從一些具體的線性方程組中了解線性代數(shù)中一些概念的產(chǎn)生

王文婭++郭仲凱

摘要：本文從一些具體的線性方程組的解法出發(fā)，考察線性代數(shù)中一些相關(guān)概念的提出。

關(guān)鍵詞：線性方程組；行列式；矩陣；向量組

華羅庚曾經(jīng)說過，從具體到抽象是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要大道。因此教師在教授相關(guān)知識(shí)的時(shí)候也應(yīng)該遵循這個(gè)原則，從具體的東西出發(fā)，一步一步的抽出其中包含的內(nèi)在規(guī)律從而達(dá)到一般化，使學(xué)生對(duì)其所學(xué)的內(nèi)容有著較為深刻的理解。本文從一些具體的線性方程組的解法出發(fā)，考察線性代數(shù)中一些相關(guān)概念的給出，使學(xué)生了解到一些概念的給出是自然的，是為了在線性方程組的解的問題上方法更為統(tǒng)一，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中一些問題的分析能力和認(rèn)知能力。

線性代數(shù)教材的第一章一般都是講行列式以及行列式的各種計(jì)算，行列式概念的提出應(yīng)該不止一種原因，但我們應(yīng)該選擇一種學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的情況下從已有的知識(shí)過渡到行列式的概念。讓學(xué)生了解原來所學(xué)的東西與我們以前的知識(shí)是相關(guān)的，并且比之前所學(xué)的更一般，得出這樣一般的結(jié)論的原因是因?yàn)槲覀儗?duì)過去所學(xué)的東西做了充分的觀察與分析，正因?yàn)樽髁顺浞值挠^察與分析我們發(fā)現(xiàn)了一定的內(nèi)在規(guī)律，為了把這些內(nèi)在的規(guī)律顯現(xiàn)出來我們需要一些新的概念，從而新的概念就誕生了，這是一個(gè)很自然的過程。

考慮線性方程組 ，很容易得出方程的解為 當(dāng)然如果就此罷手則我們永遠(yuǎn)停留在如何解這種形式具體的方程組，這好像一個(gè)人每次碰到一個(gè)不同的圓時(shí)都能花時(shí)間求出這個(gè)圓的面積一樣，但他卻不知道圓面積的內(nèi)在規(guī)律是半徑的平方乘以π，類似的道理我們要問，有沒有一種方法能夠把這種形式為 個(gè)有效方程 個(gè)未知量的方程組統(tǒng)一解決呢？答案是肯定的，這就是克萊姆法則所所回答的，通過運(yùn)算我們發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： 不難看出分子分母形式上看其實(shí)都一樣，這可以說算得上是一個(gè)內(nèi)在的規(guī)律，因此我們可以給一個(gè)統(tǒng)一的定義，這個(gè)定義就是行列式，定義如下： ，由此，方程的解為 ，

因此分母其實(shí)就是有方程組等式左邊相應(yīng)位置的系數(shù)構(gòu)成的，而分子分別用方程組右端的數(shù)分別替換掉 的系數(shù)（當(dāng)分別求解 時(shí)），這就是一種統(tǒng)一的方法，也是我們尋找的內(nèi)在規(guī)律，當(dāng)然我們?nèi)绻枰鉀Q這種類型更一般的方程組，我們需要給出一般方程組的系數(shù)所構(gòu)成的行列式的定義，以及行列式的算法，為此會(huì)產(chǎn)生逆序等相關(guān)的概念以及一系列行列式的計(jì)算方法。

考慮方程組 ，對(duì)于這種方程組我們能不能利用克萊姆法則去解呢？顯然不行，因?yàn)槠湎禂?shù)行列式?jīng)]有定義，因此處理這種方程組我們得尋求其他方法，或者尋找其他處理工具，為此我們引入矩陣，其實(shí)就是把方程組里的系數(shù)列成一個(gè)數(shù)表，如下：

