淺談多元函數(shù)極值的應用

張芳

[摘要]文章主要運用了多元函數(shù)極值的判定方法去解決在實際生活中利潤最大化、效用最大化以及物理學方面的問題。

[關鍵詞]多元函數(shù);極值;判定方法;應用

一、利潤最大化問題應用

多元函數(shù)極值在經(jīng)濟學利益最大化問題中應用較為廣泛，對于企業(yè)單位來講，借助多元函數(shù)的極值可以快速得到利潤最大化途徑，對于實際行為具有一定的指導意義。

例1：某企業(yè)在對商品進行廣告宣傳中，可以采取傳統(tǒng)媒體報紙和現(xiàn)代媒體電視兩種途徑，通過單位以往的廣告經(jīng)驗，對于這兩種廣告途徑所獲得的利潤關系為：

x1為電視廣告費用支出，X2為報紙廣告費用支出，Z為企業(yè)商品銷售的總收入（單位為萬元）。根據(jù)廣告與收益的關系，求出最佳的廣告方式，使得企業(yè)的收益最大化。

解：企業(yè)收益值為商品銷售值與廣告投入費用值，設企業(yè)的最大利潤為：

由于該函數(shù)的駐點矩陣為負矩陣，由此可得利潤函數(shù)在駐點位置的值為最大值，也就是該企業(yè)廣告策略的利潤最大化，即電視廣告費用為1/6萬元，報紙廣告費用為35/12萬元，這樣可以獲得最大利潤點。

企業(yè)單位借助于多元函數(shù)的極值可以很好地解決利潤最大化的問題，通過極值的運用，企業(yè)不僅可以在支付和收入之間尋找一個均衡點以獲取利潤的最大化，還可以在限定的預算支出情況下找到費用支出的最佳點，實現(xiàn)資金資源的最佳利用和資源最優(yōu)配置，這對于企業(yè)追求利潤最大化來講，多元函數(shù)極值的應用起到了很大的作用。

二、效用最大化問題

在經(jīng)濟學中，經(jīng)常會涉及效用最大化問題，在解決該種類型的問題中，通常借助拉格朗日乘數(shù)法來對此問題進行解答。消費者在生活消費中，所追求的就是效用最大化，即對所購商品的滿意程度的最大化。

例2：設消費者的效用函數(shù)u= U（x1，X2），預算約束條件為I= P1x1+ P2X2，則相應的拉格朗日乘數(shù)函數(shù)為：

式中λ為拉格朗日乘數(shù)，x1為消費者所購買物品的單價，X2為消費者所購物品的件數(shù)，求效用最大化的條件。

解：容易得到效用最大化的一階條件為

由一階條件中的前兩個式子可得

，式中可以表示商品的邊際替代率。

所以，效用最大化的必要條件為：兩個商品的邊際替代率等于兩個商品的價格之比。由一階條件中的前兩個式子可得，式中拉格朗日乘數(shù)表示貨幣的邊際效用。效用最大化的必要條件也可以表述為：消費者花費在各個商品上的最后一元錢所帶來的邊際效用都相等，且等于貨幣的邊際效用。

在經(jīng)濟學中，通過對多元函數(shù)極值的應用，可以很好地將其運用到商品經(jīng)濟的消費中來，這樣消費者可以借助于多元函數(shù)的極值問題找到一定的消費預算和效用的平衡點，幫助消費者選擇性價比最佳的商品，達到消費者滿意程度的最大化。

本文通過實際案例的方式研究了多元函數(shù)在不同領域的實際應用，借助多元函數(shù)極值的應用，對于企業(yè)利潤最大化、消費者效用最大化以及生活實際問題等進行了解決，這對于各個領域都起到了一定的擇優(yōu)選配的作用，有效地實現(xiàn)了資源的合理利用和優(yōu)化配置?，F(xiàn)在，全世界都面臨著資源缺乏的問題，如何使能源的分配和使用更加合理已經(jīng)成為人們迫切需要解決的問題，而數(shù)學作為解決這些問題的工具必將發(fā)揮其作用。

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