含幾何缺陷的均質(zhì)材料懸臂薄板的自由振動(dòng)*

王宇 郝育新

(北京信息科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院,北京 100192)

引言

TC4鈦合金材料的組成為T(mén)i-6Al-4V,具有優(yōu)良的耐腐蝕性,密度較小而比強(qiáng)度較高,同時(shí)具有良好的韌性和焊接性能等一系列優(yōu)點(diǎn).該材料存在于汽車(chē)船舶、航空航天、石油化工、醫(yī)藥等各行業(yè)領(lǐng)域中.

懸臂板結(jié)構(gòu)是在工程中廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu),也是動(dòng)力學(xué)研究中頗為常見(jiàn)的一種研究模型.Tao[1]研究了Mindlin懸臂板的振動(dòng)控制,提出了獨(dú)立模態(tài)空間控制和波控制,并應(yīng)用于抑制振動(dòng).呂書(shū)鋒[2]研究了橫向氣動(dòng)載荷和參數(shù)激勵(lì)聯(lián)合作用下復(fù)合材料懸臂外伸矩形板在伸出過(guò)程中的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.Li[3]采用Theodorsen機(jī)翼理論研究了懸臂板的模態(tài)耦合,并探究了各種實(shí)際因素對(duì)模態(tài)的細(xì)微影響.孫曉婷[4]研究了懸臂板的動(dòng)力學(xué)特性,采用康特洛維奇法求解了懸臂板的固有特性.劉利軍[5]對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模及發(fā)展過(guò)程進(jìn)行了綜述總結(jié),研究了繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛—柔耦合懸臂板結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)及振動(dòng)特性.杜長(zhǎng)城[6]研究了功能梯度矩形薄板的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,分析了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的周期振動(dòng)狀態(tài).

在板材加工和運(yùn)輸過(guò)程中會(huì)因各種情況產(chǎn)生初始幾何缺陷,使得懸臂板產(chǎn)生各種細(xì)微的變化,但會(huì)對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生較為明顯的影響和變化,因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于模型含幾何缺陷的動(dòng)力學(xué)研究也比較多.Ankit[7]基于高階剪切變形理論對(duì)含有初始幾何缺陷梯度板進(jìn)行了數(shù)值研究.Rafee[8]以正、余弦以及雙曲函數(shù)模擬了初始幾何缺陷,研究了含初始幾何缺陷的壓電功能梯度材料碳納米管增強(qiáng)層合板的非線性動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性.Bruno[9]采用一種均一法,對(duì)含初始缺陷的夾層板進(jìn)行了幾何非線性分析.Li[10]研究了含初始幾何缺陷的考慮剪切變形的各向異性梁的屈曲與后屈曲行為.Kirichenko[11]研究了含初始缺陷的熱彈性多層淺圓柱殼在非經(jīng)典數(shù)學(xué)模型下的耦合問(wèn)題.王珂晟[12]研究了含初始缺陷的夾層圓柱殼的非線性屈曲問(wèn)題,得到了屈曲載荷、缺陷幅值、缺陷波數(shù)、夾心模量等參量之間的關(guān)系.Chen[13]研究了含初始應(yīng)力和幾何缺陷的功能梯度板的非線性振動(dòng)問(wèn)題,得到了初始應(yīng)力、幾何缺陷和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)非線性振動(dòng)響應(yīng)的變化影響.

在諸多有關(guān)幾何缺陷的動(dòng)力學(xué)研究中,對(duì)于固有頻率的研究少有涉及.基于經(jīng)典板殼理論,預(yù)設(shè)懸臂板的模態(tài)函數(shù)[14],采用Rayleigh-Ritz法求得懸臂板固有頻率.根據(jù)模擬實(shí)際情況中產(chǎn)生的缺陷所得到的擬合缺陷函數(shù)和三角函數(shù)來(lái)表示缺陷形式,加入動(dòng)力學(xué)模型中,得到不同類(lèi)型缺陷的板頻率.

