例談高中解題的幾種策略

☉江蘇省沭陽高級中學 錢文奇

例談高中解題的幾種策略

☉江蘇省沭陽高級中學 錢文奇

數(shù)學解題的教與學是數(shù)學教學的主要內容，數(shù)學解題能力是學生數(shù)學的核心能力，也是數(shù)學教學的著重點.在高中數(shù)學學習中，解題是高中數(shù)學學習的一個重要部分，也是很多學生困惑的地方.因為學生總感覺聽懂了，題卻解不出來.下面筆者結合多年的教學經(jīng)歷，談談高中解題的幾種策略，以期拋磚引玉.

策略一、挖掘題目隱含條件

在求解數(shù)學問題的過程中，有些題目條件設置得很隱蔽，若不能很好挖掘使用，就很難正確解出結果.這就要求我們在解題中有意識地注意挖掘隱含條件，充分利用好所給的條件解題.

1.挖掘概念中的隱含條件

不少數(shù)學問題往往會在數(shù)學概念上設置障礙，若學生對概念理解不深刻，就很難觀察到其中隱含的障礙.因此要解決好這類問題，必須對概念深入理解.

例1 已知l1：2x+my-2=0，l2：mx+2y-1=0，并且l1⊥l2，則m=______.

錯解：有些同學認為l1⊥l2，則有k1·k2=-1，而由無解.

上述學生解錯的原因就在于對線線垂直概念的不理解.結論“l(fā)1⊥l2，則k1·k2=-1”的前提的兩條直線的斜率都存在.因此需要對斜率不存在的情況進行討論.

正解：若m=0，顯然l1⊥l2；若m≠0，則由l1⊥l2，得k1·k2=-1，而由矛盾，m不存在.于是m=0.

2.挖掘解題思維中的隱含條件

有的問題若按照常規(guī)思路來解決，則往往過程繁雜，無法解出.這時就需要轉換思維，充分利用條件，有效解決問題.

例2設集合A=｛（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z｝，B=｛（x，y）|x=m，y=3m2+15，m∈Z｝，C=｛（x，y）|x2+y2≤144｝，問是否存在實數(shù)a，b，使下列條件同時成立？（1）A∩B≠?；（2）（a，b）∈C.

錯解：由條件（1）

在x∈Z時有解，消去y，得

由條件（2）（a，b）∈C，得

此題中常規(guī)思路就是將x視為變量，（a，b）視為常量，于是把①式視為關于x的一元二次方程，轉化為關于x有整數(shù)解的問題，按照此思路，大多數(shù)同學束手無策，望而卻步，無法正確解出結果.不妨轉換思維角度，將（a，b）視為變量，把x視為常量，則可以將原問題轉化為直線與圓面在整數(shù)范圍內是否有公共點的問題.于是由d=得（x2-3）2≤0，從而只有顯然與x∈Z矛盾，故滿足條件的a，b不存在.

正解：由于（1）A∩B≠?；（2）（a，b）∈C同時成立，有解且a2+b2≤144，

即3x2-ax+15-b=0有解且a2+b2≤144，

則Δ=a2-12（15-b）=a2+12b-180≥0，且a2+b2≤144，

即180-12b≤a2≤144-b2，

故180-12b≤144-b2?b2-12b+36≤0，即（b-6）2≤0，

因此存在a，b滿足條件.

策略二、跨越思維斷層處障礙

在高中數(shù)學解題中，常常會有以下情景：遵循課本上所教講的概念、公式、方法等，但是用著用著就會突然出現(xiàn)頭腦里一片空白的情況.再去翻閱資料，會有一些提示，按照提示，問題就很容易解決，但是我們當時就是無法想出這個提示，即無法跨越這個思維的高度，也就是思維在這個點出現(xiàn)了斷層.下面通過一道題談談如何跨越這種思維斷層處的障礙.

例3設函數(shù)曲線y=（fx）在點（1，（f1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）證明：（fx）＞1.

解：（1）函數(shù)（fx）的定義域為（

由題意得（f1）=2，f（′1）=e，故a=1，b=2.

設函數(shù)g（x）=xlnx，則g（′x）=1+lnx，所以當）時，g（′x）＜0，

故h（x）在（0，1）上單調遞增，在［1，+∞）上單調遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為

綜上所述，當x＞0時，g（x）＞h（x），即（fx）＞1.

學生拿到此題，都能想到用求導解決，但是很多學生在把（fx）＞1轉化為再變形成，再構造函數(shù)，求導數(shù)得令g（′x）=0，到這步后大多數(shù)學生無法解出，就是想不到將lnx與ex分離，即所謂出現(xiàn)了思維斷層.在平時的教學中，應該要時刻警惕概念教學中的“滑過現(xiàn)象”，在解題中不斷積累獲取信息的能力，重視解題過程的教學，引導學生不斷積累解題經(jīng)驗，加強教學反思，提高學生的解題能力.

策略三、注重解題后的反思與優(yōu)化

解題過程中，學生較大限度地發(fā)揮了自身的數(shù)學水平，解題后老師及時了解學生的主要解題思路和解題阻滯點，在解法基礎上設計好優(yōu)化方案，挖掘出試題的本質特征，優(yōu)化學生的解題方法，從而提升學生數(shù)學解題能力.

例4設函數(shù)（fx）=x|x-a|+b，a，b∈R.

（1）當a=2時，求函數(shù)（fx），x∈［1，2］的值域；

（2）對于給定的實數(shù)a（a≥2），存在實數(shù)b，對于任意實數(shù)x∈［1，2］，都有不等式|（fx）|≤1恒成立，求實數(shù)a

2的取值范圍.

針對第（2）問，學生作業(yè)中的解法如下：

解法1：由于，故由閉區(qū)間上二次函數(shù)的性質

圖1

解法2：由于，故命題“存在實數(shù)b對于任意實數(shù)x∈［1，2］，都有不等式|（fx）恒成立”等價于“當

由于二次函數(shù)最值必在x=1，2，a處取到，據(jù)此展開2討論

故a的取值范圍為2≤a≤3或3＜a≤4，即2≤a≤4.

圖2

圖3

這兩種解法，可操作性強，但是運算量大，解題過程復雜，學生真正解出的很少.因此解題后可以引導學生對這兩種解法進行優(yōu)化.

解法1的優(yōu)化：

同理利用不等式運算性質消去b，由④⑥可得2≤a≤6；由⑤⑥可得2≤a≤4，取三者交集得2≤a≤4.

故a的取值范圍為2≤a≤4.

運用必要條件先縮小參數(shù)范圍，減少了分類討論的情況，大大簡化了原解法.

由此可見，題后反思是學生所思和所想的自然延伸，跟隨思維的發(fā)展進程，師生不斷進行提煉和優(yōu)化，這種由表及里、由粗到細，伸展不同方向的觸角的解題分析方法，對提升學生的數(shù)學解題能力是大有裨益的.