畫(huà)圖：突破解決問(wèn)題重難點(diǎn)

徐金春 王清

摘 要：圖形是幫助人們思考的一種直觀工具，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生更是發(fā)揮著積極的作用。低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，開(kāi)展“直觀符號(hào)圖”“初級(jí)線段圖”“簡(jiǎn)易設(shè)計(jì)圖”的“圖式化”教學(xué)，可以幫助學(xué)生厘清思路，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，順利解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；低年級(jí)；圖式化教學(xué)；解決問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2018）31-0041-05

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體把握了問(wèn)題?！眻D形是幫助人們思考的一種直觀工具，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生，在厘清思路并解決問(wèn)題的過(guò)程中，更是發(fā)揮著積極的作用，因?yàn)樗麄兊乃季S還離不開(kāi)具體形象的事物支撐，還要借助具體事物的表象來(lái)解決問(wèn)題。他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，往往只注意事物的某一點(diǎn)或某一個(gè)方面，不能同時(shí)注意和思考更多的方面，這種傾向稱(chēng)之為思維的中心性。借助圖形解決問(wèn)題，既符合低段學(xué)生的心理、年齡特征，又可以把抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化、直觀化，提高學(xué)生解決問(wèn)題的信心和能力，拓展了學(xué)生的發(fā)散思維能力。所以，在低年級(jí)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，適時(shí)開(kāi)展“直觀符號(hào)圖”“初級(jí)線段圖”“簡(jiǎn)易設(shè)計(jì)圖”三種數(shù)學(xué)“圖式化”教學(xué)，可以幫助學(xué)生厘清思路，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，并順利解決問(wèn)題。

一、善用“直觀符號(hào)圖”，理解運(yùn)算意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”，簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”目標(biāo)。新編人教版教材對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力有了新的要求，增加了一些“兩題比較”和“條件多余”的題型，對(duì)學(xué)生讀懂題意、分析題意提出了更高要求。為此，可以通過(guò)直觀符號(hào)圖，幫助學(xué)生理解運(yùn)算意義，有序分析思路，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（一）畫(huà)圖區(qū)分差異，解決“比較型”問(wèn)題

兩題比較的題型，一般會(huì)設(shè)計(jì)兩個(gè)情境相似、數(shù)據(jù)相同、問(wèn)題相同但數(shù)量關(guān)系不同的問(wèn)題，目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算的意義，選擇不同的運(yùn)算方法來(lái)解決問(wèn)題。如：

（1）有4排桌子，每排5張，一共有多少?gòu)垼?/p>

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少?gòu)垼?/p>

兩個(gè)相似的題目，如果單獨(dú)分開(kāi)來(lái)，學(xué)生的正確率會(huì)比較高，但是同時(shí)出現(xiàn)，容易對(duì)學(xué)生造成信息干擾，尤其是題目中都有“4”和“5”，為什么解答方法會(huì)不同呢？這是解題的關(guān)鍵。那么，要順利解決這類(lèi)題，最有效的方法是根據(jù)題意，畫(huà)出直觀符號(hào)圖。

先觀察問(wèn)題（1），明白“4”是“4排”的意思，“5”是“每排5張”的意思，這里有一個(gè)關(guān)鍵字“每”，學(xué)乘法時(shí)，這個(gè)字多次出現(xiàn)過(guò)，學(xué)生比較熟悉，學(xué)生腦子里會(huì)初步形成一個(gè)解題方法“乘法計(jì)算”，為了證實(shí)這個(gè)想法，讓學(xué)生畫(huà)圖。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法的基礎(chǔ)上，已經(jīng)熟練掌握用符號(hào)來(lái)畫(huà)圖（如圖1）。根據(jù)圖示，乘法算式：4×5=20（張）也呼之欲出。

解決問(wèn)題（2）比問(wèn)題（1）更困難一些，因?yàn)閷W(xué)生剛學(xué)過(guò)乘法，容易造成負(fù)遷移，而且出現(xiàn)三個(gè)數(shù)字“2、5、4”，在理解數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要反復(fù)推敲?？梢宰寣W(xué)生多讀幾遍題目，分析每個(gè)數(shù)字的意思，特別是“2”是“兩排”的意思，接著畫(huà)出圖示（如圖2），從圖示上很清楚地看到是用加法解決：4+5=9（張）。

