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    定值誠(chéng)可貴,拓展價(jià)更高
    ——2019年全國(guó)卷Ⅰ文科第21題剖析

    2019-01-29 17:26:11河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)崔宴鴻
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年17期
    關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)

    ☉河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué) 崔宴鴻

    圓錐曲線中的定值問(wèn)題充分展示了幾何“動(dòng)態(tài)”與代數(shù)“靜態(tài)”的完美統(tǒng)一,是平面解析幾何中的綜合與交匯問(wèn)題,也是歷年高考中常見的基本題型之一.2019年高考全國(guó)卷Ⅰ文科第21題,通過(guò)圓錐曲線的定值問(wèn)題與點(diǎn)的存在性問(wèn)題的融合,把兩個(gè)創(chuàng)新問(wèn)題合理交匯在一起考查,綜合考查數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力.

    一、真題再現(xiàn)

    真題(2019·全國(guó)卷Ⅰ文·21)已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x+2=0相切.

    (Ⅰ)若點(diǎn)A在直線x+y=0上,求⊙M的半徑;

    (Ⅱ)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),|MA|-|MP|為定值?并說(shuō)明理由.

    本題從簡(jiǎn)單的線段長(zhǎng)度、圓及直線與圓的位置關(guān)系等條件入手,在特殊條件下確定圓的半徑,并結(jié)合點(diǎn)的存在性的判定來(lái)確定相應(yīng)線段的長(zhǎng)度差的定值問(wèn)題.知識(shí)簡(jiǎn)單易懂,而題目非常新穎,創(chuàng)新性強(qiáng),充分考查學(xué)生的閱讀理解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,巧妙地將問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化,利用圓的相關(guān)知識(shí)、直線與圓的位置關(guān)系及軌跡方程的求解、拋物線的定義與基本性質(zhì)等來(lái)處理問(wèn)題.

    二、真題解析

    方法1:(官方標(biāo)準(zhǔn)答案)(Ⅰ)因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A、B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.

    由于點(diǎn)A在直線x+y=0上,且點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,所以點(diǎn)M在直線y=x上,故可設(shè)點(diǎn)M(a,a).

    因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切,所以⊙M的半徑r=|a+2|.

    由已知得|AO|=2.

    故⊙M的半徑r=2或r=6.

    (Ⅱ)存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.

    理由如下:

    設(shè)點(diǎn)M(x,y),由已知得⊙M的半徑r=|x+2|,|AO|=2.

    因?yàn)榍€C:y2=4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以|MP|=x+1.

    因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

    點(diǎn)評(píng):通過(guò)條件確定點(diǎn)M所在的直線,進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)M(a,a),利用直線與圓相切的位置關(guān)系確定⊙M的半徑r=|a+2|,并結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì),利用勾股定理建立關(guān)系式,從而得以確定參數(shù)a的值,再確定⊙M的半徑;在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),通過(guò)軌跡的求解,結(jié)合拋物線的方程,借助拋物線的定義與幾何性質(zhì)來(lái)確定滿足條件的定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題.

    方法2:(軌跡轉(zhuǎn)化法)設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切,所以⊙M的半徑r=|x+2|,|AO|=2.

    (Ⅰ)因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A、B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.

    由于點(diǎn)A在直線x+y=0上,且點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,所以點(diǎn)M在直線y=x上.

    將y=x代入y2=4x,可得x2=4x,解得x=0或x=4.

    故⊙M的半徑r=2或r=6.

    (Ⅱ)存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.

    理由如下:

    因?yàn)榍€C:y2=4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以|MP|=x+1.

    因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

    點(diǎn)評(píng):通過(guò)條件設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y),利用直線與圓相切的位置關(guān)系確定⊙M的半徑r=|x+2|,并結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì),利用勾股定理的轉(zhuǎn)化來(lái)確定與求解對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的軌跡方程,在此條件下結(jié)合點(diǎn)M所在的直線聯(lián)立方程組,進(jìn)而確定參數(shù)x的值,得以確定⊙M的半徑;從而,結(jié)合軌跡方程,利用拋物線的方程,借助拋物線的定義與幾何性質(zhì)來(lái)確定滿足條件的定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題.

    方法3:(分類討論法)(Ⅰ)由于點(diǎn)A在直線x+y=0上,所以可設(shè)點(diǎn)A(t,-t),則點(diǎn)B(-t,t).

    又|AB|=4,則8t2=16,解得.

    因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A、B,所以圓心M在AB的垂直平分線上,即點(diǎn)M在直線y=x上.

    可設(shè)點(diǎn)M(a,a).

    因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切,所以⊙M的半徑r=|a+2|.

    故⊙M的半徑r=2或r=6.

    (Ⅱ)存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.

    理由如下:

    由于點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,則直線AB必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且|OA|=2.

    ①當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí),點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1,為定值.

    ②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx(k≠0),則⊙M的圓心M必在直線上,可設(shè)點(diǎn)M(-km,m).

    因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切,所以⊙M的半徑r=|-km+2|.

    因?yàn)榍€C:y2=4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以|MP|=x+1.

    因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

    ③當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線AB的方程為x=0.

    此時(shí)點(diǎn)M在x軸上,可設(shè)點(diǎn)M(n,0).

    此時(shí)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1,為定值.

    綜上所述,存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.

    點(diǎn)評(píng):通過(guò)條件設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo),進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo),通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化得到,再結(jié)合條件確定點(diǎn)M所在的直線,進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)M(a,a),利用直線與圓相切的位置關(guān)系確定⊙M的半徑r=|a+2|,結(jié)合|MA|=|MB|=r,利用兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化來(lái)確定參數(shù)a的值,得以確定⊙M的半徑;在此基礎(chǔ)上,通過(guò)分類討論,分直線AB的斜率為0、直線AB的斜率存在且不為0及直線AB的斜率不存在三種情況,準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的軌跡情況,從而得以確定滿足條件的定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題.

    三、變式拓展

    探究1:以上高考真題的破解主要圍繞點(diǎn)M的軌跡方程展開,從而在具體問(wèn)題中隱含著軌跡方程的求解.因而破解點(diǎn)M的軌跡方程是重中之重.

    【變式1】已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x+2=0相切.試求點(diǎn)M的軌跡方程.

    解析:設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切,所以⊙M的半徑r=|x+2|,|AO|=2.

    點(diǎn)評(píng):借助高考真題,從中抽取精華部分,即確定點(diǎn)M的軌跡方程.而這也是拋物線的另一幾何意義或定義,可以進(jìn)一步歸納為一般性的拋物線的軌跡方程問(wèn)題.

    【結(jié)論】已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=2p(p>0),⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x=-p相切.則點(diǎn)M的軌跡為拋物線C:y2=2px.

    同理,已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=2p(p>0),⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x=p相切.則點(diǎn)M的軌跡為拋物線C:y2=-2px.

    已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=2p(p>0),⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線y=-p相切.則點(diǎn)M的軌跡為拋物線C:x2=2py.

    已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=2p(p>0),⊙M過(guò)點(diǎn)A,B且與直線y=p相切.則點(diǎn)M的軌跡方程為拋物線C:x2=-2py.

    四、規(guī)律總結(jié)

    處理平面解析幾何中的定值問(wèn)題,常見思維方法有以下兩種:(1)從特殊條件入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出相應(yīng)的定值,再證明這個(gè)所求的定值與相應(yīng)的變量無(wú)關(guān);(2)直接通過(guò)邏輯推理、代數(shù)計(jì)算,在計(jì)算與推理的過(guò)程中消去相應(yīng)的變量,從而得到相應(yīng)的定值.

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