把握動態(tài)聯(lián)系，利用性質(zhì)解題

梁素芬

[摘 要] 結(jié)合了物理運動知識的幾何問題是近幾年的中考熱點題型，對于該類問題，要從動態(tài)幾何的角度來分析，理解運動軌跡與幾何線段的聯(lián)系，有效結(jié)合物理運動知識建立幾何元素與運動參數(shù)的關(guān)系，充分利用幾何性質(zhì)分析問題.

[關(guān)鍵詞] 運動問題；動點軌跡；幾何問題；幾何性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想

隨著課改的推進，學(xué)科間知識的融合成為必然趨勢，同時中考命題也向著學(xué)科結(jié)合的方向發(fā)展，其中滲透了物理運動學(xué)知識的幾何問題成為近年來中考的熱點題型，主要從運動角度來考查學(xué)生幾何知識的掌握情況，對于該類問題，要充分理解物體的運動特點，有效結(jié)合幾何性質(zhì)解題.

真題解析，試題點評

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年廣州卷第24題）如圖1所示，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED.

（1）略；

（2）連接AE，如果AB=6 cm，BC=■cm.

①略；②如果點P是線段AE上一個不與點A重合的動點，連接OP，一動點Q從點O出發(fā)，以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，然后以1.5 cm/s的速度沿著線段PA勻速運動到點A，到達點A后停止運動，當(dāng)點Q沿上述路線運動到點A所用時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需要的時間.

2. 試題解析

分析 （2）②該問題為典型的結(jié)合了物理運動問題的數(shù)學(xué)問題，剔除無關(guān)線段后的部分如圖2所示，兩個定點A，O和直線AE，問題簡化為從點O出發(fā)經(jīng)過AE上某一點到達點A，使整個運動路徑最短. 解決該問題可以采用等效法，假設(shè)到達了AE上的點P，則路徑為OP+PA，t=■+■，將■轉(zhuǎn)化為某一條邊長，再利用兩點之間直線最短即可.

解答 （2）②設(shè)經(jīng)過了AE上的點P，則s=OP+PA，時間t=■+■. 如圖3，過點P作PH⊥AD，垂足為點H，使得sin∠EAD=■. 易知sin∠EAD=■，則PH=■，則運動時間等效為OP+PH，當(dāng)O，P，H三點共線時時間最短. 則只需過點O作EF⊥AB即可，OH=■AB=3，則時間為3 s，AP=■AE=■.

3. 試題點評

本題目為結(jié)合了物理運動知識的數(shù)學(xué)幾何問題，主要考查學(xué)生對于幾何知識的掌握以及數(shù)學(xué)思維能力. 上述求解過程準確把握動點移動軌跡，結(jié)合物理運動知識將時間問題轉(zhuǎn)化為與線段相關(guān)的問題，然后利用幾何性質(zhì)來求解. 解題的核心思想是：理解動點軌跡即幾何線段的本質(zhì)，實現(xiàn)問題的幾何轉(zhuǎn)化，建立運動參數(shù)與幾何線段的關(guān)系. 該解題思路可以應(yīng)用于結(jié)合了物理運動知識的幾何問題，即將所求問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀尉€段問題，再利用幾何知識求解.

試題銜接，思路解析

結(jié)合了物理運動知識的幾何問題的實質(zhì)是動態(tài)幾何問題，動點軌跡可以轉(zhuǎn)化為包含時間參數(shù)的幾何線段. 動態(tài)幾何問題的考查形式多樣，例如求面積、幾何形狀、最值等，都可以將其歸結(jié)為求解幾何線段的問題，求解的思路也是建立運動參數(shù)與線段的關(guān)系，結(jié)合幾何性質(zhì)針對性分析.

試題1 （2015年浙江衢州卷第24題）如圖4所示，在△ABC中，AB=5，AC=9，S■=■，動點P從A點出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運動，動點Q從C點出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運動，當(dāng)Q點運動到A點時，P，Q兩點同時停止運動. 以PQ為邊作正方形PQEF（P，Q，E，F(xiàn)按逆時針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH.

（1）求tan A的值；

（2）假設(shè)點P的運動時間為t，正方形PQEF的面積為S，S是否存在最小值？如果存在，請求出S的最小值；如果不存在，請說明理由.

分析 （1）略；（2）求正方形PQEF的面積，可將其表示為S■=PQ2，則問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)換為求邊長PQ，過P作PN⊥AC，將其放在直角三角形中來求，P，Q均為動點，則只需要建立PQ關(guān)于時間t的函數(shù)即可，面積為關(guān)于時間t的二次函數(shù)，是否存在最小值則需要分析在定義域t內(nèi)的最值，從函數(shù)角度分析.

解答 （1）略；（2）過點P作PN⊥AC，垂足為N，如圖5，S■=PQ2，則PQ2=NP2+NQ2，經(jīng)過時間t，AP=5t，PN=3t，AN=4t，所以QN=9-9t，則S■=90t-■2+■0≤t≤■，則面積S是關(guān)于t的二次函數(shù)，只需求函數(shù)的最小值即可，分析可知當(dāng)t=■時，可得最小值S■=■.

