3k-012數(shù)表研究

戴本榮

【摘要】3k-012數(shù)表是本人在研究偶數(shù)分拆時所找到的一個分拆工具與結(jié)果.研究發(fā)現(xiàn)，此表有很多奇妙的性質(zhì)，如具有一定的篩性、對乘法與加法都有封閉性等，本文給出一些性質(zhì)的具體說明或證明，并提出一個哥德巴赫猜想的證明思路.

【關(guān)鍵詞】3k-012數(shù)表;研究

在1724年，哥德巴赫提出“任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和”“任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和”，二者合稱哥德巴赫猜想.

可以證明后者是前者的推論.事實上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成：2N+1=3+2（N-1），其中2（N-1）≥4.如果第一個猜想是正確的，則偶數(shù)2（N-1）就能分成二個素數(shù)之和.

在1937年，維諾格拉多夫證明了一個充分大的奇數(shù)可以分為三個素數(shù)之和（弱哥德巴赫猜想）;對于后一個問題，目前最好的結(jié)果是陳景潤在1973年發(fā)表的陳氏定理（也被稱為“1+2”）.

在1934年，辛達(dá)拉姆發(fā)現(xiàn)：如果一個整數(shù)N出現(xiàn)在其辛達(dá)拉姆數(shù)表中，則2N+1不是素數(shù);若N不在其數(shù)表中，則2N+1一定是素數(shù).

在學(xué)習(xí)有關(guān)素數(shù)篩法的過程中，我制作了一個“3k-012數(shù)表”，該表具有很多奇妙有趣的性質(zhì)，并且與上面兩個問題具有密切的關(guān)聯(lián).

一、“3k-012數(shù)表”

將自然數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…按如下規(guī)律填入下表，所得數(shù)表稱為“3k-012數(shù)表”：

二、在“3k-012數(shù)表”中的幾個奇妙發(fā)現(xiàn)

1.3k行的數(shù)：均是3的倍數(shù).

2.3k+1行的數(shù)：除第一個數(shù)1外，均是辛達(dá)拉姆數(shù).

3.3k行的奇數(shù)：均是3k+1行數(shù)的2倍加1.

4.篩性：對于任意3k+2型的偶數(shù)2n，我們有：

如果2n-3不為合數(shù)，則2n至少存在一對哥德巴赫數(shù)對：3與2n-3，即滿足2n=3+（2n-3）=質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù)，意義重大;

如果2n-3為合數(shù)，則排除小于2n的3k+2型質(zhì)數(shù)對應(yīng)質(zhì)數(shù)的可能性，因為這種數(shù)對應(yīng)的必然是3k型的數(shù)，而由“3k-012數(shù)表”中的第一行可知，3k型的數(shù)均為合數(shù)，也就是說，如果一個任意3k+2型的偶數(shù)2n分拆為3k+2型的數(shù)與3k型的數(shù)之和，則除去2n=2n+0外，就只有“2n=質(zhì)數(shù)+合數(shù)”或者“2n=合數(shù)+合數(shù)”，而不存在“2n=質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù)”的分拆形式;

此時，如哥德巴赫猜想成立，則必定能在3k+1型數(shù)中找到至少一對哥德巴赫分拆數(shù).由此反過來想，在2n為3k+2型的偶數(shù)且2n-3為合數(shù)時，如在3k+1型的數(shù)中存在一對質(zhì)數(shù)且二者之和等于2n，則哥德巴赫猜想對3k+2型的偶數(shù)成立.

由上所述，可得出一個尚需深入證明的結(jié)論：對于任意一個3k+2型的偶數(shù)2n，均存在至少一對哥德巴赫分拆數(shù).

三、哥德巴赫猜想的一個證明思路

1.深入的聯(lián)想：如果對3k、3k+1型的偶數(shù)都能做出與3k+2型偶數(shù)類似的論斷與證明，則對任意偶數(shù)，哥德巴赫的猜想正確.

2.由辛達(dá)拉姆篩法獲得的一個結(jié)論：在“3k-012數(shù)表”中，如果用同樣的方法能夠證明任意一個自然數(shù)可以分為兩個非辛達(dá)拉姆數(shù)之和，也可得出哥德巴赫猜想成立的結(jié)論，理由：設(shè)N=a+b，其中N為任意一個自然數(shù)，a、b均為整數(shù)并且為非辛達(dá)拉姆數(shù).則由辛達(dá)拉姆篩法可知2a+1、2b+1均為質(zhì)數(shù)，于是有2N+2=（2a+1）+（2b+1）=質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù);進(jìn)而遞推對任意一個偶數(shù)，哥德巴赫猜想成立.