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

如圖1所示的均質(zhì)懸臂薄版模型,本文研究該模型無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況下的前4階頻率.

圖1 均質(zhì)懸臂薄板Fig.1 Homogeneous cantilever thin plate

本文模型為各向同性的均質(zhì)材料懸臂板,采用彈性薄板小撓度理論基本假設(shè),撓度(w)沿著板的厚度方向的分量可以略去,同厚度中各處撓度等于中面的撓度.動(dòng)力學(xué)方程具體如下：

位移分量[14]：

(1)

式中w2為缺陷項(xiàng).

應(yīng)變分量[14]：

(2)

本構(gòu)關(guān)系[14]：

(3)

(4a～c)

式中E為彈性模量,μ為泊松比.

能量方程[14]：

變形能U、動(dòng)能T分別如下：

(5a)

(5b)

1.2 缺陷形式

(A)全局型缺陷：

(6)

(B)局部缺陷：

(7a)

(7b)

公式(7a)表示自由-自由方向幾何缺陷,與x坐標(biāo)相關(guān),(7b)表示懸臂方向幾何缺陷,與y坐標(biāo)相關(guān).這兩種缺陷函數(shù)由實(shí)際可能出現(xiàn)的缺陷形狀擬合所得.

η為缺陷尺度的系數(shù),控制缺陷整體大小程度；δn控制半波數(shù)或缺陷的密集程度；ψn控制缺陷位置.全局型缺陷均布于整個(gè)板面,故不做不同ψn值的對(duì)比.

懸臂方向的局部缺陷與y相關(guān),自由方向的局部缺陷與x相關(guān).ψ1和ψ2分別控制自由、懸臂方向局部缺陷的中心位置,δ1和δ2控制局部缺陷的集中程度和影響范圍.

2 固有頻率求解

固有頻率也稱(chēng)自然頻率(natural frequency),即物體自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)頻率.對(duì)于板殼等結(jié)構(gòu)的固有頻率進(jìn)行的研究有著廣泛而深遠(yuǎn)的實(shí)用性.一方面,對(duì)于結(jié)構(gòu)安全、結(jié)構(gòu)使用壽命等實(shí)際應(yīng)用方面有著重要的意義,而且對(duì)含幾何缺陷的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究更是具有實(shí)用意義；另一方面,對(duì)板殼的模態(tài)分析的成果和結(jié)論,可以為進(jìn)一步分析求解其更多動(dòng)力學(xué)特性提供有意義的參照.根據(jù)所研究對(duì)象的特點(diǎn),本文采用Rayleigh-Ritz法對(duì)懸臂薄板的各階固有頻率的進(jìn)行求解.

2.1 振型函數(shù)

此處w1(x,y,t)為假設(shè)的模態(tài)函數(shù),滿足懸臂邊界條件.Cmn為待定系數(shù),通過(guò)選擇該系數(shù)使得Umax-Tmax的值最小.

w1(x,y,t)=w0(x,y)sin(ωt)

(8)

(9)

根據(jù)懸臂邊界條件,即：x=0固支,x=a和y=0,b自由,振型函數(shù)形式如下：

Xi(x)=sinλix-sinhλix+αi(coshλix-cosλix)

(10)

Y1=1

(11a)

(11b)

Yj(y)= sinμjy+sinhμjy-βj(coshμjy+cosμjy)

(j>2)

(11c)

cosλia·coshλia+1=0

cosμjb·coshμjb-1=0

(11d)

式中：

λ1=1.875,λ2=4.694,λ3=7.854…

μ1=4.730,μ2=7.853,μ3=10.995…

由方程(1)得到加入缺陷項(xiàng)的位移形式,再將方程(10)、(11)帶入方程(9)中即可得到具體的振型函數(shù)；再將所得函數(shù)帶入(2)得到應(yīng)變方程；根據(jù)本關(guān)系(3)、(4)得到應(yīng)力方程.

