(shù)模型刻畫的周期性的領(lǐng)悟不夠深入而導(dǎo)致的，“風(fēng)車轉(zhuǎn)動”的直觀情境、例題設(shè)計與教材內(nèi)容所要體現(xiàn)的本質(zhì)都特別吻合.

（5）教師上課設(shè)置的問題情境與例題的設(shè)計與呈現(xiàn)都比較巧妙，教師對教材內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情的鉆研使得課的設(shè)計與實施過程自然順暢，學(xué)生在清晰的思維推動下表現(xiàn)出了尤為踴躍的參與態(tài)度，教材內(nèi)容的清晰呈現(xiàn)與梳理得益于教師環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計與安排，值得借鑒.

學(xué)生對公式的掌握程度不一或者回答問題時候的表現(xiàn)不同是課堂教學(xué)中常見且真實的，本課教學(xué)中的問題串是回歸教材、深度把握教材的最有力體現(xiàn)，這樣設(shè)計的目的在于三角函數(shù)描述周期變化這一數(shù)學(xué)本質(zhì)的最深刻體現(xiàn)與探索.F