四、“3k-012數(shù)表”對乘法的封閉性

設(shè)a，b，c為任意正整數(shù).

1.3k型數(shù)乘法的封閉性：（1）（3a）·（3a）=3·（3a2）;（2）（3a）·（3b）=3·（3ab）;（3）（3a）·（3b+1）=3·[a·（3b+1）];（4）（3a）·（3b+2）=3·[a·（3b+2）]——結(jié)論：任意一個3k型數(shù)乘任意一個正整數(shù)，所得的數(shù)仍在3k型數(shù)中.

2.3k+1型數(shù)乘法的封閉性：（5）（3a+1）·（3a+1）=3·（3a2+a）+1;（6）（3a+1）·（3b+1）=3·（3ab+a+b）+1——結(jié)論：①任意兩個3k+1型數(shù)相乘，所得的數(shù)仍在3k+1型數(shù)中;②任意n個3k+1型數(shù)相乘，所得的數(shù)仍在3k+1型數(shù)中.

3.3k+1型數(shù)與3k+2型數(shù)相乘：（7）（3a+1）·（3b+2）=3·（3ab+2a+b）+2——結(jié)論：任意一個3k+1型數(shù)乘任意一個3k+2型數(shù)，所得的數(shù)必在3k+2型數(shù)中.

4.3k+2型數(shù)自乘：（8）（3b+2）·（3b+2）=3·（3b2+4b+1）+1;（9）（3b+2）·（3c+2）=3·（3bc+2b+2c+1）+1——結(jié)論：① 任意兩個3k+2型數(shù)相乘，所得的數(shù)必在3k+1型數(shù)中;②任意偶數(shù)個3k+2型數(shù)相乘，所得的數(shù)必在3k+1型數(shù)中;③ 任意奇數(shù)個3k+2型數(shù)相乘，所得的數(shù)必在3k+2型數(shù)中.

5.3k+2型數(shù)與3k+1型數(shù)相乘：——結(jié)論：① 偶數(shù)個3k+2型數(shù)乘任意個3k+1型數(shù)，所得的數(shù)必在3k+1型數(shù)中;② 奇數(shù)個3k+2型數(shù)乘任意個3k+1型數(shù)，所得的數(shù)必在3k+2型數(shù)中.

五、“3k-012數(shù)表”對加法與減法的封閉性

1.3k型數(shù)自加：（1）（3a）+（3a）=3·（2a）;（2）（3a）+（3b）=3·（a+b）——結(jié)論：任意一個3k型數(shù)加上任意一個3k型數(shù)，所得的數(shù)必在3k型數(shù)中.

2.3k型數(shù)與3k+1、3k+2型數(shù)相加：（3）（3a）+（3b+1）=3·（a+b）+1;（4）（3a）+（3b+2）=3·（a+b）+2——結(jié)論：任意一個3k型數(shù)加上任意一個3k+1型數(shù)，所得的數(shù)必在3k+1型數(shù)中;任意一個3k型數(shù)加上任意一個3k+2型數(shù)，所得的數(shù)必在3k+2型中.

3.3k、3k+1、3k+2型數(shù)各任取一個數(shù)相加：（5）（3a）+（3b+1）+（3c+2）=3·（a+b+c+1）——結(jié)論：在3k、3k+1、3k+2型數(shù)中各任取一個數(shù)相加，所得的數(shù)必在3k型數(shù)中.

4.3k+1型數(shù)自加：（6）（3a+1）+（3a+1）=3·（2a）+2;（7）（3a+1）+（3b+1）=3·（a+b）+2——結(jié)論：① 任意兩個3k+1型數(shù)相加，所得的數(shù)必在3k+2型數(shù)中;② 任意n個3k+1型數(shù)相加，所得的數(shù)或在3k型數(shù)中，或在3k+1型數(shù)中，或在3k+2型數(shù)中.

5.3k+2型數(shù)自加：（8）（3b+2）+（3b+2）=3·（2b+1）+1;（9）（3b+2）+（3c+2）=3·（2b+2c+1）+1——結(jié)論1：任意兩個3k+2型數(shù)相加，所得的數(shù)必在3k+1型數(shù)中;② 任意n個3k+2型數(shù)相加，所得的數(shù)或在3k型數(shù)中，或在3k+1型數(shù)中，或在3k+2型數(shù)中.

