例談高考中的含參問題

☉寧夏銀川二中 馬麗欣

例談高考中的含參問題

☉寧夏銀川二中 馬麗欣

含參問題是近幾年高考中的熱點，也是重點.此類試題考查的知識點綜合度比較高，難度比較大.下面筆者通過自己的教學(xué)實踐，談?wù)劯呖紝瑓栴}的考查，以拋磚引玉.

一、運用單調(diào)性解決含參問題

有的題目利用洛必達法則解決比較簡便，我們先介紹一下洛必達法則：

對-∞＜a＜b＜+∞，設(shè)（fx）和g（x）是兩個實數(shù)值函數(shù)，并都在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）上可微且在（a，b）上g′（x）≠0，如果在（a，b）上遞增（遞減），那么函數(shù)F（x）=和也在（a，b）上遞增（遞減）.而且，如果的單調(diào)性是嚴格的，那么F（x）和G（x）的單調(diào)性也是嚴格的.

證明：只需證明F（x）的情形，G（x）同理可得.不妨設(shè)在（a，b）上遞增，g（′x）在（a，b）恒小于零.

由柯西中值定理可知，對于任意的x∈（a，b），總存在y∈（a，x），使得：

由于g′（x）＜0，x∈（a，b），故有g(shù)（x）-g（a）＜0，且［g（x）-g（a）］g（′x）＞0（.2）

在（1）式兩端同時乘以（2）式，有：

例1設(shè)函數(shù)（fx）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）略；

（2）若?x＞0，（fx）≥0成立，求a的取值范圍.

解：對成立，等價于

從而F（x）也在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以有a≥0.

二、通過分類討論確定參數(shù)的取值范圍

例2設(shè)函數(shù)（fx）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）討論函數(shù)（fx）極值點的個數(shù)，并說明理由；

（2）若?x＞0，（fx）≥0成立，求a的取值范圍.

分析：本題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題，有一定的難度和較好的區(qū)分度.第（1）問屬于求函數(shù)極值問題，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，很好地考查了考生分類討論思想在解題中的應(yīng)用，雖然求解比較煩瑣，但大多數(shù)考生都能接受，屬于常規(guī)題.具體解法略.當(dāng)時，（fx）的無極值點；當(dāng)a＜0時，（fx）有一個極值點；當(dāng)時，（fx）的有兩個極值點.

此問實際上是恒成立中的參數(shù)取值問題，為了幫助同學(xué)們解決此類問題，下面將從不同視角進行求解.

解法1：由（1）可知，①當(dāng)時，（fx）在（0，+∞）單調(diào)遞增，而（f0）=0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，（fx）＞0，符合題意；

③當(dāng)a＞1時，g（0）＜0，x2＞0，所以函數(shù)（fx）在（0，x2）單調(diào)遞減，而（f0）=0，則當(dāng)x∈（0，x2）時，（fx）＜0，不符合題意；

④當(dāng)a＜0時，設(shè)h（x）=x-ln（x+1），當(dāng)x∈（0，+∞）時，在（0，+∞）單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0，ln（x+1）＜0，于是，（fx）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x，當(dāng)時，ax2+（1-a）x＜0，此時f（x）＜0，不符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1.

本解法主要從研究函數(shù)的單調(diào)性入手，考生通常出錯在分類討論的情況較為復(fù)雜時，思路上不夠十分清晰、條理，造成思維混亂，難以抽身.

三、通過分離參數(shù)確定參數(shù)取值范圍

分離參數(shù)法是求解參數(shù)取值的比較常見的方法之一，對于例2的求解當(dāng)然也可以利用此法，但本題的在于巧妙用上教材中習(xí)題的一個結(jié)論（?x＞0，均有l(wèi)n（x+1）＜x成立）方可使得問題得以順利求解.

解法2：設(shè)函數(shù)（fx）=ln（x+1）+a（x2-x），?x＞0，都有（fx）≥0成立，即ln（x+1）+a（x2-x）≥0.

