數(shù)與線的“愛戀”之美

董文彬

數(shù)是用來計(jì)數(shù)、標(biāo)記或度量、比較同質(zhì)事物的抽象概念，也是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。可以說，數(shù)概念的學(xué)習(xí)伴隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程，是在不斷形成和發(fā)展著的。學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展在各個學(xué)段各有側(cè)重，總體應(yīng)注重的是學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，從而讓數(shù)概念和核心素養(yǎng)自然生長。

本期，我們探討學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展過程。

為幫助學(xué)生深入認(rèn)識數(shù)概念的核心本質(zhì)，教師在教學(xué)中應(yīng)特別注重直觀模型的使用，其中數(shù)線是幫助學(xué)生深度理解數(shù)概念的直觀載體。下面，筆者以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，探析數(shù)線在兒童數(shù)概念的形成與發(fā)展中的直觀體現(xiàn)。

一、研究的緣起——聚焦數(shù)線

在小學(xué)階段數(shù)概念的形成與發(fā)展中，很多直觀模型對數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算的理解起到了至關(guān)重要的作用。比如對整數(shù)及整數(shù)運(yùn)算而言，究竟有哪些直觀模型呢？循著教材的編寫線索梳理，主要有以下幾種：小棒、計(jì)數(shù)器、小方塊、點(diǎn)子圖、方格紙、數(shù)線等（如圖1）。

可以說，以上這些實(shí)物、模型等直觀材料因其自身的特點(diǎn)，在兒童整數(shù)及整數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中都發(fā)揮了不可或缺的作用。數(shù)的運(yùn)算是對數(shù)意義的進(jìn)一步認(rèn)識，這些直觀模型在學(xué)習(xí)過程中的介入有力地支撐著兒童數(shù)概念的形成與發(fā)展。而在這些直觀模型中，有的卻因其自身所具備的獨(dú)特天然屬性，直觀作用與價值不同于其他模型而獨(dú)樹一幟——它就是數(shù)線（數(shù)軸）。弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中指出：“與其他直觀材料相比，數(shù)軸是確定的、可長久使用的，它不像有些材料只用一會兒就被放棄。”可見，數(shù)線因其自身的結(jié)構(gòu)特性，突破和克服了其他直觀材料的缺點(diǎn)而被人們廣泛使用。

既然數(shù)線能夠在眾多的直觀模型中脫穎而出，我們就有必要對數(shù)線本身所具有的優(yōu)越屬性、直觀作用以及數(shù)線與數(shù)和運(yùn)算之間相生相伴的天然聯(lián)系進(jìn)行剖析和研究。

二、數(shù)線在整數(shù)運(yùn)算中的直觀體現(xiàn)

（一）數(shù)線與加減

在數(shù)概念的形成與發(fā)展中，為什么數(shù)線具有如此強(qiáng)大的魅力呢？筆者認(rèn)為，這與數(shù)線模型本身所具有的屬性、結(jié)構(gòu)和功能密切相關(guān)。

1.從呈現(xiàn)形式上看

伴隨著數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)，數(shù)線在學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)中經(jīng)歷了由實(shí)物到數(shù)尺、再到數(shù)線的形成與發(fā)展，這個過程是循序漸進(jìn)的，不是一蹴而就的。從外化的呈現(xiàn)形式來看，在實(shí)物原形中表現(xiàn)為數(shù)與實(shí)物一一對應(yīng)，在數(shù)尺中表現(xiàn)為數(shù)與方格一一對應(yīng)，在數(shù)線中表現(xiàn)為數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)。在此過程中，數(shù)線的功能也由實(shí)物直觀走向了幾何直觀，從離散走向了連續(xù)，而這正是基于數(shù)的運(yùn)算的發(fā)展與數(shù)的擴(kuò)充的需要，是數(shù)概念形成與發(fā)展的內(nèi)在需求。

2.從數(shù)量級上看

借助數(shù)線并沿著數(shù)線往右，以“一”為單位1個1個地跳（數(shù)），或者以“十”為單位10個10個地跳（數(shù)），以“百”為單位100個100個地跳（數(shù)）……這樣隨著不斷地以計(jì)數(shù)單位累加的過程，就會產(chǎn)生更大的新的計(jì)數(shù)單位。在度量單位的不斷累加運(yùn)算中，也方便和滿足了數(shù)量級擴(kuò)展后大數(shù)加減法的開展?？梢姀臄?shù)量級上看，數(shù)線在數(shù)的運(yùn)算發(fā)展過程中，表現(xiàn)出一種自身天然的靈活性。