用符號(hào)圖將兩道題的條件和問(wèn)題表示出來(lái)，使得抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體直觀的數(shù)學(xué)模型。最后，比較分析兩道題、兩幅圖，梳理經(jīng)驗(yàn)方法，可以讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：兩幅圖表示的意義有什么不同？以此凸顯乘法和加法意義的異同，并從圖形表征和語(yǔ)言表征兩個(gè)方面，將具體問(wèn)題和運(yùn)算的意義聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生有理有據(jù)地選擇算法。

（二）畫(huà)圖簡(jiǎn)化信息，解決“開(kāi)放型”問(wèn)題

條件多余的問(wèn)題，屬于“開(kāi)放型”問(wèn)題。新教材從一年級(jí)時(shí)就開(kāi)始編排，到了二年級(jí)更是屢見(jiàn)不鮮，這對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題增加了難度。如圖3，這是一道有多余條件、稍復(fù)雜的用乘法的意義解決的實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)滲透了單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的數(shù)量關(guān)系。情境圖中呈現(xiàn)了多種文具的價(jià)格，為學(xué)生解決問(wèn)題提供了豐富的素材，當(dāng)然，也必須選擇與問(wèn)題相關(guān)的信息，才能順利解決問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，可以先引導(dǎo)學(xué)生看圖，提取數(shù)學(xué)信息：文具盒8元、橡皮2元、日記本4元、鉛筆3元，再深入挖掘這些信息的含義，初步理解物品單價(jià)的意義。接著出示數(shù)學(xué)問(wèn)題：買(mǎi)3個(gè)文具盒，一共多少元？讓學(xué)生充分讀懂問(wèn)題，并根據(jù)問(wèn)題找到需要的數(shù)學(xué)信息，再畫(huà)出符號(hào)圖，來(lái)表示信息與問(wèn)題（如圖4）。圖中，已經(jīng)把信息和問(wèn)題簡(jiǎn)單化，拋棄了多余信息，為學(xué)生解決問(wèn)題厘清了思路，明白了解決這種類(lèi)型的問(wèn)題用乘法計(jì)算的道理，為初步建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

二、嘗試“初級(jí)線段圖”，厘清數(shù)量關(guān)系

理解數(shù)量關(guān)系，能促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知出現(xiàn)由表及里、由淺入深的飛躍。線段圖，是幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系、有效解決問(wèn)題的一大法寶。在小學(xué)二年級(jí)的教材中，已經(jīng)出現(xiàn)了線段圖的雛形，為以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（一）畫(huà)圖理解“數(shù)量關(guān)系”

在解決一步計(jì)算“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)”的問(wèn)題時(shí)，用畫(huà)圖的方法表示數(shù)量關(guān)系，這是初級(jí)線段的前奏。如：

（1）一班得了12面小紅旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？

（2）三班的小紅旗比一班少4面，三班得了多少面？

由于學(xué)生第一次接觸這類(lèi)“比多比少”問(wèn)題，所以要求學(xué)生在反復(fù)讀題的基礎(chǔ)上，先重點(diǎn)提示學(xué)生思考“誰(shuí)與誰(shuí)比？”“誰(shuí)多誰(shuí)少？”“求多還是求少？”，只有弄清了這三個(gè)問(wèn)題，才能正確地畫(huà)圖表示出數(shù)量關(guān)系。畫(huà)圖時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生先畫(huà)出已知的量（一班12面），然后再根據(jù)求多還是求少，在已知量的下面畫(huà)出未知量，標(biāo)上問(wèn)題（如圖5）：

如此教學(xué)，讓學(xué)生在實(shí)物線段圖的基礎(chǔ)上，抽象出真正的線段圖，對(duì)線段圖有一個(gè)初步的感知。從線段圖中，學(xué)生很容易判斷出：求多的量要用加法，求少的量要用減法?？梢?jiàn)，通過(guò)畫(huà)圖、對(duì)比，可以幫助學(xué)生比較順暢地明確數(shù)量關(guān)系的變化，溝通問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，突破教學(xué)難點(diǎn)。

