奇、偶項(xiàng)為不同數(shù)列型問(wèn)題的探究

☉江蘇省徐州市第三中學(xué) 趙 勇

奇、偶項(xiàng)為不同數(shù)列型問(wèn)題的探究

☉江蘇省徐州市第三中學(xué) 趙 勇

在處理奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)為不同類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和中，由于學(xué)生在進(jìn)行奇、偶討論時(shí)經(jīng)常會(huì)錯(cuò)把n當(dāng)成了奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列、偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，從而產(chǎn)生錯(cuò)解.下面通過(guò)舉例，對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)探究，以期對(duì)學(xué)生解答此類問(wèn)題有所有助，從而有效避錯(cuò).

題目已知由整數(shù)組成的數(shù)列｛an｝各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1=a，2Sn=anan+1.

（1）求a2的值；

（2）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（3）若n=15時(shí)，Sn取得最小值，求a的值.

一、通項(xiàng)問(wèn)題

第（1）問(wèn)，較為簡(jiǎn)潔，直接利用賦值法即可求解.

因?yàn)?Sn=anan+1，所以2S1=a1a2，即2a1=a1a2，因?yàn)閍1=a≠0，所以a2=2.

第（2）問(wèn)，給出與前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的關(guān)系式，通常利用公式求解.本題也不例外.

因?yàn)?Sn=anan+1，所以2Sn-1=an-1a（nn≥2），兩式相減，得到2an=a（nan+1-an-1）.因?yàn)閍n≠0，所以an+1-an-1=2.所以｛a2k-1｝，｛a2k｝都是公差為2的等差數(shù)列.

此時(shí)學(xué)生易給出錯(cuò)誤答案：

原因是機(jī)械地套用了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)誤地認(rèn)為奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)均為n.

為了充分認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的原因，我們可列舉數(shù)列的有限項(xiàng)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，如取n=11，得a，2，a+2，4，a+4，6，a+6，8，a+8，10，a+10，則奇數(shù)項(xiàng)為a，a+2，a+4，a+6，a+8，a+10，共6項(xiàng)，并不是10，項(xiàng)數(shù)所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

同理，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如取n=10，得a，2，a+2，4，a+4，6，a+6，8，a+8，10，則偶數(shù)項(xiàng)為2，4，6，8，10，共5項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)為所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

二、求和問(wèn)題

奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)為不同類型的數(shù)列求和問(wèn)題，應(yīng)對(duì)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別求和，再相加.求解中注意對(duì)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列與偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的準(zhǔn)確把握.

三、求最值

數(shù)列的最值問(wèn)題，以等差數(shù)列為例，若首項(xiàng)為正，且公差小于0，則前n項(xiàng)和有最大值，此時(shí)n的值可由an≥0求解.同理，若首項(xiàng)為負(fù)，且公差大于0，則前n項(xiàng)和有小值，此時(shí)n的值可由an＜0求解.當(dāng)然也可以利用前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)來(lái)求解.

第（3）問(wèn)，方法1：因?yàn)?Sn=anan+1，由（2）知，an=

注意到所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的，所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＞0，所以此時(shí)Sn＞Sn-1，所以S15為最小值等價(jià)于S13≥S15，S15≤S17，所以a14+a15≤0，a16+a17≥0，所以14+15+a-1≤0，16+17+a-1≥0，解得-32≤a≤-28.

因?yàn)閿?shù)列｛an｝是由整數(shù)組成的，所以a∈｛-32，-31，-30，-29，-28｝.

又因?yàn)閍n≠0，所以對(duì)所有的奇數(shù)n，an=n+a-1≠0，所以a不能取偶數(shù)，所以a=-31，或a=-29.

方法2：因?yàn)镾15為最小值，此時(shí)n為奇數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，有，解得-32≤a≤-28.

因?yàn)閿?shù)列｛an｝是由整數(shù)組成的，所以a∈｛-32，-31，-30，-29，-28｝.

又因?yàn)閍n≠0，所以對(duì)所有的奇數(shù)n，an=n+a-1≠0，所以a不能取偶數(shù)，所以a=-31，或a=-29.

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)Sn為最小值，所以a=-31，或a=-29.

變式探究：若數(shù)列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則數(shù)列｛an｝的前60項(xiàng)和為__________.

解析：本題是填空題，故可以采用歸納的方法來(lái)尋找解題規(guī)律，當(dāng)然它也可以用迭代法來(lái)求解.

由題意可知，a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，…，所以a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，…，從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和等于2，從第二項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列，所以

綜上，解決奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)為不同數(shù)列問(wèn)題的思想方法主要有分類討論思想、整體思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，具體求解中，通常需要利用列舉、合情推理或迭代的方法來(lái)尋找相鄰幾項(xiàng)的規(guī)律，進(jìn)而明確數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì).