對稱性、輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用

朱碧 李帥

[摘要]對稱不僅存在于日常生活中，在高等數(shù)學(xué)的積分中，尤其是重積分中也十分常見。在高等數(shù)學(xué)中積分是相當(dāng)重要的內(nèi)容，重積分的計算過程有時是相當(dāng)復(fù)雜的，但是特殊情況也有巧妙的求解方法，對稱性、輪換對稱性就是一種非常巧妙的方法。本文分析并歸納總結(jié)了輪換對稱性在積分計算和證明中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]重積分;對稱性;輪換對稱性;積分計算

一、輪換對稱的定義

定義1：設(shè)D為一有界可度量的平面區(qū)域，若∨x，y∈D，y，x∈D，那么稱區(qū)域D關(guān)于x，y具有輪換對稱性。

定理1：設(shè)D為一有界可度量平面區(qū)域，并且關(guān)于x，y具有輪換對稱性，z=f（x，y）是定義在D上的連續(xù)函數(shù)，則度量微元）。

定義2：設(shè)Q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，如果x，y，z任意兩者互換位置Q都不變，則稱Q關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性。

定理2：設(shè)Q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，若Q關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性，w= f （x，y，z）是Q上的連續(xù)函數(shù)，則

二、重積分的計算和證明一利用對稱性、輪換對稱性

我們將通過一系列例子，把重積分的積分區(qū)域?qū)ΨQ性問題和被積函數(shù)對稱性問題逐一研究，在研究的過程中感受對稱性和輪換對稱性在重積分計算時的重要作用。

[注]如果被積函數(shù)或其代數(shù)和的某一部分具有對稱性，我們也可以此作為突破口來求解。

這一例子就是著名的施瓦茨不等式，當(dāng)然這個著名不等式的證明不止這一種方法，但是通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，其他的證明方法要么繞了很大彎子，最終回歸定義上，要么計算量十分大。顯然，運(yùn)用對稱性和輪換對稱性在證明重積分的相關(guān)結(jié)論時是相當(dāng)輕松的。

總結(jié)

以上的計算和證明都巧妙地利用了對稱性或輪換對稱性的相關(guān)知識，從而使看上去煩瑣復(fù)雜的計算和證明過程簡單了許多。當(dāng)然，上述例子的計算和證明方法肯定不止這一種，但是，其他路徑都不如此來得更直接、精煉。我們利用對稱性和輪換對稱性來計算、證明重積分的相關(guān)結(jié)論時，首先要看清是關(guān)于原點(diǎn)對稱，還是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，或是其具有輪換對稱性，以便于我們更好地利用總結(jié)的結(jié)論直接求解。

通過以上幾個例子對重積分中的對稱性進(jìn)行了解釋說明，由此可見對稱性，尤其是輪換對稱性在重積分計算過程中的重要作用，對稱性的運(yùn)用不僅可以簡化許多計算步驟，還可以省去數(shù)學(xué)解題中許多煩瑣的問題，使我們可以節(jié)約更多的時間。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與指導(dǎo)[M].北京：地質(zhì)出版社，2001.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第五版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]錢吉林.數(shù)學(xué)分析解題精粹[M].武漢：崇文書局，2003.