由于?x＞0均有l(wèi)n（x+1）＜x成立，其證明如下：

當(dāng)x＞0時，h（′x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）＜0，ln（x+1）-x＜0，即ln（x+1）＜x.

①當(dāng)x=1時，ln2≥0恒成立；

綜上可知，對于?x＞0，都有（fx）≥0成立，只需0≤a≤1即可，故所求a的取值范圍是0≤a≤1.

本解法主要借助分離參數(shù)法進行求解，眾多考生都能想到這一求解辦法，但都是因為分離參數(shù)后所得到的函數(shù)較為復(fù)雜，直接利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解甚是復(fù)雜，于是無從研究其單調(diào)性和確定所求參數(shù)取值范圍，進而望而生嘆.又如下面的試題：

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2x+2對于滿足1＜x＜4的一切x都有（fx）＞0，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：此題中只含有一個參數(shù)a，屬于恒成立問題.如果從二次函數(shù)的角度考慮，需要對參數(shù)a進行分情況討論，結(jié)果就很麻煩.如果將參數(shù)a進行分離，則變?yōu)榍笠阎瘮?shù)的最值問題，就比較好辦.

解：由ax-2x+2＞0，得則

當(dāng)x∈（1，2）時，g′（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增的；

當(dāng)x∈（2，4）時，g′（x）＜0，g（x）是單調(diào)遞減的.所以，當(dāng)x=2時，g（x）有極大值

四、利用線性規(guī)劃解決參數(shù)取值范圍問題

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C是圓x2+y2=1上的相異三點，若存在正實數(shù)λ，μ使得向量則λ2+（μ-3）2的取值范圍是_______.

分析：此題中A，B，C是三個動點，結(jié)果含有兩個參數(shù)正實數(shù)λ，μ，若以λ為橫坐標(biāo)，μ為縱坐標(biāo)，則所求結(jié)果為點（λ，μ）到點（0，3）的距離的平方可能取到的范圍.

解：平方后可得到—

即1=λ2+μ2+2λμcosθ.設(shè)θ是向量OA與OB的夾角，則θ∈（0，π）.

以λ為橫坐標(biāo)，μ為縱坐標(biāo)，可以表示出滿足上述條件的平面區(qū)域，即可行域.

確定區(qū)域內(nèi)的點到（0，3）的距離的平方可能取到的范圍：點（0，3）到直線λ-μ+1=0的距離為最小值，

所以，λ2+（μ-3）2的取值范圍是（2，+∞）.

五、利用求導(dǎo)法解一類求參數(shù)取值范圍

有些求參數(shù)的取值范圍的問題是比較復(fù)雜的，涉及分類談?wù)撍枷耄们髮?dǎo)解決相對比較簡便，進而得到參數(shù)的取值范圍.

例5設(shè)函數(shù)，若對所有的x≥0，都有（fx）≤ax，求實數(shù)a的取值范圍.

解 ：設(shè)，所以

例6設(shè)函數(shù)（fx）=ex+sinx-1-2x-ax2，若當(dāng)x≥0時，（fx）≥0恒成立，求a的取值范圍.

解：可得f（′x）=ex+cosx-2-2ax，f（″x）=ex-sinx-2a，

用兩次求導(dǎo)及不等式x＞sinx，ex≥x+1（x≥0）可證所以當(dāng)時，（fx）≥0（x≥0）成立.

通過以上幾個例題可以看出，在解決含有參數(shù)的問題時，可以根據(jù)題目中所含參數(shù)的個數(shù)來選擇解題方法，有時能夠達到事半功倍的效果.當(dāng)然，什么問題都不是絕對的，這就要求我們遇到數(shù)學(xué)問題時，要具體問題具體分析，要注意挖掘數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，同時，要善于總結(jié)、歸納，注重提煉方法.只有這樣我們才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué).