學(xué)在“段”上 用在“點(diǎn)”上

楊靜梅??

摘 要：“植樹問題”是人教版五年級上冊數(shù)學(xué)廣角中的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，解決植樹問題的思想方法是實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛的數(shù)學(xué)思想方法。很多數(shù)學(xué)教師對于植樹問題的教學(xué)各出新意，其中不乏創(chuàng)新之作，但是大多基于模型的識別、記憶和套用，這對于學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是不利的，現(xiàn)通過一節(jié)“植樹問題”的課堂觀課另辟蹊徑——學(xué)在“段”上用在“點(diǎn)”上，分析該節(jié)課的本質(zhì)及教學(xué)的意義。

關(guān)鍵詞：植樹問題；學(xué)在“段”上；用在“點(diǎn)”上

一、 提出問題

在傳統(tǒng)教學(xué)中，關(guān)于植樹問題的教學(xué)很多老師一般把“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”三種類型的區(qū)分及相應(yīng)的計(jì)算方法看成是一種“模型”。為了達(dá)成知識目標(biāo)，教師往往帶領(lǐng)學(xué)生一一總結(jié)公式（甚至要求熟背），然后變化問題情境訓(xùn)練解題技能，讓學(xué)生牢固掌握并直接運(yùn)用。因而，絕大多數(shù)學(xué)生解決植樹問題時(shí)，首先想到用除法：路的總長÷間距=棵數(shù)；其次看題中是否有兩端種與不種的明確提示語，以此決定是否加1或減1。然而，多數(shù)問題是隱藏提示語的，學(xué)生只能憑自我感覺決定是否加1或減1。如此就造成學(xué)生對三種計(jì)算方法的機(jī)械應(yīng)用，在解題錯(cuò)誤百出的同時(shí)也束縛了學(xué)生的思維。由此可見，“模型”并非解決植樹問題的關(guān)鍵因素。抓住植樹問題的實(shí)質(zhì)進(jìn)行循序漸進(jìn)的引導(dǎo)才是本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵所在。

二、 案例分析

“植樹問題”是研究“樹的棵數(shù)”與“兩樹之間間隔數(shù)”之間數(shù)量關(guān)系的問題，其實(shí)質(zhì)是研究點(diǎn)與段的問題。如何讓學(xué)生建立“點(diǎn)段”關(guān)系呢？

×老師運(yùn)用俞正強(qiáng)老師的方法上了一節(jié)《植樹問題》的課，大大提高了教學(xué)的有效性，同時(shí)使學(xué)生明白了“植樹問題”是學(xué)在“段”上，用在“點(diǎn)”上。

1. 開課沒有“精彩”的導(dǎo)入，直接引入第一個(gè)問題“20米路，每5米分一段，共分幾段？”

生：20÷5=4（段）（學(xué)生邊說老師邊畫出線段圖）

師：為什么用除法來做？

生：因?yàn)槭?米分一段，要平均分。（教師板書：平均分）

回歸除法的意義，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)用除法算式的最根本意義是平均分。

2. 緊接著第二個(gè)問題“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”

學(xué)生的普遍想法是：20÷5=4（棵），其中有一個(gè)學(xué)生認(rèn)為是4+1=5（棵）。

師：為什么是4加1？

生：因?yàn)閺牡?棵開始栽，每隔5米栽一棵，剛好是5棵。

師：請你在老師畫好的線段圖上種一種。

此環(huán)節(jié)便是學(xué)生理解的難點(diǎn)，也是教師要突破的重點(diǎn)。

師：同學(xué)們，平均分是一段一段分的，但是栽樹的時(shí)候是栽在哪里的？（教師板書：點(diǎn)）

3. 把第一和第二個(gè)問題進(jìn)行對比。

師：這兩題一樣嗎？相同之處在哪？不同之處又在哪？

學(xué)生通過對問題的思考，知道兩題都要先用除法，平均分求出段數(shù)，不同在于栽樹是栽在段與段之間兩端的點(diǎn)上。

師：點(diǎn)與段之間有什么關(guān)系？1段有幾個(gè)點(diǎn)，2段，3段呢？（以此找出點(diǎn)與段的關(guān)系）生：1段有2個(gè)點(diǎn)，2段有3個(gè)點(diǎn)……

學(xué)生就清楚地得出“棵數(shù)（點(diǎn)）=段數(shù)（即間隔數(shù)）+1”（揭示這就是兩端栽的問題。）

4. 把植樹問題引入生活中，延伸對“點(diǎn)”的運(yùn)用。

師：除了植樹人把樹栽在點(diǎn)上，生活中還有哪些情況也會把物體放在平均分的點(diǎn)上？

學(xué)生又舉例出：公交車站、路燈、加油站的建設(shè)，校園里花盆的擺放，每隔幾米建一幢房子等等。

在舉生活的例子中，×老師花了比較多的時(shí)間。由問題，到已學(xué)會的植樹問題，再到生活的應(yīng)用，意在幫助學(xué)生引申，拓寬學(xué)生思路，讓學(xué)生學(xué)習(xí)更主動地去內(nèi)化和理解植樹問題。

5. 巧設(shè)兩個(gè)變式情境，讓學(xué)生在具體情境中領(lǐng)會植樹問題的不同類型。

情境一：一端不栽。

當(dāng)路的一端有一幢房子擋住了，五棵樹怎么種呢？教師與學(xué)生互動，怎么去解決碰到的問題，有學(xué)生說種在旁邊，拆房子，不種。最后的結(jié)論是，帶回一棵樹，即一頭不栽—1，棵數(shù)=段數(shù)（間隔數(shù)）。

情境二：兩端都不栽。

當(dāng)路的兩端都有房子時(shí)，則帶回兩棵樹，即：兩端不栽—2，棵數(shù)=段數(shù)（間隔數(shù)）—1。不同的情境，不同的解決方法，而思路是一致的，×老師通過學(xué)生熟悉的問題方式來引導(dǎo)學(xué)生解決問題，并通過對問題的思考與歸納得出在什么情況下怎么去有效地解決數(shù)學(xué)問題和生活問題。

師追問：“除了栽樹以外，什么情況下可以一端不栽，什么情況下可以兩端不栽？”通過再一次的舉例，學(xué)生對植樹問題在生活中的應(yīng)用有更深入的理解，并且將會發(fā)現(xiàn)植樹問題在生活中的應(yīng)用很廣泛，提高了學(xué)生解決問題的思維。

6. 問題變式：如果把20米改成50米呢，改成100米，200米呢？你還能解決嗎？不管換成多遠(yuǎn)，方法都是一樣的。將例題引申到更普遍的現(xiàn)象中。

三、 反思總結(jié)

通過這堂課讓學(xué)生知道了學(xué)與用的區(qū)別，“植樹問題”來自哪里？來自平均分，體會植樹問題是學(xué)在“段”上，用在“點(diǎn)”上，在舉例中，由平常事物到幫助學(xué)生引申、拓展思路，內(nèi)化樹是種在點(diǎn)上。從某種角度說，從找規(guī)律入手，讓學(xué)生體會規(guī)律的有用性，很多課都可以達(dá)成。而對“點(diǎn)”和“段”的感悟，豐富了對平均分的認(rèn)識，離開了這節(jié)課，其他課很難實(shí)現(xiàn)，具有唯一性。

一個(gè)教師的教學(xué)不是要把課上得多么轟轟烈烈，而是要站在學(xué)生的角度，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，讓人人都能學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]人教版數(shù)學(xué)五年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2010.

作者簡介：楊靜梅，曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。endprint