（二）畫(huà)圖明確“中間問(wèn)題”

兩步計(jì)算問(wèn)題中，都隱含一個(gè)“中間問(wèn)題”，是不少學(xué)生解決問(wèn)題的“瓶頸”，需要教師幫其疏通這個(gè)瓶頸，順利解決問(wèn)題。如二年級(jí)教材中安排了用混合運(yùn)算解決問(wèn)題（如圖7）：

教學(xué)時(shí)，可以先讀題，再試著簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)信息：總數(shù)90，已經(jīng)烤了36個(gè)，一次烤9個(gè)。最后分析問(wèn)題“剩下的還要烤幾次？”。問(wèn)題中有一個(gè)重要詞“剩下”，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，求剩下的用減法來(lái)解決的，因此“中間問(wèn)題”也很快浮現(xiàn)出來(lái)：要先求剩下的，也給分析數(shù)量關(guān)系埋下了伏筆。教材安排了色條圖，即簡(jiǎn)易線段圖，這是線段圖的雛形。低段學(xué)生還不具備根據(jù)題意獨(dú)立畫(huà)出線段圖的能力，教師可以一步步引導(dǎo)——先出示一長(zhǎng)條，表示“一共要烤90個(gè)面包”，然后問(wèn)學(xué)生：怎樣表示“已經(jīng)烤的36個(gè)”？學(xué)生會(huì)根據(jù)數(shù)量的大小分析出：90的一半是45，36還不到一半，那么色條就分成了一短一長(zhǎng)兩部分，接著依次在色條上出示信息和問(wèn)題（見(jiàn)圖8）。其實(shí)，在色條圖的基礎(chǔ)上，教師還可以進(jìn)一步出示線段圖（見(jiàn)圖9），給以后的學(xué)習(xí)作鋪墊。在完成了圖示后，讓學(xué)生看圖再次分析，求還要烤幾次，應(yīng)先求剩下的面包個(gè)數(shù)：90-36=54（個(gè)），再把54個(gè)面包平均分，每次9個(gè)，需要幾次：54÷9=6（次）。最后要求學(xué)生再列出綜合算式：（90-36）÷9=6（次），根據(jù)四則混合運(yùn)算的法則，兩級(jí)運(yùn)算要先算減，所以必須加上小括號(hào)。

三、推敲“簡(jiǎn)易設(shè)計(jì)圖”，糾正操作錯(cuò)誤

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，對(duì)低年級(jí)教材中的“圖形的運(yùn)動(dòng)”板塊做出了修改，如圖10是二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材中

“剪一剪”的例題，以“解決問(wèn)題”形式出現(xiàn)，是“圖形與幾何”領(lǐng)域的突破——突破了以往解決問(wèn)題都安排在“數(shù)與計(jì)算”領(lǐng)域的局限，使得培養(yǎng)學(xué)生的“四能”的素材和案例更為豐富。同時(shí)，作為解決問(wèn)題的配套練習(xí)（如圖11），通過(guò)讓學(xué)生剪出指定的圖形，培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)深化對(duì)“軸對(duì)稱(chēng)圖形”和“圖形的旋轉(zhuǎn)”兩個(gè)已學(xué)知識(shí)的理解，還可以使學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅，提高學(xué)習(xí)的興趣。習(xí)題要求學(xué)生剪出4個(gè)頭靠頭、手拉手的小人，沒(méi)有步驟提示，更沒(méi)有方法講解，只有一副“成品圖”，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)例題的基礎(chǔ)上，觀察圖形，逐步探索折紙的方法和畫(huà)法，在一次次的嘗試中總結(jié)、調(diào)整方案，從而解決問(wèn)題。因此這個(gè)動(dòng)手操作的解決問(wèn)題過(guò)程，不是一蹴而就的，需要一定的時(shí)間，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，更是一條充滿坎坷的路程。在教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生嘗試三次試剪。第一次試剪，放手讓學(xué)生觀察后，自己嘗試畫(huà)和剪，允許出現(xiàn)各種錯(cuò)誤答案，然后分析排除，最后得出兩種正確的折法，主要目的是“確定折法”。第二次試剪前，學(xué)生已經(jīng)總結(jié)出正確折法，所以本次試剪主要目的是“確定畫(huà)法”。先通過(guò)觀察的方法，分析出頭的位置，然后再根據(jù)試剪后的錯(cuò)誤，分析頭斷開(kāi)的原因，從而總結(jié)出正確畫(huà)法。教學(xué)片段如下：