2.2 求解

由所得應(yīng)力方程、應(yīng)變方程和位移形式(1)帶入方程(5a)、(5b)可得勢(shì)能、動(dòng)能最大值表達(dá)式分別為：

(13a)

(w0dt)2]dV

(13b)

圓頻率的求解：

(14)

將方程(9)帶入方程(13)中,得到勢(shì)能、動(dòng)能最大值的展開(kāi)式；再將方程(13)帶入方程(14)中,得到含m×n個(gè)關(guān)于Cmn和的齊次方程的方程組,將Cmn作為自變量提取所得到的方程組的系數(shù)矩陣Amn(只包含常數(shù)和Cmn及w),求解|Amn|=0,即可得到各階圓頻率的值.

3 對(duì)比驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 對(duì)比結(jié)果

為了驗(yàn)證本文算法的可靠性和準(zhǔn)確性,取孫曉婷[4]中的算例進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,并用Ansys進(jìn)行有限元分析,其幾何物理參數(shù)如下：

a= 0.133 m,b=0.109 m,h=0.00135 m,

E=1.138×1011Pa,μ= 0.31,ρ= 4420 kg/m3

結(jié)果如表1所示,前兩階固有頻率值優(yōu)于參考文獻(xiàn)[4],三、四階誤差率略大于前兩階頻率.

表1 固有頻率與其他理論及ANSYS有限元分析的對(duì)比Table 1 Comparisons of natural frequencies of cantilever platefrom other theories and ANSYS finite element analysis

另外將本文模型利用ANSYS有限元分析結(jié)果求得前四階固有頻率,與本文算法另做對(duì)比,本文所用參數(shù)尺寸：

a= 0.266 m,b=0.209 m,h=0.002 m,

E=1.138×1011Pa,μ= 0.31,ρ= 4420 kg/m3

結(jié)果如表2所示由上可知本文算法比較準(zhǔn)確可靠.

表2 懸臂板固有頻率與ANSYS有限元分析的對(duì)比Table 2 Comparisons of natural frequencies of cantilever plate from R-R method and ANSYS finite element analysis

3.2 固有頻率

(1)全局型缺陷(η=0.1,ψ0=0.5)

各階固有頻率隨著δ0值的增大而明顯變大,如圖2(a)、(b),δ0分別為1、3,可見(jiàn)隨著半波數(shù)δ0值的增大,缺陷越來(lái)越密集.

圖2 全局型幾何缺陷Fig.2 Global geometrical imperfections

如圖3所示.由此可知,懸臂板受缺陷影響隨著缺陷密度集中程度的增長(zhǎng)而變大,即缺陷越為集中,對(duì)于振動(dòng)中的板材在偏離平衡位置時(shí)的回彈起到積極作用,故頻率變大.

圖3 含全局型幾何缺陷的懸臂板的固有頻率Fig.3 Natural frequencies of cantilever plate with global geometrical imperfection

(2)局部缺陷(η=0.1)

自由-自由方向缺陷如圖4所示,(a)為ψ1=0.133,δ1=0.02；(b)為ψ1=0.133,δ1=0.01.

懸臂方向缺陷如圖5所示,(a)為ψ2=0.133,δ2=0.01；(b)為ψ2=0.133,δ2=0.01.

圖5 懸臂方向局部幾何缺陷Fig.5 Localized geometrical imperfections on the cantilever direction

同全局型缺陷一樣,各階固有頻率隨著δ1值的減小而明顯增大,如表3所示.故可認(rèn)為缺陷越為集中,懸臂板的固有頻率數(shù)值越大.

另一方面,表3對(duì)比了不同方向各階固有頻率數(shù)值,由表3可見(jiàn)在懸臂方向除基礎(chǔ)頻率外各階頻率都大于自由-自由方向.綜合圖6所示的前四階模態(tài)的振型：圖(a)、(b)、(c)、(d)分別為無(wú)缺陷懸臂薄版的前四階固有頻率.

