二次函數(shù)背景下面積最值問(wèn)題的解題方法與課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

程冬蕊

【摘要】本文分別從不同的角度介紹二次函數(shù)背景下面積最大值的求解思路，其中切線法，靠軸三角形的運(yùn)用使得解題技巧獨(dú)到精巧，綜合對(duì)比求解思路的基礎(chǔ)上，給出在課堂教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練的教學(xué)設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，用系列課題組引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，對(duì)教學(xué)也有啟發(fā)意義.

【關(guān)鍵詞】最值問(wèn)題；割補(bǔ)法；切線法

1典型例題及解法

例題已知拋物線y=－x2－2x+3交x軸于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，試求△ACP面積的最大值.

思路一如圖2，由點(diǎn)P向x軸作垂線PD，垂足為D.

S△PAC=S△PDA+S梯形ODPC－S△AOC

=12PD·AD+12（PD+OC）·OD-12OA·OC

=12PD×（AD+OD）12OC×（OA-OD）

=12PD·OA-12AD·OC.

思路二 如圖3，由點(diǎn)P向x軸作垂線PD，垂足為D.并連接CD，作CE⊥PD，垂足為E.

S△PAC=S△PDA+S△DPC－S△ADC

=12PD·AD+12PD·CE-12AD·OC

=12PD·OA-12AD·OC.

思路三如圖4，由點(diǎn)P向x軸作垂線PD，垂足為D.由點(diǎn)P向y軸作垂線PE，垂足為E.再連接OP.

S△PAC=S△POA+S△OPC－S△AOC

=12PD·OA+12OC·PE-12OA·OC

=12PD·OA－12（OA－PE）·OC

=12PD·OA-12AD·OC.

思路四如圖5，由點(diǎn)P向x軸作垂線PD，垂足為D.PD、AC相交于點(diǎn)F，再作PD的垂線CE.

S△PAC=S△PFA+S△PFC

=12PF·AD+12PF·CE

=12PF·AD+CE

=12PF·OA.

思路四詳細(xì)解答過(guò)程：

如圖5，由點(diǎn)P向x軸作垂線PD，垂足為D.

PD、AC相交于點(diǎn)F，再作PD的垂線CE.

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），其中-3<t<0，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為t，－t2－2t+3

S△PAC=S△PFA+S△PFC

=12PF·AD+12PF·CE

=12PF·AD+CE

=12PF·OA.

因?yàn)镃（0，3），

所以設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，

因?yàn)锳（-3，0）在直線AC上，

所以-3k+3=0，

所以k=1，

所以直線AC解析式為y=x+3，

所以F（t，t+3），

所以PF=xP－xF=（－t2－2t+3）-（t+3）=－t2－3t，

所以S△PAC=12PF·OA

=12（－t2－3t）×3

=-32（t2+3t）

=-32（t+32）2+278，

所以S△PAC的最大值為278.

思路五設(shè)直線AC解析式為 y = kx +3，

因?yàn)?A （-3，0）在直線 AC 上，

所以-3k +3=0，k =1，

所以直線AC解析式為y = x +3.

如圖6，過(guò)P作一條平行于 AC的直線 y = x + m ，交y軸于Q，

由y=x+m

y=－x2－2x+3，

得x2+3x+m－3=0

當(dāng)兩條直線間距離達(dá)到最大值時(shí)，S△ACP 最大，此時(shí)直線與拋物線相切，

Δ=32－4m－3=0，

解得m=214.

連接 AQ ，

因?yàn)?PQ∥AC，

所以S△PAC=S△QAC=CQ×OA2

=214－3×3×12=278.