1.觀察思考，畫(huà)法再探

（1）思考：畫(huà)的時(shí)候頭在什么地方

師：從第一次試剪我們發(fā)現(xiàn)不少小朋友剪出來(lái)的小人的頭的方向不對(duì)，我們?cè)僦匦掠^察習(xí)題，頭朝哪里？

生：在紙中間的方向。

師：請(qǐng)你拿水彩筆在紙的中間畫(huà)個(gè)小圓作記號(hào)。然后對(duì)折三次呈三角形狀，觀察水彩筆記號(hào)在哪，記號(hào)所在的地方就是畫(huà)頭的地方（見(jiàn)圖12，13）。

（2）提出要求，獨(dú)立完成二次試剪

要求：分析第一次試剪失敗原因，思考：如何改進(jìn)？

注意畫(huà)法，同時(shí)思考：頭是否朝中間，手是否相連。

第一次試剪成功的，思考：怎樣畫(huà)讓剪出來(lái)的小人更漂亮。

2.剪后糾錯(cuò)，確定畫(huà)法

全班展示匯報(bào)

第二次試剪還有一部分學(xué)生錯(cuò)誤，如圖14中的“左圖”和“右圖”。

師：我們要恭喜已經(jīng)成功的小朋友，下面讓我們來(lái)幫助還需改進(jìn)的小朋友，請(qǐng)觀察左、右兩圖，分別錯(cuò)在哪？

生：左圖的頭沒(méi)有畫(huà)圓。

生：右圖的頭沒(méi)有連在一起，剪斷了。

師：是的，右圖的錯(cuò)誤，其實(shí)就像把手剪斷的錯(cuò)誤是一樣的，頭和手都要連在一起。（板書(shū)：不剪斷，如圖14）

最后進(jìn)行第三次試剪。如果前兩次試剪是“放”，那么第三次試剪就是“收”，適時(shí)收放，能讓學(xué)生積極動(dòng)手、充分思考，找到解決問(wèn)題的方法，收獲成功的喜悅，享受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣?；赝卧嚰簦骶邇r(jià)值。第一次雖然錯(cuò)誤百出，但分析出了正確的折法，調(diào)整方案；第二次試剪錯(cuò)誤明顯變少，只存在頭和手是否相連的問(wèn)題，通過(guò)再次分析與反思，再次調(diào)整方案；第三次試剪，迎來(lái)了柳暗花明般的成功?？梢?jiàn)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，往往不能一步成功，關(guān)鍵是要讓學(xué)生一次次地反思，一次次地調(diào)整方案，數(shù)學(xué)思考在動(dòng)手操作中得到深化與提升，數(shù)學(xué)問(wèn)題也在思維碰撞中妥善解決。在這過(guò)程中，簡(jiǎn)易設(shè)計(jì)圖功不可沒(méi)。

小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，“信息、問(wèn)題、解答”三者有著千絲萬(wàn)縷的緊密聯(lián)系，信息是問(wèn)題的前提，是解答的必備要素；問(wèn)題是信息的延續(xù)，是解答的必然指向；解答是信息呈現(xiàn)與問(wèn)題取向指引的思維過(guò)程。適時(shí)開(kāi)展“圖式化”教學(xué)，正好溝通了三者間的關(guān)系，智慧地架起了從信息及問(wèn)題到解答的橋梁，在學(xué)生需要時(shí)，及時(shí)地出現(xiàn)，幫助學(xué)生有序思考，突破解決問(wèn)題的重難點(diǎn)，有效地解決問(wèn)題，真乃“圖”到難點(diǎn)破，“圖式化”的教學(xué)價(jià)值自然彰顯。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]義務(wù)教育教科書(shū).教師教學(xué)用書(shū)·數(shù)學(xué)·一至三年級(jí)[M].北京：人民教育出版社，2014，10，第1版.