表3 含局部幾何缺陷的懸臂板的固有頻率(ψ1、ψ2=0.133)Table 3 Natural frequencies of cantilever plate with localized geometrical imperfections (ψ1、ψ2=0.133)

圖6 無(wú)幾何缺陷懸臂薄版ANSYS有限元分析云圖Fig.6 Stress and deformation nephogram of cantilever thin plate withoutgeometrical imperfection through ANSYS finite element analysis

由無(wú)缺陷懸臂板的振型可看出,在存在懸臂方向缺陷時(shí),包括彎曲變形的自由振動(dòng)(即二、三、四階振型)對(duì)應(yīng)的固有頻率的變化相對(duì)自由-自由方向缺陷影響更大；另一方面,自由方向的缺陷對(duì)基礎(chǔ)自由振動(dòng)的影響比懸臂方向缺陷的影響要大很多.

(3)局部缺陷的位置(η=0.1,δ1=δ2=0.02)

如圖7,(a)、(b)為不同位置的自由-自由方向的幾何缺陷；(c)、(d)為不同位置的懸臂方向的幾何缺陷.

圖7 不同位置的幾何缺陷Fig.7 Geometrical imperfections on different locations

由表4可以看出,懸臂板局部缺陷的位置對(duì)固有頻率的影響主要體現(xiàn)在懸臂方向的缺陷上,自由方向的缺陷位置對(duì)頻率的影響較?。粡膽冶鄯较虿煌恢萌毕菟霉逃蓄l率可以看出,位置對(duì)頻率的影響趨勢(shì)也隨振型相關(guān).

表4 含局部不同位置的幾何缺陷的懸臂板的固有頻率Table 4 Natural frequencies of cantilever plate with localized geometrical imperfections on different locations

(4)缺陷尺寸

由圖8數(shù)據(jù)可以明顯看出,懸臂板的初始幾何缺陷尺寸越大(即缺陷程度越大),對(duì)于固有頻率的影響也越大.

圖8 不同缺陷尺寸(η=0.3/0.5/0.7)的懸臂板的固有頻率Fig.8 Natural frequencies of cantilever plate with different sizes of imperfections (η=0.3/0.5/0.7)

4 結(jié)論

本文基于經(jīng)典板殼理論,彈性薄板小撓度理論基本假設(shè),預(yù)設(shè)懸臂板的振型函數(shù),采用Rayleigh-Ritz法求得懸臂薄板前四階固有頻率；采用余弦函數(shù)、自擬合函數(shù)描述不同類(lèi)型缺陷帶入懸臂板的動(dòng)力學(xué)模型求解,得到不同缺陷影響下的懸臂薄板的前四階固有頻率.從計(jì)算結(jié)果得到以下結(jié)論:

(1)初始幾何缺陷的存在會(huì)增大均質(zhì)材料懸臂薄板的固有頻率.

(2)懸臂板受缺陷影響隨著缺陷密度集中程度的增長(zhǎng)而變大,即缺陷越為集中,對(duì)于振動(dòng)中的矩形板結(jié)構(gòu)在偏離平衡位置時(shí)的回彈起到的積極作用越明顯,故頻率變大.

(3)懸臂板的初始幾何缺陷尺寸越大(即缺陷程度越大),其各階固有頻率也越大,缺陷的幾何尺寸對(duì)自由振動(dòng)中的板的回彈同樣起到積極作用.

(4)局部缺陷的不同位置、不同方向?qū)冶郯宓淖杂烧駝?dòng)的影響與其各階具體振型有關(guān):

a.缺陷方向：自由方向缺陷對(duì)基礎(chǔ)頻率影響較大,而懸臂方向缺陷對(duì)高階頻率影響較大.

b.缺陷位置：自由方向缺陷的不同位置對(duì)頻率影響較小,懸臂方向的不同位置對(duì)頻率影響較大.

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