2解題反思

我們從不規(guī)則三角形向可求面積的規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化的過(guò)程是主要解題方法，割補(bǔ)思路可謂精妙，但基本是都是著眼于靜態(tài)圖形的面積的轉(zhuǎn)化，而忽略了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)，僅從數(shù)的角度給出證明，用二次函數(shù)最大值的配方法和公式法格式化求解，不能算是最完美的解題思路，運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)就是點(diǎn)在曲邊圖形的一條邊上運(yùn)動(dòng)，必然影響到豎直方向的鉛垂高度，面積表達(dá)式的建立，必然依賴于割補(bǔ)法，即使水平方向截距不變，只要鉛垂高有最值，△ACP的面積就必然有最值，而這一鉛垂高度是由兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差決定的，這樣就有了整體的解題思路，割與補(bǔ)的方法多樣性是這一類題目解法多樣性的根本原因.

思路四就是傳說(shuō)中的“鉛垂高乘以水平寬除以2”的解法表達(dá)式，雖然表示簡(jiǎn)單也算精妙，但計(jì)算量不亞于前三個(gè)，因?yàn)楸仨毾惹驠這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和用待定系數(shù)法確定AC的解析式，為了展現(xiàn)此題解題過(guò)程的完整性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算之美.

思路五直接將動(dòng)點(diǎn)P與直線AC間的距離當(dāng)做三角形的高，由于動(dòng)點(diǎn)P在曲線線段AC上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P到AC的距離會(huì)發(fā)生改變，直接運(yùn)用面積公式S△ACP=AC×PG2，PG越大，面積就越大，PG取什么值時(shí)候面積最大呢？就是當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到直線PQ與拋物線相切的切點(diǎn)處時(shí)，怎樣刻畫直線相切？又轉(zhuǎn)到構(gòu)建方程組，并轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式的應(yīng)用問(wèn)題上，“相切”等價(jià)于“Δ=0”，用轉(zhuǎn)化思想及判別式法巧求m這一解題過(guò)程顯然高大上，拋棄經(jīng)典解法割補(bǔ)法運(yùn)用了非常巧妙的切線法，最后得出m的值的方法更是巧妙至極，直接將三角形等積化，用和它的面積相等的△ACQ代替，它是可求面積的靠軸三角形，兩條平行線間同底等高三角形的一個(gè)等量代換代替了復(fù)雜的配方和公式法，學(xué)生看到此，會(huì)感到出乎意料，創(chuàng)新意味爆棚！

3課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

我們從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)看，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是它到x軸的距離，因此我們便有了下面的教學(xué)建議，在解題中發(fā)現(xiàn)題目的多個(gè)考察點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)多種解法.教學(xué)中卻常常困住學(xué)生，限制學(xué)生思維，沒(méi)有架設(shè)好上樹的梯子又怎能摘到香甜可口的果子？讓學(xué)生生搬硬套，直接給他一個(gè)公式“鉛錘高乘水平寬除以2”了事？學(xué)生莫名其妙，課堂效果怎么好？為了讓孩子自己摘到果子，我們就應(yīng)該設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題串.

問(wèn)題1如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于x軸，垂足為D，線段PD的長(zhǎng)度是否有變化？什么時(shí)候PD的值最大？PD的值和二次函數(shù)y=-x2-2x+3的最值有何關(guān)系？（設(shè)計(jì)思路：點(diǎn)P到x軸的距離就是二次函數(shù)最值，通過(guò)這一簡(jiǎn)單問(wèn)題滲透數(shù)形結(jié)合思想.垂線段PD的長(zhǎng)度就是最值的幾何直觀，讓學(xué)生深刻理解二次函數(shù)最值的幾何意義）

問(wèn)題2如圖2，你能求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？連接PA，PB，你能求出△PAB面積最大值嗎？（設(shè)計(jì)思路：讓學(xué)生知道△PAB面積最大值受高PD最值的直接影響，它是前面一個(gè)問(wèn)題的直接運(yùn)用并為割補(bǔ)法做鋪墊）

