巧用幾何性質(zhì)，優(yōu)化平面向量計(jì)算

☉湖南省衡陽(yáng)市一中 譚祖榮

巧用幾何性質(zhì)，優(yōu)化平面向量計(jì)算

☉湖南省衡陽(yáng)市一中 譚祖榮

通常我們把平面向量的運(yùn)算分為幾何運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算（坐標(biāo)運(yùn)算），其難點(diǎn)在幾何運(yùn)算上，靈活應(yīng)用圖形的幾何特點(diǎn)與性質(zhì)，往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

一、在三角形中靈活應(yīng)用“四線，四心”

例1 已知△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平分∠ACB.若（ ）.

分析：本題是2010年全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)中的試題，主要考查向量的基本運(yùn)算，考查角平分線定理.

解：因?yàn)镃D平分∠ACB，由角平分線定理得，所以D為AB的三等分點(diǎn)，且所以故選B.

A.重心 B.外心

C.內(nèi)心 D.垂心

分析：本題考查了平面向量的加減運(yùn)算、向量的共線及點(diǎn)的軌跡.

解：如圖1，由分別表示上的單位向量，從而

圖1

又四邊形ADFE為菱形，于是AF平分∠BAC.

A.重心 B.外心

C.內(nèi)心 D.垂心

分析：本題考查了平面向量的加減運(yùn)算、向量的共線及點(diǎn)的軌跡.

解：如圖2，由AD為BC邊上的高，于是

圖2

A.重心 B.外心

C.內(nèi)心 D.垂心

分析：本題考查了平面向量的加減運(yùn)算、向量的共線及點(diǎn)的軌跡.

解：由

例5在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，重心為G，若a則∠A=________.

分析：本題考查了三角形的重心的性質(zhì)、平面向量的加減運(yùn)算及共線向量定理.

解法1：由G是三角形ABC的重心知

解法2：由G是三角形ABC的重心知令于是

二、利用向量的模的幾何意義構(gòu)建幾何圖形

例6 已知平面向量α，β（α≠0，α≠β）滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是__________.

分析：本題是2010年浙江理數(shù)中的試題，主要考查了平面向量的四則運(yùn)算及其幾何意義，突出考查了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，把題設(shè)條件表示在三角形中，即可迎刃而解.

圖3

圖4

分析：本題是2011年全國(guó)大綱卷理數(shù)中的試題，考查平面向量的知識(shí)，與2010年浙江理數(shù)試題相同，更突出考查了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，利用題設(shè)條件及其幾何意義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形的外接圓中，應(yīng)用幾何方法求最值.

通過(guò)以上幾個(gè)示例啟示我們：在向量的幾何運(yùn)算及與模有關(guān)問(wèn)題中，通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，靈活應(yīng)用圖形的幾何特點(diǎn)與性質(zhì)可讓問(wèn)題迎刃而解.