6. 3k+1型數(shù)與3k+2型數(shù)相加：（10）（3a+1）+（3b+2）=3·（a+b+1）——結(jié)論：任意一個3k+1型數(shù)加上任意一個3k+2型數(shù)，所得的數(shù)必在3k型數(shù)中.

7.減法

（1）3k型數(shù)減3k+1型數(shù)：3k-（3k1+1）=3（k-k1-1）+2——結(jié)論：3k型數(shù)減去3k+1型數(shù)，所得數(shù)為3k+2型數(shù).

（2）3k型數(shù)減3k+2型數(shù)：3k-（3k1+2）=3（k-k1-1）+1——結(jié)論：3k型數(shù)減去3k+2型數(shù)，所得數(shù)為3k+1型數(shù).

（3）3k+1型數(shù)減3k+2型數(shù)：（3k1+1）-（3k2+2）=3（k1-k2-1）+2——結(jié)論：3k+1型數(shù)減去3k+2型數(shù)，所得數(shù)為3k+2型數(shù).

（4）3k+2型數(shù)減3k+1型數(shù)：（3k1+2）-（3k2+1）=3（k1-k2）+1——結(jié)論：3k+2型數(shù)減去3k+1型數(shù)，所得數(shù)為3k+1型數(shù).

（5）3k+1型數(shù)減3k+1型數(shù)：（3k1+1）-（3k2+1）=3（k1-k2）——結(jié)論：3k+1型數(shù)減去3k+1型數(shù)，所得數(shù)為3k型數(shù).

（6）3k+2型數(shù)減3k+2型數(shù)：（3k1+2）-（3k2+2）=3（k1-k2）——結(jié)論：3k+2型數(shù)減去3k+2型數(shù)，所得數(shù)為3k型數(shù).

六、3k+1、3k+2型合數(shù)所含3k+2型因子的個數(shù)

1.3k+1型合數(shù)所含3k+2型因子的個數(shù)：——在3k+1型的合數(shù)中，所含3k+2型因子一定是偶數(shù)個.

2.3k+2型合數(shù)所含3k+2型因子的個數(shù)：——在3k+2型的合數(shù)中，所含3k+2型因子一定是奇數(shù)個.

七、3k-012數(shù)的奇合數(shù)類型

1.3k型奇合數(shù)：

3×3，3×5，3×7，3×9，3×11，3×13，3×15，3×17，…

2.3k+1型奇合數(shù)

（1）（3k1+1）·（3k2+1）型奇合數(shù)

7×7，7×13，7×19，…

13×13，13×19，13×25，…

19×19，19×25，19×31，…

……

（2）（3k1+2）·（3k2+2）型奇合數(shù)

5×5，5×11，5×17，…

11×11，11×17，11×23，…

17×17，17×23，17×29，…

……

3.3k+2型奇合數(shù)

（1）（3k1+1）·（3k2+2）型奇合數(shù)

5×7，5×13，5×19，5×25，…

11×13，11×19，11×25，11×31，…

……

（2）（3k2+2）·（3k1+1）型奇合數(shù)

7×11，7×17，7×23，7×29，…

13×17，13×23，13×29，13×35，…

……

八、結(jié)束語與致謝

“3k-012數(shù)表”還有很多奇妙的性質(zhì)值得研究，同時，雖然本人提出了一個哥德巴赫猜想的證明思路，但要給出完整證明卻是非常困難的.

我的大學(xué)教師許道云先生建議用“類”的方式來說明，但我覺得自己這樣的說法更為通俗易懂，就未改變論述方式.

最后謹(jǐn)以此文表達(dá)我對貴州大學(xué)數(shù)學(xué)教授、我的《初等數(shù)論》課老師張昭生先生和《不動點理論》課老師曾文智先生的敬意、懷念與感激之情！

張先生將自己《初等數(shù)論》習(xí)題集解答刻印出來給我們學(xué)習(xí)，希望我們本科生在數(shù)論方面有所建樹;曾先生一直鼓勵我們做數(shù)學(xué)研究，要求我們要有點“研究的精神”.

兩位先生的鼓勵，一直鞭策著我在學(xué)術(shù)上不懈的努力！

文中不對之處，敬請各位同行批評指正！