試題2 如圖6所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，點P從B點出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，沿B→C→A方向運動；點Q從C點出發(fā)，速度為每秒2個單位長度，沿C→A→B方向運動，到達點B后立即原路返回. 如果P，Q同時開始運動，相遇后都立即停止，設(shè)移動時間為t秒.

（1）略；

（2）點P從B運動到C的過程中，t為何值時，△PCQ為等腰三角形？

分析 （2）要求△PCQ為等腰三角形，則頂點可以為C，邊CP=CQ；也可以頂點為Q在AB上，邊PQ=CQ. 對于第二種情況可以利用三角形相似，用時間參數(shù)t表示出BE，CE，然后結(jié)合三角形腰相等來求出時間t.

解答 （2）△ABC為直角三角形，利用勾股定理可得AC=4.

①當(dāng)點Q在CA上，△PCQ為等腰三角形時，CP=CQ，則3-t=2t，解得t=1.

②當(dāng)點Q在AB上，△PCQ為等腰三角形時，PQ=CQ，CP=3-t，AQ=2t-4，BQ=9-2t，作QE⊥BC，垂足為E，則CE=■-■t，△BQE～△BAC，則■=■，即BE=■（9-2t），CE=■t-■，則■-■t=■t-■，解得t=■.

上述幾何問題都結(jié)合了物理的運動知識，即速度與時間，求解的主體思路也是轉(zhuǎn)化問題，建立幾何元素與運動參數(shù)的關(guān)系，利用幾何特性來求解. 試題1求面積最值，利用面積公式將問題轉(zhuǎn)化為分析動點軌跡問題，利用運動知識建立幾何面積關(guān)于時間t的關(guān)系式，通過函數(shù)分析求解. 試題2則是利用等腰三角形腰相等的特性，轉(zhuǎn)化為求幾何線段問題，然后利用時間t與線段的關(guān)系求解. 運動問題的幾何轉(zhuǎn)化是實現(xiàn)求解的有效途徑，通過轉(zhuǎn)化可實現(xiàn)復(fù)雜問題的具體化、形象化、簡單化.

解后反思，教學(xué)思考

1. 學(xué)科融合，本質(zhì)認識

中學(xué)學(xué)科都不是獨立存在的，各科之間是相互關(guān)聯(lián)、相互滲透、共同發(fā)展的，例如涉及物理運動學(xué)的幾何知識，解題的思路也應(yīng)該從運動角度來理解變化，然后結(jié)合數(shù)學(xué)幾何來理解軌跡. 因此數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程要注重學(xué)科之間的滲透融合，理解知識的本質(zhì)，強調(diào)知識之間的聯(lián)系，用融合發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程. 在教學(xué)中教師有必要對數(shù)學(xué)中的物理問題進行針對性講解，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)和物理兩方面理解問題，從而增強學(xué)生對問題本質(zhì)的認識.

2. 還原課本，變式學(xué)習(xí)

結(jié)合了物理運動知識的幾何壓軸題其本質(zhì)上是幾何動點問題，也完全遵從教材習(xí)題變式設(shè)計思想，充分結(jié)合幾何基礎(chǔ)知識，問題的設(shè)計也是對學(xué)生相對熟悉的習(xí)題進行引申. 因此，在教學(xué)中教師授課也應(yīng)該依綱靠本，注重課本重點知識的講解，對于教材中的核心概念要進行具體、有針對性地講解，不可抽象、簡單地講解，造成學(xué)生理解的障礙. 對于復(fù)習(xí)課要摒棄機械的題海訓(xùn)練，要充分把握教材的核心功能，充分利用教材習(xí)題，開展變式拓展教學(xué)，初步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

3. 注重思維，學(xué)習(xí)思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個注重思維的過程，在思維過程中產(chǎn)生的思想方法是學(xué)生對知識和方法形成的理性認識，這才是學(xué)習(xí)的重點. 對于幾何動點問題，其中的轉(zhuǎn)化思想是學(xué)習(xí)的重點. 只有準確把握數(shù)學(xué)思想，才能從本質(zhì)上提升解題能力. 因此，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深刻體會習(xí)題中的思想方法，并對其進行總結(jié)概括，強化滲透，開展拓展訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想解決問題的意識，形成解題思維.

寫在最后

關(guān)于結(jié)合了物理運動學(xué)的幾何問題，要充分認識動點的軌跡特性，建立其運動的幾何模型，實現(xiàn)問題的幾何轉(zhuǎn)化，有效利用幾何性質(zhì)來分析求解. 在教學(xué)中教師要重視學(xué)科間的結(jié)合點，幫助學(xué)生充分認識知識的本質(zhì)聯(lián)系；將問題還原到課本習(xí)題，開展變式教學(xué)；注重學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)的思想方法.endprint