3.從數(shù)線的結(jié)構(gòu)上看

從數(shù)線的結(jié)構(gòu)來看，首先有一條向右的直線，規(guī)定了方向，其次規(guī)定了起點(diǎn)定為0，最后是單位長度，而這里的單位是靈活的，可以是任何一個自由的正數(shù)。具體而言，起點(diǎn)0——是計(jì)數(shù)的開始，單位長度——滿足了累加的度量需求，方向——滿足數(shù)的排列與可比性。從數(shù)線的數(shù)學(xué)性角度來審視，數(shù)線像一把用來量數(shù)的“尺子”，滿足了數(shù)概念形成與發(fā)展的需要。

4.兩個加減法的例子

我們來看一個一位數(shù)加法的例子“8+6”。

在這條簡單的數(shù)線（數(shù)尺）上，數(shù)與格（點(diǎn)）一一對應(yīng)，往右表示累加，得到“8+6”結(jié)果的操作就是基于這種“一一對應(yīng)”，數(shù)出計(jì)數(shù)單位的過程，從8開始，以“1”為單位，連續(xù)累加6次，就得到“14”這個結(jié)果。這個運(yùn)算的過程就是計(jì)數(shù)單位累加的過程。

運(yùn)算“8+6”，還可以如上，10格為1檔，從8開始，以“1”為單位，先累加2次到“10”，遇“10”停頓，再累加4次，孕伏“滿十進(jìn)一”，產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位“十”。

我們再來聚焦一個減法的例子“239-118”。

在這條數(shù)線上，往左表示“遞減”，從239開始，先以“百”為單位遞減1次（減一個百），再以“十”為單位遞減1次（減一個十），再以“一”為單位遞減8（減一個8），即得到“239-118”的結(jié)果（度量值）“121”。在這個減法運(yùn)算的過程中，借助數(shù)線先減幾個百、再減幾個十、幾個一，數(shù)線的直觀介入為學(xué)生分清數(shù)位、理解減法豎式算法打下基礎(chǔ)，同時從數(shù)位的角度幫助學(xué)生直觀理解數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，進(jìn)而理解數(shù)概念及運(yùn)算的意義。

（二）數(shù)線與乘除

針對數(shù)線與乘除，筆者嘗試對教材中數(shù)線的使用情況進(jìn)行了梳理。

1.兩個乘除法的例子

我們先來看一個一位數(shù)乘法的例子。

這是乘法中“幾個幾”意義的運(yùn)算內(nèi)容。結(jié)合數(shù)尺模型與算式表征，解決“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4個3是多少”。其中的4表示跳了幾次，3表示每次跳幾格，可以看作是以“3”為單位，度量了4次的結(jié)果，其本質(zhì)上都是對計(jì)數(shù)單位的累加（累積），即對度量單位的運(yùn)作。

我們再來看一個除法的例子。

這是除法中“包含除”意義的運(yùn)算內(nèi)容。解決“20元可以買幾輛玩具車”就是求“20里面有幾個5”。其運(yùn)算的過程，即在數(shù)線上以20作為起點(diǎn)， 按照一定的“步伐”回到原點(diǎn)的過程。這個過程可看作以“5”為單位去度量數(shù)“20”，正好數(shù)了4次，把20度量完的過程。說到底，其本質(zhì)還是對度量單位的運(yùn)作。

不難看出，數(shù)線的介入和使用，能夠幫助學(xué)生從計(jì)數(shù)單位累加或遞減的角度去直觀地理解乘除運(yùn)算的意義。

2.兩個問題

在梳理教材“數(shù)線與乘除”這部分內(nèi)容的過程中，我們也發(fā)現(xiàn)了兩個問題。endprint

問題1：為何數(shù)線唯獨(dú)缺席了除法“平均分”的教學(xué)？

梳理中發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)算意義的認(rèn)識中，數(shù)線出現(xiàn)在乘法“幾個幾”“倍”和除法“包含除”“倍”的教學(xué)中，卻唯獨(dú)沒有在除法“平均分”的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)，那么是何原因?qū)е聰?shù)線缺席了除法“平均分”的教學(xué)？