，因此我們可以以這個(gè)角度來看線性方程組，即一個(gè)方程組對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣。

考察線性方程組 ，其對(duì)應(yīng)的矩陣為

利用初中解方程的方法可得原方程組等價(jià)于 ，其對(duì)應(yīng)的矩陣為 再次做等價(jià)變換則原方程組等價(jià)于 ，其對(duì)應(yīng)的矩陣為

再次做等價(jià)變換則原方程組等價(jià)于 ，其對(duì)應(yīng)的矩陣為

再次做等價(jià)變換則原方程組等價(jià)于 ，其對(duì)應(yīng)的矩陣為

從上面的過程可以看出，為了解出方程我們運(yùn)用了交換兩個(gè)方程，對(duì)應(yīng)于矩陣中為交換兩行；某一個(gè)方程乘以倍數(shù)，對(duì)應(yīng)于對(duì)矩陣中某行乘以倍數(shù)；某個(gè)方程的倍數(shù)加減到另一行，對(duì)應(yīng)到矩陣為某一行的倍數(shù)加到另一行，對(duì)于矩陣中這樣的運(yùn)算我們稱為初等變換。由此看出初等變換這個(gè)概念其實(shí)就是我們初中解方程組的另一種描述而已。同時(shí)行階梯行最簡(jiǎn)矩陣相應(yīng)而生，因?yàn)樾凶詈?jiǎn)的形式就是與我們消元法中把方程組等價(jià)變形為最簡(jiǎn)單形式的等價(jià)方程組對(duì)應(yīng)。

考慮方程組 ，對(duì)應(yīng)的矩陣為

利用消元法的出其等價(jià)方程 ，無解，其對(duì)應(yīng)矩陣為 ，即如果方程組對(duì)應(yīng)的矩陣滿足 這種情形則原方程無解，其特點(diǎn)除去最后一列則非零行為1行，加上最后一列，非零行為2不等于1，對(duì)于只考察通過初等變換化成行階梯形式中的非零行的行數(shù)，書上給出的概念為秩（秩的大小可以理解為有效方程的個(gè)數(shù)），并且有相應(yīng)的結(jié)論，即除去最后一列和加上最后一列兩種情況的秩如果不同： 則方程無解，由此可以看出秩的這個(gè)概念對(duì)于方程組有解還是無解的判定有一定的方便，具體參看教材利用秩判定齊次方程和非齊次方程有解無解的條件。

考察方程組 ，不難計(jì)算該方程組等價(jià)于 ，即不存在 使得 成立，按照教材上的定義稱向量 不能由 與 線性表示。

所以線性表示其實(shí)是非齊次方程有解無解的另一種描述。類似的，線性相關(guān)與線性無關(guān)對(duì)應(yīng)于齊次方程是否有零解與非零解的另一種描述。

考慮方程 ，不難利用矩陣的運(yùn)算可得方程組可化為 ，抽象為 ，其中 ，而 類似于初中的 ，對(duì)于 兩邊同時(shí)乘以 可得 即可解出未知量，那么對(duì)于 是否有類似的運(yùn)算呢？使得 ，為此我們需給出 的定義，也就是矩陣逆的概念，當(dāng)然需要注意只有可逆的方陣才能求逆，因此該方法只能處理一部分方程組。

一般的線性代數(shù)教材大部分內(nèi)容其實(shí)都圍繞線性方程組是否有解，如果有，解的具體形式是什么，如果沒有，為什么沒有等一系列問題展開，從而引入一系列相關(guān)的概念以及工具和結(jié)論，從而達(dá)到在統(tǒng)一的框架下解決所有線性方程問題。這與圓的面積有統(tǒng)一的計(jì)算公式是一個(gè)道理。所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是要從具體出發(fā)，然后過渡到一般，最后再回到一般的具體（練習(xí)），從而熟能生巧，統(tǒng)一解決類似的問題。

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