線性方程組在線性代數(shù)中的地位和作用

摘要：線性代數(shù)的形成源于對(duì)線性方程組問題的求解和研究，所以，線性方程組在線性代數(shù)中有著重要的地位和作用。線性代數(shù)的主要研究工具行列式、矩陣、向量組都與線性方程組有著緊密的關(guān)系。關(guān)于這些研究工具的諸多問題，經(jīng)常可以通過線性方程組的理論和思想進(jìn)行分析和求解。本文對(duì)線性方程組在線性代數(shù)中的地位和作用進(jìn)行樂淺析。

一、線性代數(shù)源于對(duì)線性方程組問題的研究

線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組，據(jù)記載，我國對(duì)線性方程組的研究源于公元初的《九章算術(shù)》，是世界上最早研究線性方程組的國家。作為線性代數(shù)所研究的最古老的問題，對(duì)它的研究開啟了一扇通往數(shù)學(xué)新的分支的大門。隨著笛卡爾、約翰·伯努利等人在幾何方面的研究，線性代數(shù)的研究內(nèi)容逐漸增多，研究視角逐漸變得多元化。隨著理論的不斷完善和成熟，最終于公元20世紀(jì)形成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。因此，線性方程組理論可以看作是線性代數(shù)的研究基礎(chǔ)。

二、線性代數(shù)方程組與行列式、矩陣、向量組等的關(guān)系

作為線性代數(shù)的一個(gè)主要的研究對(duì)象，也是重要的研究對(duì)象，貫穿了線性代數(shù)的始終，與矩陣、向量組等主要內(nèi)容之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。

1.行列式與線性方程組

對(duì)于含有n個(gè)未知量，n個(gè)方程的線性方程組來說，

當(dāng)系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式D≠0時(shí)，可以考慮用克拉默法則對(duì)該方程組進(jìn)行求解。解得 ，其中

，

2.矩陣與線性方程組

線性代數(shù)方程組本身就和矩陣有著緊密的聯(lián)系，例如，n元線性方程組

（1）

可以表示成矩陣形式 。

其中

。

關(guān)于方程組的解的判定，也始終依托矩陣而展開。當(dāng) 時(shí)，方程組有解;當(dāng) 時(shí)，方程組無解。除此之外，我們對(duì)于很多矩陣問題，也會(huì)巧妙地利用“轉(zhuǎn)化”思想，將矩陣問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題。例如矩陣秩的性質(zhì)：

它的推導(dǎo)過程如下：

令 ，則說明方程組 有解 ，根據(jù)方程組有解的判定定理，可知 ，得 。

另外，將等式 兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)置，得 ，同樣利用方程組有解的思想，可以得出 ，即 ，綜上所述，結(jié)論 得證。

3.向量組與線性方程組

方程組（1）也可以寫成向量的形式：

即

若向量組 線性相關(guān)，則存在一組不全為零的系數(shù) ，使得線性組合 =0。換句話說，向量組A線性相關(guān)，可以理解為方程組 有非零解，即 有非零解。最終轉(zhuǎn)化為方程組有非零解的情況。類似的，對(duì)于向量組線性無關(guān)的判斷，可以通過方程組 只有零解來判定。因此，對(duì)于向量組線性相關(guān)性的判定可以轉(zhuǎn)化為方程組是否有解的問題。

此外，在齊次線性方程組 有非零解的情況下，我們需要基于基礎(chǔ)解系寫出該方程組的通解。基礎(chǔ)解系在解向量組中發(fā)揮著重要的作用，它是解向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。所以，同樣可以通過討論基礎(chǔ)解系這個(gè)向量組來解決線性方程組的通解問題。

三、小結(jié)

線性方程組作為一條線，串起了線性代數(shù)的幾乎所有研究內(nèi)容。它的角色和作用無可替代。希望通過對(duì)線性方程組作用和地位的淺析，能夠使學(xué)員清楚線性代數(shù)的大致脈絡(luò)，在學(xué)習(xí)的時(shí)候能夠把握住這條線。

參考文獻(xiàn)：

[1] “線性代數(shù)”教學(xué)中的主線法與類比法的綜合運(yùn)用，徐龍玉，胡葵，王麗，綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018.02.

[2] 線性代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，陳秋帆，姚裕豐，高師理科學(xué)刊，2018.05.

[3] 線性代數(shù)中基于線性方程組的“轉(zhuǎn)換”思想，沈進(jìn)，教育教學(xué)論壇，2018.07.

作者簡介：

劉瑞杰（1986—），女，講師，河南開封人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算。

（作者單位：武警警官學(xué)院）