淺談不定積分的計(jì)算方法與技巧

張智

【摘要】不定積分是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是高職學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一.為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)掌握這一知識(shí)，本文對不定積分的計(jì)算提出幾種解題思路，并結(jié)合實(shí)際例題加以說明.

【關(guān)鍵詞】不定積分；湊微分法；分部積分法

不定積分是微積分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它對學(xué)生學(xué)好后續(xù)的知識(shí)起著至關(guān)重要的作用.目前，高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中普遍存在課時(shí)少、任務(wù)重、學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣不好的情況，學(xué)生在不定積分的學(xué)習(xí)過程中，往往感覺抽象、難懂、枯燥，對積分的各種計(jì)算方法更是茫然不知所措，這在很大程度上影響了他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性.針對這種現(xiàn)象，筆者就湊微分法（第一類換元積分法）和分部積分法的使用，通過舉例的方式談?wù)勛约旱慕虒W(xué)體會(huì).

一、湊微分法

（一）抓出“障礙物”求微分

例1 ∫（2x+1）8dx.

解 原式=∫（2x+1）8·12·d（2x+1）

=12∫（2x+1）8d（2x+1），

令u=2x+1

12∫u8du=118u9+C 回代 118（2x+1）9+C.

根據(jù)不定積分基本公式表中第2個(gè)公式——∫xμdx=xμ+1μ+1+C（μ≠1），容易知道∫x8dx=19x9+C，對照例題發(fā)現(xiàn)2x+1這個(gè)被積函數(shù)就是影響我們直接套用公式的“障礙物”，就需要把它抓出來求微分，運(yùn)用微分的定義dy=y′dx計(jì)算后找出12，乘進(jìn)去，等式前后才成立，接下來應(yīng)用湊微分法求不定積分的步驟及基本公式就可完成解答.

其他類似的問題，比如，對照公式∫exdx=ex+C，∫e100xdx式子中的100x；對照公式∫sinxdx=-cosx+C，∫sin（3x-2）dx式子中的3x-2；對照公式∫1xdx=ln|x|+C（x≠0），∫1ax+bdx（a，b為實(shí)數(shù)，且a≠0）式子中的ax+b.這些都是影響我們套用公式計(jì)算的“障礙物”，在這里都要分別把它們找出來求微分，找出能讓等式成立的常量，接下來按常規(guī)步驟都能完成計(jì)算.

（二）重新包裝求微分

例2 ∫xsin（x2+1）dx.

解 原式=∫sin（x2+1）·xdx

=∫sin（x2+1）·12d（x2+1），

令u=x2+1

12∫sinudu=12（-cosu）+C

回代 -12cos（x2+1）+C.

因?yàn)閤dx=12d（x2+1），將xdx項(xiàng)換成另一種形式，即換成12d（x2+1），接下來就可以按部就班地完成該題的求解過程.

二、分部積分法

（一）直接用公式求解

例3 ∫lnxdx.

解 原式=xlnx-∫xd（lnx）=xlnx-∫x·1xdx

=xlnx-∫dx=xlnx-x+C.

對應(yīng)分部積分公式∫udv=uv-∫vdu，這里u=lnx，v=x，套用公式可完成解答.

（二）重新包裝成∫udv的樣式，用公式求解

例4 ∫xexdx.

解 原式=∫xd（ex）=xex-∫exdx=xex-ex+C.

弄清u，v很重要，公式中dv的v是原來函數(shù)通過微分的知識(shí)變形后得出的.此題中exdx=d（ex），這樣就可以套用公式∫udv=uv-∫vdu，這里u=x，v=ex，很容易完成解答.

例5 ∫x3lnxdx.

解 原式=∫lnxd14x4=14x4lnx-∫14x4d（lnx）

=14x4lnx-14∫x3dx=14x4lnx-116x4+C.

這里x3dx=d14x4，u=lnx，v=14x4，接下來套用公式就能完成計(jì)算.式子中出現(xiàn)的被積函數(shù)，要挑出一個(gè)函數(shù)做出變形.做出變形的先后順序?yàn)椋褐笖?shù)函數(shù)（如，ex）、三角函數(shù)（如，sinx，cosx）、冪函數(shù)（如，x，x2，x3，…）、對數(shù)函數(shù)（如，lnx）、反三角函數(shù).

不定積分的計(jì)算靈活性很強(qiáng)，在教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生多練習(xí)、多思考、多接觸不同積分的求法，才能更好地讓他們掌握不同積分的解題套路，從而達(dá)到運(yùn)用自如的目的.endprint