問(wèn)題3? 如圖2，你能求出直線AC的解析式嗎？若在直線AC上存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，作EF垂直于x軸，垂足為F，垂線段EF的長(zhǎng)度如何表示？它與直線AC的解析式有何關(guān)系？（設(shè)計(jì)思路：掌握EF的長(zhǎng)度與動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)垂線段EF長(zhǎng)度的本質(zhì)就是E的縱坐標(biāo)這一變量.）

問(wèn)題4如圖2，如果E是PD與AC的交點(diǎn)線段，PE將如何表示？你能求得最值嗎？（設(shè)計(jì)思路：引導(dǎo)用點(diǎn)P和點(diǎn)E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差來(lái)表達(dá)兩點(diǎn)間的距離.）

問(wèn)題5? 如圖5，在此基礎(chǔ)上連接PA，PC，得到△PAC，你想用什么方法表達(dá)△PAC的面積呢？你能用分割的方法來(lái)做這道題嗎？（設(shè)計(jì)思路：引導(dǎo)學(xué)生將△PAC轉(zhuǎn)化成△PAF與△PCF的面積之和.）

問(wèn)題6你還有其他表示△PAC面積的割補(bǔ)方法嗎？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出用割補(bǔ)法表達(dá)△PAC面積的不同思路？（設(shè)計(jì)思路：引導(dǎo)學(xué)生尋求不同于第一分格方法的割補(bǔ)思路.）

問(wèn)題7我們?cè)谝陨系挠懻撝惺褂昧烁钛a(bǔ)法，列出了△PAC面積的表達(dá)式，你認(rèn)為其中最關(guān)鍵的一步是什么？哪一條線段特別重要？表示這條線段你用到了哪些知識(shí)？（設(shè)計(jì)思路：引導(dǎo)學(xué)生歸納割補(bǔ)法的本質(zhì)，一步步地形成“鉛垂高”和“水平寬”的概念得出面積的簡(jiǎn)單表達(dá)式.）

問(wèn)題8? 如圖6，拋開以上思路，另辟新思路，我們由點(diǎn)P向AC作垂線段PG，PG和△PAC有什么關(guān)系？PG的長(zhǎng)度是變化的嗎？它是怎樣變化的？它有最大值嗎？當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到哪里時(shí)？會(huì)使PG的長(zhǎng)度最大？（設(shè)計(jì)思路：引導(dǎo)學(xué)生分析得出PG越大，三角形面積就越大.）

問(wèn)題9? 用幾何畫板設(shè)計(jì)動(dòng)畫展示，追蹤點(diǎn)P移動(dòng)到切點(diǎn)的過(guò)程，觀察面積最大時(shí)的點(diǎn)P的位置.然后再問(wèn)學(xué)生，我們不用幾何畫板，用什么好辦法直接找到這個(gè)點(diǎn)呢？緊接著飛入直線PQ，借助這條和AC平行的直線能確定點(diǎn)P嗎？（設(shè)計(jì)思路：當(dāng)PQ向上平移的過(guò)程中，總會(huì)出現(xiàn)與拋物線相切的情況，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn).）

問(wèn)題10? 我們得到了能使三角形的高PG最大的點(diǎn)P，你將怎樣去求△PAC的最大值呢？（設(shè)計(jì)思路引導(dǎo)學(xué)生用判別式，判別式法求m的值.）

問(wèn)題11如圖6，連接AQ ，△APC 和△AQC是夾在兩條平行線之間的兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的底和高分別有什么關(guān)系？它們的面積相等嗎？為什么？（設(shè)計(jì)思路：引導(dǎo)學(xué)生用△AQC的面積來(lái)代替△APC的面積去求△PAC面積的最值.）

通過(guò)以上問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)兩類解法的思路，體現(xiàn)解題策略的生成過(guò)程，以割補(bǔ)法為鋪墊，多種割補(bǔ)法發(fā)散性地訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維抽象歸納為一個(gè)完整的鉛錘高乘以水平寬的過(guò)程，這正是新課標(biāo)所要求的.

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