我們以一個簡單的例子試作分析。

比如8÷2=？從把8平均分成2份的角度來理解，我們來看數(shù)線：

不難發(fā)現(xiàn)，“8”在數(shù)線上表現(xiàn)為一個“點(diǎn)”，它所在位置決定了它到起點(diǎn)0的距離——即它是多少個“1”累加的結(jié)果。也就是說，在數(shù)線上可以靜態(tài)地表示“8”這段距離，卻不利于直觀表示每份是幾?？梢姡ā捌骄帧币蚱鋬?nèi)容自身的數(shù)學(xué)性而拒絕了數(shù)線的介入。

問題2：為什么數(shù)線在乘除運(yùn)算中會逐漸隱退而被其他模型取而代之？

從前面的梳理中再進(jìn)一步看，除了在表內(nèi)乘法、末尾帶0的口算、兩位數(shù)與兩位數(shù)乘法這幾類乘法運(yùn)算中我們還能看到數(shù)線的使用外，在相關(guān)的除法運(yùn)算中，已經(jīng)看不到數(shù)線的影子。比如表內(nèi)除法，教材中不再用，學(xué)生在學(xué)習(xí)中還在使用，到帶0的除法口算，連學(xué)生也不再用了。數(shù)線逐漸在乘除法運(yùn)算中隱退，取而代之的是點(diǎn)子圖、表格、面積模型等。這一現(xiàn)象表明，數(shù)線在擁有自身優(yōu)越的屬性和功能外，還存在著一定的局限性，這些自身的局限導(dǎo)致在后續(xù)的運(yùn)算中被其他直觀模型取而代之。

三、如何客觀理性地看待數(shù)線

1.數(shù)線與數(shù)的認(rèn)識相諧相生，相存相伴

從以上教材的梳理不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)線模型與數(shù)的認(rèn)識一路相生相伴。具體來說，從一（上）到四（上），20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識等知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，借助數(shù)線向右逐漸拓展數(shù)量級；從三（上）到五（上），小數(shù)的初步認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)的意義，借助數(shù)線由宏觀領(lǐng)域向微觀層面擴(kuò)充數(shù)；四（下）生活中的負(fù)數(shù)，借助數(shù)線向左繼續(xù)擴(kuò)充數(shù)域?？梢?，數(shù)線與數(shù)概念的建構(gòu)與形成、數(shù)系統(tǒng)的不斷擴(kuò)充相諧相生，相存相伴。

2.數(shù)線使整數(shù)運(yùn)算由抽象變得直觀

其一，加、減、乘、除運(yùn)算可以在數(shù)線上動態(tài)呈現(xiàn)——跳，通過度量單位的動態(tài)的“跳”，直觀理解計(jì)數(shù)單位的累加或遞減，進(jìn)而理解運(yùn)算的意義；其二，運(yùn)算意義在數(shù)線上還可通過方向來體現(xiàn)，而且便于理解加與乘、減與除的內(nèi)在關(guān)系與核心本質(zhì)。其三，數(shù)線為學(xué)生整數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)提供了一個理解算理、獲得算法的直觀工具。

3.數(shù)線不是萬能的，離開數(shù)線卻是萬萬不能的

如前所述，弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中指出了數(shù)線自身被廣泛和長久使用的優(yōu)越性。但他同時也指出：“但是要注意一種危險的傾向，那就是有人對數(shù)軸寄予的希望過大，走得過遠(yuǎn)。”這說明，數(shù)線自身也存在著一定的局限性，比如數(shù)線與位值無關(guān)，無法直觀呈現(xiàn)數(shù)位和計(jì)數(shù)單位。換句話說，數(shù)線不是萬能的，離開數(shù)線卻是萬萬不能的。

我們對數(shù)線要熟知其優(yōu)勢與局限，了解其屬性與功能，客觀理性地看待數(shù)線，方可對其進(jìn)行合理開發(fā)與利用，這樣才能發(fā)揮它的巨大功用和潛能，以在學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展中發(fā)揮更大的價值，把更多深度理解數(shù)學(xué)的可能性還給學(xué)生。

（作者單位：北京市中關(guān)村第一小學(xué)）endprint